高等数学B1课程大纲.docx
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高等数学B1课程大纲
《高等数学B》课程教学大纲
一、课程基本信息
课程代码
课程性质
公共基础课
课程名称
高等数学
课程类别
必修课
总学时
160学时
开课学期
大一第一、二学期
适用专业
土木工程
考核方式
考试
编写人员
于海波
制定日期
2011.07.05
审核人员
审核日期
修订人员
修订日期
审核人员
审核日期
二、教学目的
《高等数学B》是理工类对数学要求相对较低的专业（如土木、城规专业）学生的一门必修的基础理论课，是后继专业课程的基础，学习此课程也是培养学生各种能力的必要途径。
通过本课程的学习，使学生系统地获得微积分、空间解析几何以及常微分方程的基本知识、掌握常用的运算方法。
培养学生用极限的方法、分析的方法、矢量的方法解决问题的能力。
培养学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及综合分析、解决问题的能力。
并打下较高的理论水平的基础，使学生具备再学习的能力。
三、教学内容
（一）第一章数学函数、极限与连续
1、教学内容：
（1）集合、常量与变量，一元函数的概念，函数的属性（有界性、单调性、奇偶性、周期性），反函数，基本初等函数的概念、性质及其图形，复合函数，初等函数，数学建模；
（2）数列极限；
（3）函数极限；
（4）无穷小与无穷大，无穷小与极限之间的关系，无穷小与无穷大之间的关系；
（5）极限的运算法则；
（6）极限存在准则，两个重要极限；
（7）无穷小的比较；
（8）函数的连续性，函数的间断点及其类型；
（9）连续函数的运算定理，初等函数的连续性；
（10）闭区间上连续函数的基本性质。
2、教学目的与要求：
（1）理解函数的概念，理解初等函数的基本性质：
单调性、有界性、周期性、奇偶性；
（2）理解复合函数、分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念；
（3）熟练掌握基本初等函数的图形及性质；
（4）掌握数学建模的步骤及思想；
（5）会建立基本的、简单的、生活中常见的数学模型；
（6）理解极限的概念，了解极限的ε-δ，ε-N定义（对于给出的ε，求N或δ，不做过高要求）并逐步加深对极限过程的理解。
（7）理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系；
（8）掌握极限的运算法则，了解极限存在的两个准则，会运用两个重要极限求函数的极限；
（9）了解无穷小的概念，熟练掌握无穷小的比较；
（10）理解函数的连续性的概念，会判别函数间断点的类型；
（11）理解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大
值和最小值定理、介值定理）并会熟练应用这些性质。
3、教学重点和难点：
教学重点：
极限的运算，无穷小的比较，函数的连续性，零点定理
教学难点：
极限的定义，求极限。
（二）第二章 导数与微分
1、教学内容：
（1）导数的概念、几何意义、物理意义，函数可导与连续的关系；
（2）基本初等函数的导数，函数的和，差、积、商的导数，反函数的导数，复合函数的导数，初等函数的求导问题，分段函数的导数；
（3）高阶导数；
（4）隐函数的导数，参数方程所确定的函数导数；
（5）微分的概念、几何意义及运算法则，微分形式不变性、微分在近似计算与误差估计中的应用。
2、教学目的与要求：
（1）理解导数和微分定义及导数的几何意义，会使用导数描述一些物理量；
（2）会求平面曲线的切线方程与法线方程；
（3）熟练掌握导数和微分的运算法则及导数的基本公式，了解高阶导数的概念，会熟练地求函数的一阶、二阶导数；
（4）会求隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数；
（5）掌握隐函数和参数方程所确定的函数的二阶导数的求法。
3、教学重点和难点：
教学重点：
导数的定义与几何意义，复合函数的求导法则，微分的定义，导数与微分的关系
教学难点：
求复合函数、隐函数、由参数方程所确定的函数。
（三）第三章 微分中值定理与导数应用
1、教学内容：
（1）微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）；
（2）罗必塔法则；
（3）函数单调性的判别、函数的凸凹性及拐点的判别：
（4）函数的极值概念及求法，最大值与最小值及其应用；
（5）函数图形的水平渐近线与铅直渐近线，函数作图；
（6）弧微分、曲率和曲率半径及计算；
2、教学基本要求：
（1）理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理，了解并会用柯西中值定理；
（2）熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；
（3）理解函数极值的概念，熟练掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法；
（4）熟练掌握函数最大值与最小值的求法及其应用；
（5）会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形；
（6）理解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
3、教学重点和难点：
教学重点：
罗尔定理，拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数单调性的判定，函数的极值及其求法，最大值最小值问题
教学难点：
拉格朗日中值定理，洛必达法则，泰勒公式，曲率
（四）第四章 不定积分
1、教学内容：
（1）原函数与不定积分的概念，积分基本公式，不定积分的基本性质；
（2）换元积分法；
（3）分部积分法；
（4）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，简单无理函数的积分；
2、教学基本要求：
（1）理解原函数的概念；
（2）理解不定积分的概念与性质；
（3）熟练掌握不定积分的基本公式及换元法、分部积分法；
（4）熟练掌握求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数积分的方法。
3、教学重点和难点：
教学重点：
第一类换元法，第二类换元法，分部积分法
教学难点：
第一类换元法，分部积分法
（五）第五章 定积分
1、教学内容：
（1）定积分的概念，定积分的基本性质；
（2）积分上限函数及其导数，牛顿一莱布尼兹公式；
（3）定积分的换元积分及分部积分法；
（4）无穷区间的反常积分，无界函数的反常积分。
2、教学目的与要求：
（1）理解定积分的定义及其性质；
（2）掌握定积分中值定理；
（3）熟悉牛顿-莱布尼兹公式；
（4）熟练掌握定积分的换元及分部积分法；
（5）熟练掌握用定积分表达一些几何量的方法；
（6）了解反常积分的概念，会计算反常积分。
3、教学重点和难点：
教学重点：
定积分定义，积分上限的函数及其导数，牛顿-莱布尼兹公式，定积分的换元法，定积分的分部积分法
教学难点：
定积分定义，积分上限的函数及其导数
（六）第六章 定积分的应用
1、教学内容：
（1）定积分的元素法；
（2）定积分在几何学上的应用：
平面图形的面积（直角坐标情形、极坐标情形），体积（旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积），平面曲线的弧长；
（3）定积分在物理学上的应用：
功、水压力、和引力。
2、教学目的与要求：
（1）熟练掌握定积分的元素法；
（2）会求平面图形的面积、旋转体体积、立体体积、平面曲线的弧长；
（3）理解定积分在物理学中的应用。
3、教学重点和难点：
教学重点：
定积分的元素法,平面图形的面积,旋转体体积。
教学难点：
定积分的元素法，旋转体体积，水压力。
（七）第七章 微分方程
1、教学内容
（1）微分方程的基本概念；
（2）可分离变量的微分方程；
（3）齐次方程；
（4）一阶线性微分方程、伯努力方程；
（5）可降阶的高阶微分方程；
（6）二阶线性微分方程举例、线性微分方程的解的结构；
（7）二阶常系数齐次线性微分方程；
（8）简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；
（9）微分方程的简单应用。
2、教学目的与要求：
（1）理解微分方程基本概念，了解一阶线性方程的常数变易法；
（2）熟练掌握可分离变量的微分方程，会解齐次方程和伯努力方程；
（3）初步掌握用常数变易法求一阶非齐次线性微分方程；
（4）熟练掌握可降阶的高阶微分方程的解法；
（5）掌握求二阶常系数齐次微分方程通解及特解的方法；
（6）掌握求二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的方法。
3、教学重点和难点：
教学重点：
可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程，常系数齐次线性微分方程的通解与特
解，常系数非齐次线性微分方程的特解
教学难点：
常系数非齐次线性微分方程的特解
（八）第八章 空间解析几何与向量代数
1、教学内容
（1）向量的概念，向量的加减法，向量与数的乘积，空间直角坐标系，两点间距离公式，向量的分解与向量的坐标，两向量之间的关系（平行、垂直），向量的坐标运算（加、减、数乘、数量积、向量积），向量的模、方向角、投影；
（2）两向量的数量积、两向量的向量积、混合积：
（3）曲面方程的概念、旋转曲面、柱面、二次曲面；
（4）空间曲线的一般方程、空间曲线的参数方程、空间曲线在坐标面上的投影；
（5）平面的点法式方程、平面的一般式方程、两平面的夹角；
（6）空间直线的一般方程、空间直线的对称式方程与参数方程、两直线的夹角、直线和平面的夹角。
2、教学目的与要求：
（1）理解向量的概念；
（2）掌握向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法）。
掌握两个向量夹角的求法与垂直、平行的条件；
（3）了解单位向量、方向余弦及向量的坐标的表达式。
熟练掌握用坐标表达式进行向量运算；
（4）掌握平面的方程和直线的方程及其求法；
（5）理解曲面方程的概念。
掌握常用二次曲面的方程及其图形、掌握以坐标为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；
（6）知道空间曲线的参数方程和一般方程。
3、教学重点和难点：
教学重点：
：
向量的概念；向量的坐标；向量的数量积和矢量积；平面方程（点法式、一般式、截距式）；直线方程（参数式、对称式、一般式），标准二次曲面方程；投影柱面。
教学难点：
矢量积；投影柱面的概念；标准二次曲面的图形。
（九）第九章多元函数的微分法及其应用
1、教学内容
（1）平面点集、n维空间、多元函数概念及其几何意义、多元函数极限、多元函数的连续性；
（2）偏导数的定义及其计算法、高阶偏导数；
（3）全微分的定义、全微分在近似计算中的应用；
（4）多元复合函数的求导法则；
（5）隐函数求导公式；
（6）多元函数的极值及最大值和最小值、条件极值、拉格朗日乘数法。
2、教学目的与要求：
（1）理解二元函数几何意义；了解多元函数的极限、连续性等概念以及有界闭区域上连续函数的性质；
（2）理解多元函数偏导数和全微分的定义；
（2）熟练掌握求复合函数的偏导数与全微分的计算方法；
（3）掌握求隐函数的偏导数的方法；
（4）掌握求二元函数的极值的方法；
（5）初步掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法。
3、教学重点和难点：
教学重点：
多元函数的概念，偏导数的定义及其计算法，全微分的定义，多元复合函数的求导
法则，隐函数的求导公式，多元函数的极值及求法
教学难点：
多元函数的极限，多元复合函数的求导法则，条件极值，拉格朗日乘数法
（十）第十章 重积分
1、教学内容：
（1）二重积分的概念、二重积分的性质；
（2）利用直角坐标计算二重积分、利用极坐标计算二重积分；
（4）利用重积分求曲面的面积、质心、转动惯量、引力。
2、教学目的与要求：
（1）理解二重积分的概念与性质；
（2）熟练掌握利用直角坐标计算二重积分。
（3）熟练掌握利用极坐标计算二重积分。
（4）会用重积分表示和计算一些几何量（面积、体积、曲面面积）。
3、教学重点和难点：
教学重点：
二重积分的概念，利用直角坐标计算二重积分，利用极坐标计算二重积分
教学难点：
利用直角坐标计算二重积分，利用极坐标计算二重积分
（十一）第十一章曲线积分与曲面积分
1、教学内容：
（1）对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算方法：
（2）对坐标的曲线积分的概念、对坐标的曲线积分的性质、对坐标的曲线积分的计算方法、两类
曲线积分的联系；
（3）格林（Green）公式、平面上曲线积分与路径无关的条件；
（4）对面积的的曲面积分的概念与性质、对面积的曲面积分的计算法；
（5）对坐标的曲面积分的概念与性质、对坐标的曲面积分的计算法、两类曲面积分之间的关系；
（6）高斯（Gauss）公式。
2、教学目的与要求：
（1）理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两者的联系。
（2）掌握两类曲线积分的计算方法，掌握格林公式及平面曲线积分与路径无关的条件。
（3）了解两类曲面积分的概念、性质及两者之间的联系。
（4）掌握两类曲面积分的计算方法，了解高斯公式。
（5）会用重积分、曲线积分求一些几何量与物理量。
3、教学重点和难点：
教学重点：
会计算两类曲线积分及两类曲面积分，掌握格林公式并会运用。
教学难点：
格林公式及高斯公式的应用。
（十二）第十二章无穷级数
1、教学内容：
（1）常数项级数的概念、收敛与发散、收敛级数的和的概念、收敛级数的基本性质；
（2）正项级数及其审敛法、交错级数及其审敛法、绝对收敛和条件收敛；
（3）函数项级数的概念、幂级数及其收敛性、幂级数的运算；
（4）泰勒级数、函数展开成幂级数；
（5）函数幂级数展开式的应用；
（6）三角级数、三角函数系的正交性、函数展开成傅里叶级数、正弦级数和余弦级数；
（7）周期为2／的周期函数的傅里叶级数。
2、教学目的与要求：
（1）理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。
（2）熟练掌握几何级数和P-级数的收敛性。
（3）掌握正项级数的比较审敛法，熟练掌握正项级数的比值审敛法。
（4）了解交错级数的莱布尼兹定理，会估计交错级数的截断误差。
（5）理解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。
（6）了解函数项级数的收敛及和函数的概念。
（7）熟练掌握较简单幂级数的收敛区间的求法。
（8）了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
（9）了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
（10）会利用
，
，
，
的麦克劳林展开式将一些简单函数展开成幂级数。
（11）了解幂级数在近似计算上的简单应用。
（12）了解函数展开为傅立叶（Fourier）级数的充分条件，掌握将函数展开为傅立叶级数和正弦或余弦级数的方法。
3、教学重点和难点：
教学重点：
无穷级数收敛与发散的概念；正项级数的比值审敛法；莱布尼兹审敛准则；绝对收
敛与条件收敛的概念；幂级数的收敛半径与收敛区间；泰勒级数展开式；傅里叶级数。
教学难点：
数项级数的审敛法；泰勒级数；初等函数的幂级数展开；函数的傅里叶级数展开。
（十三）课内实验环节及要求
1、课内实验环节内容：
数学实验一数学实验与数学软件
知识要点：
数学实验，MATLAB操作入门。
数学实验二 函数的极限
知识要点：
极限的命令格式。
数学实验三 用MATLAB求函数的导数与微分
知识要点：
导数与微分的命令格式。
数学实验四 用MATLAB求不定积分与定积分
知识要点：
不定积分与定积分的命令格式。
数学实验五多元函数微积分学
知识要点：
多元函数微分、多元函数极值、空间曲面的绘制、重积分计算、曲线积分与曲面积分的命令格式。
数学实验六用MATLAB求微分方程与级数
知识要点：
微分方程与级数的命令格式。
2、实验目的与要求：
（1）了解数学实验的含义，初步掌握数学软件MATLAB的用法和基本功能；
（2）掌握利用MATLAB求极限、导数与微分、多元函数的偏导数与全微分、多元函数偏导数的求解与应用、多元函数条件极值、绘制空间曲面图形、重积分、曲线与曲面积分、不定积分与定积分、求解微分方程、Taylor级数展开的方法；
（3）通过MATLAB实验理解掌握极限的定义、思想，了解掌握函数的的基本概念；
（4）通过实验了解掌握多元函数的偏导数与全微分的理论；学会处理曲面的属性。
熟练掌握重积分的基本计算方法和原理；了解掌握函数的不定积分与定积分的基本概念；巩固幂级数的收敛半径、和及收敛域等概念。
四、学时分配表
序号
学期
课程内容
学时分配
1
第
一
学
期
数学建模简介
4
2
极限与连续
14
3
导数与微分
12
4
中值定理与导数的应用
18
5
积分及其应用
28
6
微分方程
14
7
第
二
学
期
向量代数与空间解析几何
6
8
多元函数微分学
16
9
多元函数的积分及应用
14
10
曲线积分与曲面积分
12
11
无穷级数
12
12
数学实验
10
13
总计
160
五、参考附录
（一）推荐教材
《高等数学》，同济大学数学系编著，高等教育出版社，2009年。
（二）参考书
[1]《工程实用数学》[M]，于海波主编，东北师大出版社，2011。
[2]《高等数学习题全解指南》，同济大学数学系编著，高等教育出版社，2007年。
[3]《高等数学辅导》，陈文灯编著，世界图书北京出版公司，2008年。
[4]《高等数学（第六版）同步辅导及习题全解》，苏志平编著，中国水力水电出版社，2011年。
六、大纲使用说明
（一）高等数学成绩核定：
分两个学期考核，每一个学期的课程成绩＝平时（10％）+期中（20％）+期末（70％）；
（二）每学期根据各系教学计划可对本课程大纲做出适当调整；
（三）在本课程的教学中，要从应用型本科教育的培养目标出发，要注意与专业课程的配合与衔接；
（四）本课程的教学采用工程任务驱动的教学模式，在教学的各个环节中，要结合专业和实际问题精心设计工程任务，通过工程任务讲清数学概念，回到工程任务体现数学的应用性，充分注意引导学生通过对各种问题建立数学模型、求解及分析，灌输高等数学的思想方法，逐步培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，教学过程中应注意现代化教学手段的应用。
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