学年高中数学人教A版选修21 章末综合测评1 Word版含答案.docx
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学年高中数学人教A版选修21章末综合测评1Word版含答案
章末综合测评
（一） 常用逻辑用语
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是（ ）
A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1＜x＜1，则x2＜1
C．若x＞1，或x＜－1，则x2＞1
D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1
【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．
【答案】 D
2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ）
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】 把全称量词改为存在量词并把结论否定．
【答案】 D
3．命题p：
x＋y≠3，命题q：
x≠1或y≠2，则命题p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为：
“若x＝1且y＝2，则x＋y＝3”，是真命题，故原命题为真，反之不成立．
【答案】 A
4．设点P（x，y），则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：
x＋y－1＝0上”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当x＝2且y＝－1时，满足方程x＋y－1＝0,即点P（2，－1）在直线l上．点P′（0，1）在直线l上，但不满足x＝2且y＝－1，∴“x＝2且y＝－1”是“点P（x，y）在直线l上”的充分而不必要条件．
【答案】 A
5．“关于x的不等式f（x）＞0有解”等价于（ ）
A．∃x0∈R，使得f（x0）＞0成立
B．∃x0∈R，使得f（x0）≤0成立
C．∀x∈R，使得f（x）＞0成立
D．∀x∈R，f（x）≤0成立
【解析】 “关于x的不等式f（x）＞0有解”等价于“存在实数x0，使得f（x0）＞0成立”．故选A.
【答案】 A
6．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（ ）【导学号：
18490031】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定是菱形，故选A.
【答案】 A
7．命题p：
函数y＝lg（x2＋2x－c）的定义域为R；命题q：
函数y＝lg（x2＋2x－c）的值域为R.记命题p为真命题时c的取值集合为A，命题q为真命题时c的取值集合为B，则A∩B＝（ ）
A．∅B．{c|c<－1}
C．{c|c≥－1}D．R
【解析】 命题p为真命题，即x2＋2x－c>0恒成立，则有Δ＝4＋4c<0，解得c<－1，即A＝{c|c<－1}；令f（x）＝x2＋2x－c，命题q为真命题，则f（x）的值域包含（0，＋∞）．即Δ＝4＋4c≥0，求得c≥－1，即B＝{c|c≥－1}．于是A∩B＝∅，故选A.
【答案】 A
8．对∀x∈R，kx2－kx－1＜0是真命题，则k的取值范围是（ ）
A．－4≤k≤0B．－4≤k＜0
C．－4＜k≤0D．－4＜k＜0
【解析】 由题意知kx2－kx－1＜0对任意x∈R恒成立，当k＝0时，－1＜0恒成立；当k≠0时，有
即－4＜k＜0，所以－4＜k≤0.
【答案】 C
9．已知命题p：
若（x－1）（x－2）≠0，则x≠1且x≠2；命题q：
存在实数x0，使2x0＜0.下列选项中为真命题的是（ ）
A．綈pB．綈p∨q
C．綈q∧pD．q
【解析】 很明显命题p为真命题，所以綈p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是（0，＋∞），所以q是假命题，所以綈q是真命题．所以綈p∨q为假命题，綈q∧p为真命题，故选C.
【答案】 C
10．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 等比数列{an}为递增数列的充要条件为
或
故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．
【答案】 D
11．已知命题p：
∀x>0，总有（x＋1）ex>1，则綈p为（ ）
A．∃x0≤0，使得（x0＋1）ex0≤1
B．∃x0>0，使得（x0＋1）ex0≤1
C．∀x>0，总有（x＋1）ex≤1
D．∀x≤0，使得（x＋1）ex≤1
【解析】 因为全称命题∀x∈M，p（x）的否定为∃x0∈M，綈p（x），故綈p：
∃x0>0，使得（x0＋1）ex0≤1.
【答案】 B
12．已知p：
点P在直线y＝2x－3上；q：
点P在直线y＝－3x＋2上，则使p∧q为真命题的点P的坐标是（ ）
A．（0，－3）B．（1，2）
C．（1，－1）D．（－1，1）
【解析】 因为p∧q为真命题，所以p，q均为真命题．所以点P为直线y＝2x－3与直线y＝－3x＋2的交点．解方程组
得
即点P的坐标为（1，－1）．
【答案】 C
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）
13．命题p：
若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：
函数y＝
的定义域是[3，＋∞），则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．
【解析】 p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．
【答案】 p∨q与綈p
14．（2016·临川高二检测）“末位数字是1或3的整数不能被8整除”的否定形式是________________，否命题是________________．
【解析】 命题的否定仅否定结论，所以该命题的否定形式是：
末位数字是1或3的整数能被8整除；而否命题要同时否定原命题的条件和结论，所以否命题是：
末位数字不是1且不是3的整数能被8整除．
【答案】 末位数字是1或3的整数能被8整除 末位数字不是1且不是3的整数能被8整除
15．已知f（x）＝x2＋2x－m，如果f
（1）>0是假命题，f
（2）>0是真命题，则实数m的取值范围是______．
【解析】 依题意，
∴3≤m<8.
【答案】 [3，8）
16．给出以下判断：
①命题“负数的平方是正数”不是全称命题；
②命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x0∈N，使x
>x
”；
③“b＝0”是“函数f（x）＝ax2＋bx＋c为偶函数”的充要条件；
④“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题．
其中正确命题的序号是________.【导学号：
18490032】
【解析】 ①②④是假命题，③是真命题．
【答案】 ③
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）写出下列命题的否定，并判断其真假，同时说明理由．
（1）q：
所有的矩形都是正方形；
（2）r：
∃x0∈R，x
＋2x0＋2≤0；
（3）s：
至少有一个实数x0，使x
＋3＝0.
【解】
（1）綈q：
至少存在一个矩形不是正方形，真命题．这是由于原命题是假命题．
（2）綈r：
∀x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝（x＋1）2＋1≥1>0恒成立．
（3）綈s：
∀x∈R，x3＋3≠0，假命题．这是由于当x＝－
时，x3＋3＝0.
18．（本小题满分12分）指出下列命题中，p是q的什么条件？
（1）p：
{x|x>－2或x<3}；q：
{x|x2－x－6<0}；
（2）p：
a与b都是奇数；q：
a＋b是偶数；
（3）p：
0；q：
方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根．
【解】
（1）因为{x|x2－x－6<0}＝{x|－2所以{x|x>－2或x<3}
{x|－2而{x|－2－2或x<3}．
所以p是q的必要不充分条件．
（2）因为a，b都是奇数⇒a＋b为偶数，而a＋b为偶数
a，b都是奇数，所以p是q的充分不必要条件．
（3）mx2－2x＋3＝0有两个同号不等实根⇔
⇔
⇔
⇔
.
所以p是q的充要条件．
19．（本小题满分12分）已知命题p：
不等式2x－x2m2－2m－3≥0，
如果“綈p”与“p∧q”同时为假命题，求实数m的取值范围.【导学号：
18490033】
【解】 2x－x2＝－（x－1）2＋1≤1，所以p为真时，
m>1.由m2－2m－3≥0得m≤－1或m≥3，
所以q为真时，m≤－1或m≥3.
因为“綈p”与“p∧q”同时为假命题，
所以p为真命题，q为假命题，所以得
即120．（本小题满分12分）已知两个命题p：
sinx＋cosx＞m，q：
x2＋mx＋1＞0，如果对任意x∈R，有p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．
【解】 当命题p是真命题时，
由于x∈R，则sinx＋cosx＝
sin
≥－
，
所以有m＜－
.
当命题q是真命题时，
由于x∈R，x2＋mx＋1＞0，
则Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.
由于p∨q为真，p∧q为假，所以p与q一真一假．
考虑到函数f（x）＝x2＋mx＋1的图象为开口向上的抛物线，对任意的x∈R，x2＋mx＋1≤0不可能恒成立．所以只能是p为假，q为真，
此时有
解得－
≤m＜2，
所以实数m的取值范围是[－
，2）．
21．（本小题满分12分）已知命题p：
对数loga（－2t2＋7t－5）（a>0，且a≠1）有意义；命题q：
实数t满足不等式t2－（a＋3）t＋a＋2<0.
（1）若命题p为真，求实数t的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解】
（1）因为命题p为真，则对数的真数－2t2＋7t－5>0，解得1.
所以实数t的取值范围是
.
（2）因为p是q的充分不必要条件，所以
是不等式t2－（a＋3）t＋a＋2<0的解集的真子集．
法一 因为方程t2－（a＋3）t＋a＋2＝0的两根为1和a＋2，
所以只需a＋2>
，解得a>
.
即实数a的取值范围为
.
法二 令f（t）＝t2－（a＋3）t＋a＋2，因为f
（1）＝0，
所以只需f
<0，解得a>
.
即实数a的取值范围为
.
22．（本小题满分12分）设a，b，c为△ABC的三边，求证：
方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
【证明】 充分性：
∵∠A＝90°，
∴a2＝b2＋c2.
于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
∴x2＋2ax＋（a＋c）（a－c）＝0.
∴[x＋（a＋c）][x＋（a－c）]＝0.
∴该方程有两根x1＝－（a＋c），x2＝－（a－c），
同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－（a2－c2）＝0，
即[x＋（c＋a）][x＋（c－a）]＝0，
∴该方程有两根x3＝－（a＋c），x4＝－（c－a）．
可以发现，x1＝x3，
∴方程有公共根．
必要性：
设x是方程的公共根，
则
由①＋②，得x＝－（a＋c），x＝0（舍去）．
代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.
∴∠A＝90°.
∴结论成立．
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