完整版因式分解的常用方法及练习题.docx
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完整版因式分解的常用方法及练习题
因式分解的常用方法
第一部分：
方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具•因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用•初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法•本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.
一、提公因式法.:
ma+mb+mc=m（a+b+c）
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如:
（1）平方差公式：
（a+b）（a-b）=a2-b2
（2）完全平方公式：
（a±b）2=a2土2ab+b2
（3）立方和公式：
a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）
⑷立方差公式：
a3-b3=（a-b）（a2+ab+R）
（5）完全立方公式：
（a±）3=a3±3a2b+3ab2±D3
下面再补充两个常用的公式：
（6）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2;
（7）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）;
三、分组分解法.
（1）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
amanbmbn
分析：
从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
解：
原式=（aman）（bmbn）
=a（mn）b（mn）*每组之间还有公因式！
=（mn）（ab）
解法二：
第一、四项为一组；第二、三项为一组。
原式=（2axbx）（10ay5by）
=x（2ab）5y（2ab）
=（2ab）（x5y）
例2、分解因式：
2ax10ay5bybx解法一：
第一、二项为一组；第三、四项为一组。
解：
原式=（2ax10ay）（5bybx）
=2a（x5y）b（x5y）
=（x5y）（2ab）
练习：
分解因式1、a2abacbc
2、xyxy1
（2）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
x2y2axay
分析：
若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解,
所以只能另外分组。
例4、分解因式：
a
22
2abb
c"
解：
原式=（x2y2）（axay）
解：
原式=（a2
2abb2）
2c
=（xy）（xy）a（xy）
=（a
22
b）c
=（xy）（xya）
=（a
bc）（ab
c）
22yz
2yz
综合练习：
（1）x3x2yxy2y3
2）ax2bx2bxax
ab
3）x26xy9y216a28a1
4）a26ab12b9b24a
5）a42a3a29
6）4a2x4a2yb2x
b2y
7）x22xyxzyzy2
22
8）a22ab22b2ab1
9）y（y
2）（m1）（m1）
10）（ac）（ac）b（b2a）
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x2（pq）xpq（xp）（xq）进行分解特点：
（1）二次项系数是1；
x27x6
1-1
X
1-6
（-1）+（-6）=-7
练习5、分解因式
（1）x214x24
2
（2）a15a36
2
⑶x4x5
练习6、分解因式
（1）x2x2
⑵y22y15
⑶x210x24
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）—次项系数是常数项的两因数的和
思考：
十字相乘有什么基本规律?
例.已知Ova<5,且a为整数，若2x23xa能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：
凡是能十字相乘的二次三项式a/+bx+c,都要求b24ac>0而且是一个完全平方数
于是98a为完全平方数，a1
例5、分解因式：
x25x6分析：
将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2X3=（-2）X（-3）=1X6=（-1）X（-6），从中可以发现只有2X3的分解适合，即2+3=5。
2
x
1_
5x6
2
解：
x25x6=x2（23）x23
1■
〜3
=（x2）（x3）
1X2+1X3=5
用此方法进行分解的关键：
将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例&分解因式：
x27x6
解：
原式=x2[
（1）（6）]x
（1）（6）
=（x1）（x6）
（二）二次项系数不为1的二次三项式-
2
axbxc
条件：
（1）a时2
a1、-c1
（2）cc1c2
a2k^c2
（3）ba©a2G
ba〔C2a2G
分解结果：
ax2bxc=（a1xc1）（a2x
C2）
例7、分解因式：
3x211x10
分析：
1-2
3>^-5
2
（2）3x27x2
（-6）+（-5）=-11解：
3x211x10=（x2）（3x5）练习7、分解因式：
（1）5x27x6
2
2
（3）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：
a28ab128b2
分析：
将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解
1x8b
1―-16b
8b+（-16b）=-8b
解：
a28ab128b2=a2[8b（16b）]a8b（16b）
=（a8b）（a16b）
练习8分解因式
（1）x23xy2y2
（2）m2
22
6mn8n（3）a
ab6b2
（4）二次项系数不为1的齐次多项式
把xy看作一个整体
例9、2x27xy6y2
1
2
（-3y）+（-4y）=-7y
解：
原式=（x2y）（2x3y）
例10、x2y23xy2
（-1）+（-2）=-3
解：
原式=（xy1）（xy2）
练习9、分解因式：
（1）15x27xy4y2
22
（2）ax6ax8
综合练习10、
（1）8x67x31
22
（2）12x11xy15y
⑶（xy）23（xy）10
（4）（ab）24a4b3
222小2
（5）xy5xy6x
22
（6）m4mn4n3m6n2
2222
8）5（ab）223（a2b2）10（ab）2
9）4x24xy6x3yy210
10）12（xy）211（x2y2）2（xy）2
五、换元法。
例13、分解因式
（1）2005x2（200521）x2005
（2）（x1）（x2）（x3）（x6）x2解：
（1）设2005=a，则原式=ax2（a21）xa
=（ax1）（xa）
=（2005x1）（x2005）
（2）型如abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘
原式
=（x2
7x6）（x2
5x6）
x2
设x2
5x
6A，则x2
7x
6A2x
•••原式=
（A
2x）Ax2=A2
2Ax
x2
=
（A
22
x）2=（x26x
6）2
练习13、分解因式（
1）（x2xy
y2）2
4xy（x2y2）
22
（2）（x23x2）（4x28x3）90
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式
（1）x33x24
解法1——拆项。
原式=x313x23
=（x1）（x2x1）3（x1）（x1）
=（x1）（x2x13x3）
2
=（x1）（x24x4）
=（x1）（x2）2
解法2—
—添项。
原式=
32
x3x4x4x
4
=x（x23x
4）
（4x
4）
=x（x1）（x
4）
4（x
1）
=（x1）（x2
4x
4）
=（x1）（x2）
2
3）x47x21
4）x4x22ax1a2
练习15、分解因式
（2）（x1）4（x21）2（x1）4
第二部分：
习题大全
经典
一、填空题
1.把——个多项式化成几个整式的
的形式，叫做把这个多项式分解因式
2分解因式：
m3-4m=.
3.分解因式：
x2-4y2=
4、分解因式：
x24x4=
0
5.将xn-yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x-y），则n的值为.
22
2x2y=
22
6、若xy5,xy6，则xyxy二，
、选择题
32223
7、多项式15mn5mn20mn的公因式是（
A5mnb、5m2n2c、5m2nd、5mn2
8下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）
a3a3a29
b2
2
Ca4a5aa45d
m2
2m3
10.下列多项式能分解因式的是（）
（A）x2-y（B）x2+1（C）x2+y+y2（D）x2-4x+4
11•把（x—y）2—（y—x）分解因式为（）
A.（x—y）（x—y—1）B.（y—x）（x—y—1）
C.（y—x）（y—x—1）D.（y—x）（y—x+1）
12.下列各个分解因式中正确的是（）
222
A.10abc+6ac+2ac=2ac（5b+3c）
B.（a—b）2—（b—a）2=（a—b）2（a—b+1）
C.x（b+c—a）—y（a—b—c）—a+b—c=（b+c—a）（x+y—1）
D.（a—2b）（3a+b）—5（2b—a）2=（a—2b）（11b—2a）
13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（）
A.2B.4C.2y2D.4y2
三、把下列各式分解因式：
14、nxny
15、4m29n2
16、
17
3^2,,2
、a2abab
x24$16x2
18
19
9（mn）216（mn）2；
7
五、解答题
20、如图，在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长b=3.33cm的正方形。
求纸片剩余部分的面积。
21、如图，某环保
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