创新设计学年高中数学 第一章 统计案例 11回归分析的基本思想及其初步应用二课时作业.docx
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创新设计学年高中数学第一章统计案例11回归分析的基本思想及其初步应用二课时作业
第一章统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用
（二）课时作业新人教A版选修1-2
明目标、知重点
1.进一步体会回归分析的基本思想.2.通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．
1．如果两个变量不呈现线性相关关系，常见的两个变量间的关系还有指数函数关系、二次函数关系．
2．两个变量间的非线性关系可以通过对解释变量的变换（对数变换、平方变换等）转化为另外两个变量的线性关系．
3．比较不同模型的拟合效果，可以通过残差平方和的大小，相关指数的大小来判断．
探究点一 非线性回归模型
思考1 有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？
答 首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有的函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型．
思考2 如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？
答 可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程．
例1某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高x/cm
60
70
80
90
100
110
体重y/kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高x/cm
120
130
140
150
160
170
体重y/kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
试建立y与x之间的回归方程．
解 根据表中数据画出散点图如图所示．
由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny.
x
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
z
1.81
2.07
2.30
2.50
2.71
2.86
3.04
3.29
3.44
3.66
3.86
4.01
画出散点图如图所示．
由表中数据可得z与x之间的线性回归方程：
＝0.663＋0.020x，则有＝e0.663＋0.020x.
反思与感悟 根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y＝c1ec2x的周围，其中c1和c2是待定参数；可以通过对x进行对数变换，转化为线性相关关系．
跟踪训练1 在彩色显影中，由经验知：
形成染料光学密度y与析出银的光学密度x由公式y＝A
（b<0）表示．现测得试验数据如下：
xi
0.05
0.06
0.25
0.31
0.07
0.10
yi
0.10
0.14
1.00
1.12
0.23
0.37
xi
0.38
0.43
0.14
0.20
0.47
yi
1.19
1.25
0.59
0.79
1.29
试求y对x的回归方程．
解 由题给的公式y＝A
，两边取自然对数，便得lny＝lnA＋
，与线性回归方程相对照，只要取u＝
，v＝lny，a＝lnA．就有v＝a＋bu.
题给数据经变量置换u＝
，v＝lny变成如下表所示的数据：
ui
20.000
16.667
4.000
3.226
14.286
10.000
vi
－2.303
－1.966
0
0.113
－1.470
－0.994
ui
2.632
2.326
7.143
5.000
2.128
vi
0.174
0.223
－0.528
－0.236
0.255
可得ln＝0.548－
，
即＝
e＝e0.548·
≈1.73
，
这就是y对x的回归方程．
探究点二 非线性回归分析
思考1 对于两个变量间的相关关系，是否只有唯一一种回归模型来拟合它们间的相关关系？
答 不一定．我们可以根据已知数据的散点图，把它与幂函数、指数函数、对数函数、二次函数图象进行比较，挑选一种拟合比较好的函数，作为回归模型．
思考2 对同一个问题建立的两种不同回归模型，怎样比较它们的拟合效果？
答 有两种比较方法：
（1）计算残差平方和，残差平方和小的模型拟合效果好；
（2）计算相关指数R2，R2越接近于1的模型拟合效果越好．
例2为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：
天数x/天
1
2
3
4
5
6
繁殖个数y/个
6
12
25
49
95
190
（1）用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图；
（2）描述解释变量x与预报变量y之间的关系；
（3）计算相关指数．
解
（1）所作散点图如图所示．
（2）由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1ec2x的周围，于是令z＝lny，则
x
1
2
3
4
5
6
z
1.79
2.48
3.22
3.89
4.55
5.25
由计算器得：
＝0.69x＋1.115，则有＝e0.69x＋1.115.
（3）
6.08
12.12
24.17
48.18
96.06
191.52
y
6
12
25
49
95
190
＝
（yi－i）2＝4.8161，
（yi－
）2＝24642.8，
R2＝1－
≈0.9998，
即解释变量天数对预报变量繁殖细菌个数解释了99.98%.
反思与感悟 研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后通过图形来分析残差特性，用残差1，2，…，n来判断原始数据中是否存在可疑数据，用R2来刻画模型拟合的效果．
跟踪训练2 对两个变量x，y取得4组数据（1,1），（2，1.2），（3,1.3），（4,1.37），甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：
甲y＝0.1x＋1，乙y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，丙y＝－0.8·0.5x＋1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际．
解 对甲模型：
残差平方和
（yi－i）2＝0.0109；
对乙模型：
残差平方和
（yi－i）2＝0.0049；
对丙模型：
残差平方和
（yi－i）2＝0.0004.
显然丙的残差平方和最小，故丙模型更接近于客观实际．
1．散点图在回归分析中的作用是（ ）
A．查找个体个数B．比较个体数据大小关系
C．探究个体分类D．粗略判断变量是否相关
答案 D
2．变量x与y之间的回归方程表示（ ）
A．x与y之间的函数关系
B．x与y之间的不确定性关系
C．x与y之间的真实关系形式
D．x与y之间的真实关系达到最大限度的吻合
答案 D
3．变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数r最接近的值为（ ）
A．1B．－0.5
C．0D．0.5
答案 C
4．非线性回归分析的解题思路是________．
答案 通过变量置换转化为线性回归分析
[呈重点、现规律]
非线性回归问题的处理方法
（1）指数函数型y＝ebx＋a
①函数y＝ebx＋a的图象：
②处理方法：
两边取对数得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始数据（x，y）转化为（x，z），再根据线性回归模型的方法求出b，a.
（2）对数曲线型y＝blnx＋a
①函数y＝blnx＋a的图象：
②处理方法：
设x′＝lnx，原方程可化为y＝bx′＋a，
再根据线性回归模型的方法求出a，b.
（3）y＝bx2＋a型
处理方法：
设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.
一、基础过关
1．下列说法正确的是（ ）
①线性回归方程适用于一切样本和总体；
②线性回归方程一般都有时间性；
③样本的取值范围会影响线性回归方程的适用范围；
④根据线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．
A．①③④B．②③
C．①②D．③④
答案 B
2．某地财政收入x与支出y满足回归方程y＝x＋＋e（单位：
亿元），其中＝0.8，＝2，|e|<0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过（ ）
A．10亿B．9亿
C．10.5亿D．9.5亿
答案 C
解析 代入数据＝10＋e，因为|e|<0.5，
所以||<10.5，故不会超过10.5亿．
3．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i＝1,2，…，n）都在直线y＝
x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）
A．－1B．0
C.
D．1
答案 D
4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是（ ）
A．y＝2x－2B．y＝（
）x
C．y＝log2xD．y＝
（x2－1）
答案 D
解析 可以代入检验，当x取相应的值时，所求y与已知y相差最小的便是拟合程度最高的．
5．如果散点图的所有点都在一条直线上，则残差均为________，残差平方和为________，相关指数为________．
答案 0 0 1
6．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围，令z＝lny，求得线性回归方程为＝0.25x－2.58，则该模型的回归方程为________．
答案 ＝e0.25x－2.58
解析 ∵＝0.25x－2.58，z＝lny，∴＝e0.25x－2.58.
某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：
推销员编号
1
2
3
4
5
工作年限x/年
3
5
6
7
9
推销金额y/万元
2
3
3
4
5
（1）求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
（2）若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．
解
（1）设所求的线性回归方程为＝x＋，
则＝
＝
＝0.5，＝
－
＝0.4.
∴年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为＝0.5x＋0.4.
（2）当x＝11时，＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9（万元）．
∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．
二、能力提升
8．有下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；
②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好；
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
答案 D
解析 ①选用的模型是否合适与残差点的分布有关；对于②③，R2的值越大，说明残差平方和越小，随机误差越小，则模型的拟合效果越好．
9．为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2.已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说法正确的是（ ）
A．直线l1和l2有交点（s，t）
B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点（s，t）
C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行
D．直线l1和l2必定重合
答案 A
解析 由于回归直线一定过（
，
），
∴直线l1和l2都过（s，t）点．
10．某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得：
xi＝52，
yi＝228，
x
＝478，
xiyi＝1849，则y与x的线性回归方程是________．
答案 ＝11.47＋2.62x
11．某种产品的广告费支出x（单位：
百万元）与销售额y（单位：
百万元）之间有如下对应数据：
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
（1）画出散点图；
（2）求y关于x的线性回归方程.
解
（1）散点图如图所示：
（2）列出下表，并用科学计算器进行有关计算.
i
1
2
3
4
5
xi（百万元）
2
4
5
6
8
yi（百万元）
30
40
60
50
70
xiyi
60
160
300
300
560
＝5；
＝50；
x
＝145；
xiyi＝1380
于是可得＝
＝
＝6.5，
＝
－
＝50－6.5×5＝17.5.
于是所求的线性回归方程是＝6.5x＋17.5.
12.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2002
2004
2006
2008
2010
需求量（万吨）
236
246
257
276
286
（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程＝x＋；
（2）利用
（1）中所求出的线性回归方程预测该地2012年的粮食需求量．
解
（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求线性回归方程，先将数据预处理如下：
年份－2006
－4
－2
0
2
4
需求量－257万吨
－21
－11
0
19
29
由预处理后的数据，容易算得
＝0，
＝3.2，
＝
＝
＝6.5，
＝
－
＝3.2.由上述计算结果，知所求线性回归方程为－257＝（x－2006）＋＝6.5（x－2006）＋3.2.
即＝6.5（x－2006）＋260.2.
（2）利用所求得的线性回归方程，可预测2012年的粮食需求量为6.5×（2012－2006）＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2（万吨）≈300（万吨）．
三、探究与拓展
13.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：
千元）与月储蓄yi（单位：
千元）的数据资料，算得
i＝80，
i＝20，
iyi＝184，
＝720.
（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；
（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
解
（1）由题意知n＝10，
＝
i＝
＝8，
＝
i＝
＝2，
又lxx＝
－n
2＝720－10×82＝80，
lxy＝
iyi－n
＝184－10×8×2＝24，
由此得b＝
＝
＝0.3，
a＝
－b
＝2－0.3×8＝－0.4，
故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.
（2）由于变量y的值随x值的增加而增加（b＝0.3>0），故x与y之间是正相关．
（3）将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7（千元）．
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