第五章 学案7.docx
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第五章学案7
学案7 向心力
[学习目标定位]1.理解向心力的概念，知道向心力是根据力的作用效果命名的.2.掌握向心力的表达式，并会分析计算实际情景中的向心力.3.知道变速圆周运动中向心力是合外力的一个分力，知道合外力的作用效果．
一、向心力
1．定义：
做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向圆心的合力，这个力叫做向心力．
2．大小
（1）Fn＝m
.
（2）Fn＝mω2r.
3．方向：
始终沿着半径指向圆心．
二、变速圆周运动和一般的曲线运动
1．变速圆周运动：
同时具有向心加速度和切向加速度的圆周运动．
2．一般曲线运动的处理方法：
一般的曲线运动中，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧，研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的处理方法进行处理.
一、向心力
[问题设计]
1．如图1所示，用细绳拉着小球在光滑水平面内做匀速圆周运动，若小球的线速度为v，运动半径为r，则小球的向心加速度是多少？
是什么力产生的加速度？
该力的大小、方向如何？
图1
答案 向心加速度an＝
，产生加速度的是小球受到的重力、支持力和绳的拉力的合力．合力的大小为F＝man＝m
，方向指向圆心．
2．若月球绕地球做匀速圆周运动的角速度为ω，月地距离为r，那么月球的向心加速度是多少？
是什么力产生的加速度？
该力的大小方向如何？
答案 向心加速度an＝ω2r，是地球对月球的引力产生的加速度，引力的大小为F＝man＝mω2r，方向指向地球．
[要点提炼]
1．向心力的大小：
Fn＝man＝m
＝mω2r＝mωv＝m（
）2r.
2．向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力．
3．向心力的作用效果——改变线速度的方向．由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小．
二、向心力的来源
[问题设计]
请同学们分析下列几种圆周运动所需向心力分别由什么力提供．
图2
（1）地球绕太阳做圆周运动．
（2）圆盘上物块随圆盘一起匀速转动（如图2甲）．
（3）在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动（如图乙）．
答案
（1）太阳对地球的引力．
（2）物块受到的静摩擦力（也可以说是物块所受重力、支持力、静摩擦力的合力）．
（3）漏斗对小球的支持力和小球所受重力的合力．
[要点提炼]
1．向心力是根据力的作用效果命名的，它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力．
注意：
向心力不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，受力分析时不能添加向心力．
2．物体做匀速圆周运动的条件：
合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心．
三、实验：
用圆锥摆粗略验证向心力的表达式
[问题设计]
如图3所示，用长为l的细线系一个质量为m的小球，当小球在水平面内做周期为T的匀速圆周运动时，绳子与竖直方向夹角为θ.
图3
（1）小球受哪些力作用，合力是多少？
（2）若向心力的表达式正确，会有什么样的结果？
答案
（1）如图所示，小球受到重力和拉力的作用，合力F＝mgtanθ
（2）小球做圆周运动需要的向心力为
F＝m
r＝m
lsinθ，若此向心力表达式正确会有mgtanθ＝m
lsinθ.
[要点提炼]
用圆锥摆粗略验证向心力表达式的原理：
（1）让细线带动小球做稳定的圆周运动且小球刚好离开水平桌面（如图4所示），用秒表测出转n圈的时间t，计算出周期T.
图4
（2）用刻度尺测出圆半径r和小球距悬点的竖直高度h，计算出角θ的正切值，则F＝mgtanθ.
（3）验证公式mgtanθ＝m
r.
四、变速圆周运动和一般的曲线运动
[问题设计]
用绳拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做变速圆周运动，思考以下问题：
（1）图5表示做圆周运动的沙袋正在加速运动的情况，分析绳对沙袋的拉力方向并讨论拉力的作用效果．
图5
（2）如果将拉力按照其作用效果进行分解，两个分力各产生了怎样的加速度？
分加速度的效果如何？
答案
（1）绳对沙袋的拉力方向不经过圆心，即不与沙袋的速度方向垂直，而是与沙袋的速度方向成一锐角θ，如题图，拉力F有两个作用效果，一是改变线速度的大小，二是改变线速度的方向．
（2）根据F产生的作用效果，可以把F分解为两个相互垂直的分力：
跟圆周相切的分力Ft和指向圆心的分力Fn；Ft产生切线方向的加速度，改变线速度的大小，Fn产生向心加速度，改变线速度的方向．
[要点提炼]
1．变速圆周运动
（1）受力特点：
变速圆周运动中合外力并不指向圆心，合力F产生改变速度大小和方向两个作用效果．即
（2）向心加速度，向心力公式仍适用：
某一点的向心加速度和向心力仍可用an＝
＝ω2r，Fn＝m
＝mω2r公式求解，只不过v、ω都是指那一点的瞬时速度．
2．一般曲线运动的处理方法
一般曲线运动，可以把曲线分割成许多极短的小段，每一小段的运动都可看作圆周运动的一部分，圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径．这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理．
一、对向心力的理解
例1
关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力，下列说法正确的是（ ）
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．它是物体所受的合外力
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
解析 做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合外力，由于始终指向圆心，且与线速度垂直，故不能改变线速度的大小，只能改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A、D错误，B、C正确．
答案 BC
二、向心力来源分析
例2
如图6所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距圆心为r处的P点相对圆盘静止．关于小强的受力，下列说法正确的是（ ）
图6
A．小强在P点不动，因此不受摩擦力作用
B．若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩擦力为零
C．小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充当向心力
D．如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受摩擦力仍指向圆心
解析 由于小强随圆盘做匀速圆周运动，一定需要向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方向上，它们不能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，且充当向心力，A、B错误，C正确；当小强随圆盘一起做变速圆周运动时，合力不再指向圆心，则其所受的摩擦力不再指向圆心．D错．
答案 C
三、圆周运动中的动力学问题
例3
如图7所示，质量为1kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2m/s，已知球心到悬点的距离为1m，重力加速度g＝10m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小．
图7
解析 小球在最低点时做圆周运动的向心力由重力mg和绳的拉力FT提供（如图所示），
即FT－mg＝
所以FT＝mg＋
＝（1×10＋
）N＝14N
小球对绳的拉力与绳对小球的拉力是一对作用力和反作用力，所以小球在最低点时对绳的拉力大小为14N.
答案 14N
四、圆锥摆类模型
例4
如图8所示，已知绳长为L＝20cm，水平杆长为L′＝0.1m，小球质量m＝0.3kg，整个装置可绕竖直轴转动．（g取10m/s2）问：
图8
（1）要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动才行？
（2）此时绳子的张力多大？
解析 小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，轨道半径r＝L′＋Lsin45°.对小球受力分析如图所示，设绳对小球拉力为FT，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力．
对小球利用牛顿第二定律可得：
mgtan45°＝mω2r①
r＝L′＋Lsin45°②
联立①②两式，将数值代入可得
ω≈6.44rad/s
F＝
≈4.24N
答案
（1）6.44rad/s
（2）4.24N
1．（对向心力的理解）下列关于向心力的说法中正确的是（ ）
A．物体受到向心力的作用才可能做圆周运动
B．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力或某几种力的合力
D．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢
答案 CD
解析 向心力是一种效果力，实际由某种或某几种性质力提供，受力分析时不分析向心力，A、B错，C对．向心力只改变物体线速度的方向，不改变线速度的大小，D对．
2．（向心力来源分析）在马戏团表演的场地里，表演者骑在大象背上，大象绕着场地走动，若大象是沿着半径为R的圆周匀速走动，则关于大象和表演者的受力情况，下面说法正确的是（ ）
A．表演者骑在大象背上不动，他受到的力是平衡力
B．表演者的向心力是地面摩擦力通过大象作用于他的
C．大象和表演者所受向心力大小与两者的质量成正比
D．大象与人两者做匀速圆周运动的向心力是地面摩擦力提供的
答案 CD
3．（圆周运动的动力学问题）游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达20m/s2，g取10m/s2，那么此位置的座椅对游客的作用力相当于游客重力的（ ）
A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍
答案 C
解析 游客乘坐过山车在圆弧轨道最低点的受力如图所示．由牛顿第二定律得FN－mg＝ma向＝2mg，
则FN＝mg＋2mg＝3mg，
＝3.
4．（圆锥摆类模型）两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图9所示，A运动的半径比B的大，则（ ）
图9
A．A所需的向心力比B的大
B．B所需的向心力比A的大
C．A的角速度比B的大
D．B的角速度比A的大
答案 A
解析 小球的重力和绳子的拉力的合力充当向心力，设悬线与竖直方向夹角为θ，则Fn＝mgtanθ＝mω2lsinθ，θ越大，向心力Fn越大，所以A对，B错；而ω2＝
＝
.故两者的角速度相同，C、D错．
题组一 对向心力的理解及其来源分析
1．下列关于向心力的说法中正确的是（ ）
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力会改变做圆周运动物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合力
D．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
答案 C
解析 当物体所受外力的合力始终有一分力垂直于速度方向时，物体就将做圆周运动，该分力即为向心力，故先有向心力然后才使物体做圆周运动．因向心力始终垂直于速度方向，所以它不改变速度的大小、只改变速度的方向，当合力完全提供向心力时，物体就做匀速圆周运动，该合力大小不变、方向时刻改变，故向心力是变化的．
2．如图1所示，物体A、B随水平圆盘绕轴匀速转动，物体B在水平方向所受的作用力有（ ）
图1
A．圆盘对B及A对B的摩擦力，两力都指向圆心
B．圆盘对B的摩擦力指向圆心，A对B的摩擦力背离圆心
C．圆盘对B及A对B的摩擦力和向心力
D．圆盘对B的摩擦力和向心力
答案 B
解析 以A、B整体为研究对象，受重力、圆盘的支持力及圆盘对B的摩擦力，重力与支持力平衡，摩擦力提供向心力，即摩擦力指向圆心．以A为研究对象，受重力、B的支持力及B对A的摩擦力，重力与支持力平衡，B对A的摩擦力提供A做圆周运动的向心力，即方向指向圆心，由牛顿第三定律，A对B的摩擦力背离圆心，所以物体B在水平方向受圆盘指向圆心的摩擦力和A对B背离圆心的摩擦力，故B正确．
3．在水平面上，小猴拉着小滑块做匀速圆周运动，O点为圆心，能正确地表示小滑块受到的牵引力及摩擦力Ff的图是（ ）
答案 A
解析 滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，故滑动摩擦力的方向沿圆周的切线方向，B、D错误；小滑块做匀速圆周运动，其合外力提供向心力，故A正确，C错误．
4．如图2所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是（ ）
图2
A．绳的拉力
B．重力和绳的拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向的分力的合力
答案 CD
解析 小球仅受重力和绳子拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力．因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力，故C、D正确．
5．一个小物块从内壁粗糙的半球形碗边下滑，在下滑过程中由于摩擦力的作用，物块的速率恰好保持不变，如图3所示，下列说法中正确的是（ ）
图3
A．物块所受合外力为零
B．物块所受合外力越来越大
C．物块所受合外力大小保持不变，但方向时刻改变
D．物块所受摩擦力大小变化
答案 CD
解析 由于物块做匀速圆周运动，故合外力的方向只是改变物体的速度方向，故合外力时刻指向圆心，且大小保持不变，A、B错误，C正确；对物块受力分析知物块所受摩擦力总是与重力沿切线方向的分力G1相等，因随物块下滑G1逐渐减小，故物块所受摩擦力也逐渐减小，D正确．
题组二 圆锥摆类模型
6．质量为m的飞机，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，空气对飞机作用力的大小等于（ ）
A．m
B．m
C．m
D．mg
答案 A
解析 空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：
竖直方向的作用力使飞机克服重力作用而升空；其二：
水平方向的作用力提供向心力，使飞机可在水平面内做匀速圆周运动．对飞机的受力情况进行分析，如图所示．飞机受到重力mg、空气对飞机的作用力F，两力的合力为Fn，方向沿水平方向指向圆心．由题意可知，重力mg与Fn垂直，故F＝
，又Fn＝m
，联立解得F＝m
.
7．如图4所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆）．现使小球在一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动（图上未画出），两次金属块Q都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是（ ）
图4
A．小球P运动的周期变大
B．小球P运动的线速度变大
C．小球P运动的角速度变大
D．Q受到桌面的支持力变大
答案 BC
解析 对小球受力分析知，小球的合力为F合＝mgtanθ，因为mgtanθ＝mω2lsinθ，所以ω＝
，当小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动时θ变大，则ω变大，又因为T＝
，所以周期变小，故A错，C对．在更高的水平面上运动时，小球的运动半径变大，由v＝ωr知v变大，B正确；绳子的拉力在竖直方向的分力总等于小球P的重力，故Q受到桌面的支持力总等于P、Q的重力和，D错误．
8．如图5所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是（ ）
图5
A．速度vA＞vB
B．角速度ωA＞ωB
C．向心力FA＞FB
D．向心加速度aA＞aB
答案 A
解析 设漏斗的顶角为2θ，则小球的合力为F合＝
，由Fn＝F合＝
＝mω2r＝m
＝ma，知向心力FA＝FB，向心加速度aA＝aB，选项C、D错误；因rA＞rB，又由于v＝
和ω＝
知vA＞vB、ωA＜ωB，故A对，B错．
9．质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图6所示，则杆的上端受到的作用力大小为（ ）
图6
A．mω2R
B.
C.
D．不能确定
答案 C
解析 小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动．这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图所示．用力的合成法可得杆对球的作用力：
F＝
＝
，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的反作用力F′＝F，C正确．
题组三 圆周运动中的动力学问题
10．如图7所示，半径为r的圆筒，绕竖直中心轴OO′旋转，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒内壁间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦与动摩擦相同现要使a不下落，则圆筒转动的角速度ω至少为（ ）
图7
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 对物块受力分析知Ff＝mg，Fn＝FN＝mω2r，又由于Ff≤μFN，所以解这三个方程得角速度ω至少为
，D选项正确．
11．在光滑的水平面上，用长为l的细线拴一质量为m的小球，使小球以角速度ω做匀速圆周运动．下列说法中正确的是（ ）
A．l、ω不变，m越大线越易被拉断
B．m、ω不变，l越小线越易被拉断
C．m、l不变，ω越大线越易被拉断
D．m不变，l减半且角速度加倍时，线的拉力不变
答案 AC
解析 在光滑的水平面上细线对小球的拉力提供小球做圆周运动的向心力．由Fn＝mω2r知，在角速度ω不变时，Fn与小球的质量m、半径l都成正比，A正确，B错误；质量m不变时，Fn又与l和ω2成正比，C正确，D错误．
12．如图8所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，有m1＝2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为（ ）
图8
A．1∶1B．1∶
C．2∶1D．1∶2
答案 D
解析 设两球受绳子的拉力分别为F1、F2.
对m1∶F1＝m1ω
r1
对m2∶F2＝m2ω
r2
因为F1＝F2，ω1＝ω2
解得
＝
＝
.
13．如图9所示，在水平转台上放一个质量M＝2kg的木块，它与转台间最大静摩擦力Ffmax＝6.0N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O（孔光滑，忽略小滑轮的影响），另一端悬挂一个质量m＝1.0kg的物体，当转台以
角速度ω＝5rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离可能是（g取10m/s2，M、m均视为质点）（ ）
图9
A．0.04mB．0.08m
C．0.16mD．0.32m
答案 BCD
解析 当M有远离轴心运动的趋势时，有：
mg＋Ffmax＝Mω2rmax
当M有靠近轴心运动的趋势时，有：
mg－Ffmax＝Mω2rmin
解得：
rmax＝0.32m，rmin＝0.08m
即0.08m≤r≤0.32m.
14．如图10所示，水平转盘上放有质量为m的物体（可视为质点），连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
图10
（1）绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
（2）当角速度为
时，绳子对物体拉力的大小．
答案
（1）
（2）
μmg
解析
（1）当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，设转盘转动的角速度为ω0，则μmg＝mω
r，得ω0＝
（2）当ω＝
时，ω＞ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F＋μmg＝mω2r
即F＋μmg＝m·
·r，得F＝
μmg.
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