北师大版小学数学五年级知识梳理.docx
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北师大版小学数学五年级知识梳理
小学数学五年级上册北师大版知识梳理
一、倍数与因数
数的世界
1、像0、1、2、3、4、5、6……这样的数是自然数。
2、像-3、-2、-1、0、1、2、3……这样的数是整数。
探索活动
（一）2,5的倍数特征
1、个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
2、个位上是0或5的数都是5的倍数。
探索活动
（二）3的倍数特征
1、各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
找因数
1、找一个数的因数，一对一对有序地找就不会重复和遗漏。
一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数因数的个数是有限的。
1的因数只有1个，就是1。
2、倍数和因数：
倍数和因数是相互依存的。
如：
4×5=20，就可以说20是4和5的倍数，4和5是20的因数。
（注意：
我们只在自然数（0除外）范围内研究倍数和因数。
）
3、一个数的倍数有无数个，倍数的个数是无限的，而因数的个数是有限的。
4、一个数最大的因数和最小的倍数都是它本身。
5、找倍数：
从1倍开始有序地找，一个数没有最大的倍数，最小的倍数是它本身。
6、按一个数的因数分，自然数可以分为：
（质数、合数和1）三类。
找质数
1、一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫质数。
一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫合数。
1既不是质数，也不是合数
2、20以内的质数和合数：
质数：
2、3、5、7、11、13、17、19
合数：
4,6,8,10,12,14,15,16，18,20
数的奇偶性
1、按一个数的奇偶性来分，自然数可以分为（奇数和偶数）两类。
2、是2的倍数的数叫偶数，特征是：
个位上是0，2，4，6，8。
如：
2，4，6，8等等。
不是2的倍数的数叫奇数。
特征是：
个位上是1，3，5，7，9。
如：
1，3，33，99等等。
3、偶数＋偶数＝偶数 奇数＋奇数＝偶数
偶数＋奇数＝奇数
二、图形的面积
（一）
比较图形的面积
1、借助方格纸，能直接判断图形面积的大小。
2、平面图形面积大小的比较有多种方法：
根据图形面积的大小，可以直接进行比较；可以借助参照物进行比较；可以运用重叠的方法进行比较；借助方格，利用数方格的的方法进行比较；直接计算面积后再进行比较等。
3、图形面积相同，其形状可以是不同的。
补充知识点：
确定一个图形面积的大小，不仅是根据图形的形状，更重要的是根据图形所占格子的多少来确定。
地毯上的图形面积
1、根据地毯上所给图案探求不规则图案面积的计算方法。
直接通过数方格的方法，得出答案的面积。
将图案进行“化整为零”式的计算，即根据图案的特点，将整体的图案分割为若干个相同面积的小图案，通过求小图案的面积，得出整个图案的面积。
采用“大面积减小面积”的方法，即通过计算相关图形的面积，得到所求的面积。
补充知识点：
在解决问题时，策略和方法是多种多样的。
动手做
1、认识平行四边形、三角形与梯形的底和高。
从平行四边形一边的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。
2、三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。
从梯形的两条平行线中的一条上的某一点到对边画垂直线段，这条垂直线段就是梯形的高，这条对边就是梯形的底。
3、高和底的关系是对应的。
4、用三角板画出平行四边形的高的方法。
把三角板的一条直角边与平行四边形的一条边重合，让三角板的另一条直角边过对边的某一点。
从这一点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从点到垂足）就是平行四边形一条边上的高。
注意：
从一条边上的任意一点可以向它的对边画高，也可以从另一条边上的任意一点向它的对边画高，但把高画在底边延长线上在小学阶段不要求。
5、用三角板画出三角形的高的方法。
把三角板的一条直角边对准三角形的一个顶点，另一条直角边与这个顶点的对边重合。
从这个顶点沿着三角板的另一条直角边向它的对边画垂线，这条垂线（从顶点到垂足）就是三角形形一条边上的高。
6、用三角板画梯形的高的方法。
用同样的方法，画出梯形两条平行线之间的垂直线段，就是梯形的高。
探索活动
（一）平行四边形的面积
1、平行四边形的面积=拼成的长方形的面积
2、长方形的长就是平行四边形的底；长方形的宽就是平行四边形的高。
因此：
平行四边形面积=底×高
如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，那么，平行四边形的面积公式可以写成：
S=ah
3、运用平行四边形的面积计算公式计算相关图形的面积并解决一些实际问题。
补充知识点：
当平行四边形的底和高相同时，其面积也是相同的
探索活动
（二）三角形的面积
1、三角形面积=两个相同三角形拼成的平行四边形的面积÷2
三角形的底和高，也就是平行四边形的底和高。
因此：
三角形面积=平行四边形的面积÷2=底×高÷2
如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，那么，三角形的面积公式可以写成：
S=ah÷2
2、运用三角形的面积公式，计算相关图形的面积，解决实际问题。
补充知识点：
决定三角形面积的大小的因素不是图形的形状，而是三角形的底与高的长度，只要底和高相同，不同形状的三角形的面积也是相同的。
探索活动（三）梯形的面积
1、梯形面积=两个相同梯形拼成的平行四边形的面积÷2
梯形的上底与下底的和就是平行四边形的底，梯形的高就是平行四边形的高。
因此：
梯形面积=平行四边形面积÷2=底×高÷2=（上底+下底）×高÷2
如果用S表示梯形的面积，用a和b分别表示梯形的上底和下底，用h表示梯形的高，那么，梯形的面积公式可以写成：
S=（a+b）h÷2
2、运用梯形面积的计算公式，解决相应的实际问题。
补充知识点：
决定梯形面积的大小的因素不是图形的形状，而是梯形的上、下底之和与高的长度，只要上下底的和与高相同，不同形状的梯形的面积也是相同的。
三、分数
分数的再认识
1、分数单位：
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的1份的分数叫分数单位。
分饼
1、分子小于分母的分数是真分数，真分数﹤1。
分子大于或等于分母的分数是假分数，假分数≥1。
带分数是由整数和一个真分数组成，带分数＞1
2、假分数化成带分数的方法：
分子除以分母，商为分数的整数部分，分母不变，余数为分子。
3、带分数化成假分数的方法：
分母不变，假分数的分母乘整数部分加原分子作分子。
4、整数化成假分数：
分母乘以整数做分子。
分数与除法
分数与除法的关系：
被除数相当于分子，除数相当于分母，商相当于分数值（除数不为0）
分数基本性质
1、分数的基本性质：
分数的分子与分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数大小不变。
联系分数与除法的关系以及“商不变”的规律，来理解分数的基本性质。
2、分子相当于被除数，分母相当于除数，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
因此分数的分子和分母都乘或除以相同的数（0除外），分数的大小也是不变的。
运用分数的基本性质，把一个分数化成指定分母（或分子）而大小不变的分数。
找最大公因数
1、理解公因数和最大公因数的意义。
两数公有的因数是它们的公因数，其中最大的一个是它们的最大公因数。
2、找两个数的公因数和最大公因数的方法。
运用找因数的方法先分别找到两个数各自的因数，再找出两个数的因数中相同的因数，这些数就是两个数的公因数；再看看公因数中最大的是几，这个数就是两个数的最大公因数。
3、会找分子和分母的最大公因数。
补充知识点：
其他找最大公因数的方法。
找两个数的公因数和最大公因数，可以先找出两个数中较小的数的因数，再看看这些因数中有哪些也是较大的数的因数，那么这些数就是这两个数的公因数。
其中最大的就是这两个数的最大公因数。
例如：
找15和50的公因数和最大公因数：
可以先找出15的因数：
1，3，5，15。
再判断4个数中，哪几个也是50的因数，只有1和5，1和5就是15和50的公因数。
5就是它们的最大公因数。
如果两个数是不同的质数，那么这两个数的公因数只有1。
如果两个数是连续的自然数，那么这两个数的公因数只有1。
如果两个数具有倍数关系，那么较小的数就是这两个数的最大公因数。
也可适当的把短除法求公因数介绍给学生。
（据学生实际情况而定。
）
4与所有奇数的最大公因数是1；4与4的倍数的最大公因数是4。
约分
1、约分：
把一个分数的分子、分母同时除以公因数，分数值不变，这个过程叫做约分。
2、约分的方法：
一是用公因数一个一个地去除，二是直接用两个数的最大公因数去除。
3、分子、分母只有公因数1，不能再约分的分数，叫做最简分数。
补充知识点：
比较分数大小时，分母相同的、分子相同的可以直接比较，有些时候分子分母都不相同可以采用约分后进行比较的方法。
找最小公倍数
1、两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，其中最小的一个，叫做最小公倍数。
2、找两个数的公倍数和最小公倍数的方法。
先找出两个数各自的倍数（限制一定的范围内），再找出公有的倍数，最为两个数的公倍数，看看这些公倍数中最小的是几，这个数就是两个数的最小公倍数。
3、两个数公倍数的个数是无限的，因此只有最小公倍数没有最大的公倍数。
补充知识点：
其他找公倍数和最小公倍数的方法。
找两个数的公倍数和最小公倍数，可以先找出两个数中较大的数的倍数（限制一定的范围内），再看看这些倍数中有哪些也是较小的数的倍数，那么这些数就是这两个数的公倍数。
其中最小的就是这两个数的最小公倍数。
例如：
找6和9的公倍数和最小公倍数。
（50以内）可以先找出9的倍数（50以内）有：
9，18，27，36，45，再从这些数中找出6的倍数18，36，18和36就是6和9的公倍数，18是最小公倍数。
如果两个数是不同的质数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。
如果两个数是连续的自然数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积。
如果两个数具有倍数关系，那么较大的数就是这两个数的最小公倍数。
分数的大小
1、把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，这个过程叫作通分。
2、通分的两个要点：
和原来分数相等。
分母相同的数字。
分数大小比较。
同分母分数相比较，分子越大分数越大。
同分子分数相比较，分母越小分数越大。
分子分母都不相同的分数相比较的方法。
用通分的方法把分母不相同的分数化成和原来分数相等、并且分母相同的分数，再比较大小。
是把两个分数化成分子相同的分数，再比较大小。
补充知识点：
通分一般以最小公倍数作分母。
数学与交通
相遇
1、分析简单实际问题中的数量关系。
路程=速度×时间
2、用方程解决简单的实际问题。
强调列方程解应用题的步骤：
（1）找到题中的等量关系式
（2）解设所求量为x
（3）根据等量关系式列出相应的方程
（4）解答方程，注意结果无单位名称。
（5）检验做答。
补充知识点：
速度=路程÷时间
时间=路程÷速度
旅游费用
1、会利用已有的知识，依据实际情况给出较经济的方案，培养其数学应用意识。
2、能用不同的方法解决租车方案问题.
3、让学生体会到用列表的方法解决租车方案问题比较简便.
看图找关系
1、能读懂一些用来标识数量关系的图表，能从图中获取有关信息，体会图表的直观性。
2、结合实际问题情境，学会分析量与量之间的关系，提高观察能力。
3.了解图表在生活中的应用，能看懂用图来描述的事件和行为，体会数学图形语言简洁、明了的特点，增强数学应用的意识。
四、分数加减法
折纸
1、分母相同的分数相加减，分母不变，分子相加减。
2、分母不同的分数相加减，先通分，再按照同分母分数相加减的方法进行计算。
3、计算结果能约分的，要约成最简分数
4、计算结果是假分数的，要化成带分数或整数
星期日的安排
1、整数加减法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
注意：
观察分母的特点，能简算的要简算。
看课外书时间
1、分数化小数的方法：
用分子除以分母
2、小数化分数的方法：
把小数改写成分母是10、100、1000……的分数，再约分成最简分数。
3、分母不是整十，整百，整千的分数化小数，要用分母去除分子，除不尽的，可以根据（题目要求）按四舍五入保留几位小数。
五、图形的面积
（二）
组合图形面积
1、了解组合图形：
有几个简单的图形拼出来的图形，我们把它们叫做组合图形。
2、计算组合图形的面积的方法是多种多样的。
一般运用的方法是“分割法”和“添补法”。
分割法，即将这个图形分割成几个基本的图形。
分割图形越简洁，其解题的方法也将越简单，同时又要考虑分割的图形与所给条件的关系。
添补法，即通过补上一个简单的图形，使整个图形变成一个大的规则图形。
3、运用所学的知识，解决生活中组合图形的实际问题。
探索活动——成长的脚印
1、能正确估计不规则图形面积的大小。
2、能用数格子的方法，计算不规则图形的面积。
3、估计、计算不规则图形面积的内容主要是以方格图作为北京进行估计与计算的，所以借助方格图能帮助建立估计与计算不规则图形面积的方法。
尝试与猜想
鸡兔同笼
1、借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略—列表
点阵中的规律
1、能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系。
2、在“点阵中的规律”的活动中，通过观察前后图形中点的变化规律，推理出后续图形中点的数量。
六、可能性的大小
摸球游戏
1、客观事件中，“不可能”出现的现象用数据表示为“可能性是0”，客观事件中，“一定能”出现的现象用数据表示为“可能性是1”，当可能性是相等的时候，用数据表述是“
”。
逐步体会到数据表示的简洁性与客观性。
设计活动方案
1、运用分数表示可能性的大小，能自主地设计一些活动方案。
2、对实际生活中的事件与现象，能运用可能性的知识进行合理的解释。
数学与生活
迎新年
1、通过活动加深对可能性大小问题的理解，能用分数表示可能性大小，能按指定的可能大小设计方案。
2、能将所学的知识进行综合，并能解决一些简单的实际问题。
铺地砖
1、学习综合应用图形面积、乘除法、方程等知识解决简单的实际问题。
2、这类题的方法步骤是：
①先求卧室的面积②再求一块砖的面积③然后用卧室的面积÷一块砖的面积=至少需要的块数④最后用每块砖的钱数×块数=所需的钱数。
3、单位换算
1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷
小学数学五年级下册北师大版知识梳理
一、分数乘法
分数乘法
（一）
1、理解分数乘整数的意义。
分数乘整数的意义同整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
分数乘法
（二）
1、分数乘整数的计算方法。
分母不变，分子和整数相乘的积作分子。
能约分的要约成最简分数。
2、计算时，可以先约分在计算。
3、理解打折的含义。
例如：
九折，是指现价是原价的十分之九。
分数乘法（三）
1、分数乘分数的计算方法，并能正确进行计算。
分子相乘做分子，分母相乘做分母，能约分的可以先约分。
计算结果要求是最简分数。
2、比较分数相乘的积与每一个乘数的大小。
乘数乘以小于1的数，积小于乘数；乘数乘以等于1的数，积等于乘数；乘数乘以大于1的数，积大于乘数；真分数相乘积小于任何一个乘数；真分数与假分数相乘积大于真分数小于假分数。
二、长方体
长方体的认识
1、认识长方体、正方体，了解各部分的名称。
2、长方体顶点个数为8，有6个面，每个面形状都是长方形，特殊的有两个相对的面是正方形，其余四个面是完全一样的长方形。
相对的面是完全一样的长方形。
有12条棱，可以分为三组，相对的棱平行且相等。
3、正方体顶点个数为8，有6个面，每个面形状都是正方形，有12条棱，每条棱的长度都相等。
展开与折叠
1、长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4或者是长×4+宽×4+高×4（C=（a+b+h）×4或者C=a×4+b×4+h×4）
2、正方体的棱长总和=棱长×12（C=a×12）
长方体的表面积
1、长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2（S=（ab+ah+bh）×2）
2、正方体的表面积=棱长×棱长×6（S=6a²）
露在外面的面
1、综合运用有关知识解决实际露在外面的面的数量问题，并求露在外面的面的面积。
三、分数除法
倒数
1、如果两个数的乘积是1，那么我们称其中一个数是另一个数的倒数。
倒数是对两个数来说的，并不是孤立存在的。
2、1的倒数仍是1；0没有倒数。
0没有倒数，是因为在分数中，0不能做分母。
分数除法
（一）
1、分数除以整数，就是求这个数的几分之几是多少。
分数除以整数（0除外）等于乘这个数的倒数。
分数除法
（二）
1、一个数除以分数的意义与整数除法的意义相同；一个数除以分数等于乘这个数的倒数。
2、除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数。
3、比较商与被除数的大小。
除数小于1，商大于被除数；除数等于1。
商等于被除数；除数大于1，商小于被除数。
分数除法（三）
1、能用方程正确解答分数除法应用题。
数与生活
粉刷墙壁
1、粉刷的面积=粉刷五个面的面积-门的面积-黑板面积-窗的面积
2、综合应用图形面积解决实际生活的问题
折叠
1、通过动手操作，知道长方体、正方体的展开图，加深对长方体、正方体的认识。
四、长方体
（二）
体积与容积
1、体积：
物体所占空间的大小叫作物体的体积。
容积：
容器所能容纳入体的体积叫做物体的容积。
体积单位
常用的体积单位有：
立方厘米、立方分米、立方米。
长方体的体积
1、长方体的体积=长×宽×高V=abh
2、正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a³
补充知识点：
长方体的体积=横截面面积×长
冰箱的容积用“升”作单位；我们饮用的自来水用“立方米”作单位。
体积单位的换算
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1升=1000毫升
1升=1立方分米
1毫升=1立方厘米
1m³=1000dm³1dm³=1000cm³
1L=1000ml1L=1dm³
1ml=1cm³
有趣的测量
熟练运用体积知识解决生活中的实际问题
五、分数混合运算
分数混合运算
（一）
1、体会分数混合运算的运算顺序和整数是一样的。
分数混合运算
（二）
2、整数的运算律在分数运算中同样适用。
分数混合运算（三）
1、利用方程解决与分数运算有关的实际问题。
2、分数中的估算。
六、百分数
百分数的认识
1、百分数的意义：
百分数表示一个数另一个数的百分之几。
百分数也叫百分比、百分率。
合格率
1、解决一个数是另一个数的百分之几的实际问题。
这部分知识同分数除法中求一个数是另一个数的几分之几相同。
2、小数化成百分数的方法：
把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；把分数化成百分数，可以先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再写成百分数；也可以把分子分母同时乘一个数将其化成一百分之几的数，再写成百分数。
蛋白质含量
1、求一个数的百分之几是多少。
方法同求一个数的几分之几是多少。
2、百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。
百分数化成小数时，要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
这月我当家
1、用百分数解决有关百分数的简单实际问题
数学与购物
估计费用
1、选择合理的估算策略进行合理估算。
购物策略
1、熟练运用数学知识解决生活中的实际问题
包装的学问
1、运用表面积计算解决实际问题
七、统计
扇形统计图
1、用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。
优点：
很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。
奥运会
1、条形统计图，优点：
很容易看出各种数量的多少。
注意：
画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。
取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；
2、复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。
2、折线统计图：
用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。
优点：
不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
注意：
折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。
中位数和众数
1、将一组数据从小到大（或从大到小）排列，中间的数称为这组数据的中位数。
一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数。
2、将一组数据按大小的顺序排列，如果是奇数个数据，中间的数就为这组数据的中位数，如果是偶数个数据，中间两个数的平均数为这组数据的中位数。
3、众数，就是一组数据中出现次数最多的，有可能是多个众数。
在一组数据中，出现次数最多的数，是这组数据的众数。
在一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有众数。
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