人教版五年级下册数学知识点汇编.docx
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人教版五年级下册数学知识点汇编
第一单元《图形的变换》
1.轴对称：
轴对称:
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
如下图所示：
2、轴对称图形的特征和性质：
①对应点到对称轴的距离相等；
②对应点的连线与对称轴垂直；
③对称轴两边的图形大小、形状完全相同。
3、对称图形包括轴对称图形和中心对称图形。
平行四边形（除棱形）属于中心对称图形
4、轴对称图形的作用
（1）可以通过对称轴的一边从而画出另一边；
（2）可以通过画对称轴得出的两个图形全等。
轴对称和轴对称图形，都是关于某条直线对称，轴对称是指2个图形，轴对称图形是指1个图形的两个部分。
5、画轴对称图形的方法：
画一个图形的轴对称图形，可按以下四个步骤来完成
（1）确定所给图形的关键点，
（2）确定关键点到对称轴的距离，
（3）确定关键点的对应点
把描出的对应点按顺序边线。
三、旋转
1、物体旋转时应抓住三点：
①旋转中心；
②旋转方向；
③旋转角度。
2、旋转只改变物体的位置（旋转中心位置不会变），不改变物体的形状、大小。
3、旋转：
在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
4、旋转的性质：
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；其中对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后图形的大小和形状没有改变；两组对应5、图形的旋转的含义及旋转方向和度数
物体旋转时，应抓住三个基本要素：
旋转点、旋转方向和旋转的角度。
（1）旋转点：
物体旋转时所绕的点就是旋转点。
（2）旋转方向：
钟表上指针的旋转方向称为顺时针方向；与钟表上指针旋转的方向相反的称为逆时针方向。
（3）旋转的角度：
对应线段的夹角。
6、旋转一周是360度，钟面上12个时刻把360度等分成了12份，每份就是30度。
每一个小格是6度。
7、旋转后的图形与旋转前的图形相比较，每条边，每个点都旋转了相同的角度，但图形的大小、形状没有改变。
8、如何画旋转图形
（1）确定所给图形的关键点。
（2）确定关键点到旋转点的距离；
（3）确定关键点的对应点，对应点与旋转点所连线段的夹角和要求旋转的度数一致，对应点到旋转点的距离相等，
（4）把描出的对应点按顺序连线。
第二单元《因数和倍数》
1、因数和倍数的定义
2和6是12的因数，12是2的倍数，12也是6的倍数
18的因数有1、18、2、9、3、6
找一个数的因数的方法：
1 列乘法算式找，根据因数的意义，有序地写出两个整数的相乘得此数的所有乘法算式，算式中的每一个因数都是该数的因数。
2 列除法算式找，用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是该数的因数。
表示一个数的因数的方法有：
列举法和集合表示法。
2、一个数的因数个数是有限的，一个数的倍数有无数个
任何数都有最小的因数1，最大的因数是它本身，最小的倍数也是它本身。
一个数最大的因数+它最小的倍数＝2倍的它本身
一个数最大的因数－它最小的倍数＝0
一个数最大的因数÷它最小的倍数＝1
一个数最大的因数×它最小的倍数＝这个数的平方。
（列如3×3＝9）
找一个数的倍数的方法：
1 列乘法算式找，用这个数依次与非零自然数相乘，所乘之积就是这个数的倍数。
2 列除法算式找，看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数倍数。
表示一个数的倍数的方法有：
列举法、和集合表示法。
3、2、3和5倍数的特征
2的倍数的特征是个位是0、2、4、6、8，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数
偶数：
自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）最小的偶数是0。
奇数：
自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数，最小的奇数是1
5的倍数的数特征是个位是0或5
3的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
（注意：
如果各个数位上的数字相加后仍然判断不出是否是3的倍数，可以把加后所得的数各个数位上的数字继续相加）
4、如果a是自然数，偶数可以用2a表示，奇数可以用2a+1表示。
自然数a，当a是偶数时，a+2是偶数，当a是奇数时，a+2是奇数。
5、同时是2、3、5的倍数最小两位数是30，最大的两位数是90；最小三位数是120，最大的三位数是990；
奇数偶数的性质
关于奇数和偶数，有下面的性质：
（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；
（2）奇数跟奇数和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和都是偶数；
（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；
（4）除2外所有的正偶数均为合数；
（5）相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。
（6）奇数的积是奇数；偶数的积是偶数；奇数与偶数的积是偶数；
（7）偶数的个位上一定是0、2、4、6、8；奇数的个位上是1、3、5、7、9。
自然数的分类
一个自然数，它不是奇数，就一定是偶数。
4、只有1和本身两个因数的数叫做质数（或素数）
5、除了1和本身外还有其它因数的数叫做合数
6、1和0既非素数也非合数。
1既不是质数，也不是合数
合数是由若干个质数相乘而得到的。
质数是合数的基础，没有质数就没有合数。
7、100以内的质数（素数）：
2357111317192329313741434753596167717379838997
补充知识：
1．9的倍数的数特征是一个数各位上的数字的和是9的倍数，这个数就是9的倍数，这个数一定是3的倍数。
2.既是4的倍数，这个数一定是2的倍数。
3．既是2的倍数，又是5的倍数的数的特征是个位必须是0
4．如果a和b都是c的倍数，那么a－b和a＋b一定也是c的倍数
5．如果a是c的倍数，那么a乘以一个数（0除外）后的积也是c的倍数
偶数＋偶数=偶数
偶数－偶数=偶数
偶数×偶数=偶数
偶数＋奇数=奇数
偶数－奇数=奇数
偶数×奇数=偶数
奇数＋奇数=偶数
奇数－偶数=奇数
奇数×奇数=奇数
奇数－奇数=偶数
无论多少个偶数相加都是偶数
偶数个奇数相加是偶数
奇数个奇数相加是奇数
质数奇数×质数=合数
6、没有最大的偶数，也没有最大的质数。
偶数的个数是无限的，奇数的个数也是无限。
7、质数一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫质数（或素数）
合数一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫合数
最小的质数（素数）是2。
最小的合数是4。
任何数都有它本身和1两个因数，0、1除外。
只有1这一个因数的数是1。
100以内的质数顺口溜：
2、三、五、七、一十一
13、十七、一十九
二三九，三一七，
五三九、六一七
四一三七、七一三九
八三、八九、九十七
分解质因数：
30=2×3×515=3×5
其中：
2，3，5本身都是质数，
同时它们又都是30和15的因数
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫做分解质因数
注意：
分解质因数的书写格式是：
一定是一个合数分成几个质数相乘的形式。
易错题及答案分析：
5、凡是质数都只有2个因数，而合数最少有三个因数
7是质数，它有因数（1、7）；12是合数它有因数（1、12、2、6、3、4），6个因数。
6、3的倍数最小是3，3是质数，除了3它本身以外，所有3的倍数都是合数。
7、自然数的个数是无限的，所以质数和合数的个数也是无限的，当然也就没有最大了。
第三单元《长方体和正方体》
1.长方体：
由六个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫长方体.长方体的任意一个面的对面都与它完全相同。
2.长、宽、高：
长方体的每一个矩形都叫做长方体的面，面与面相交的线叫做长方体的棱，三条棱相交的点叫做长方体的顶点，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
3.长方体的特征
（1）长方体有6个面,每个面都是长方形,至少有两个相对的两个面完全相同。
特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且完全相同。
（3）长方体有12条棱，相对的棱长度相等。
可分为三组，每一组有4条棱。
还可分为四组，每一组有3条棱。
（3）长方体有8个顶点。
每个顶点连接三条棱。
（4）长方体相邻的两条棱互相（相互）垂直。
长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。
在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
顶点个数
面
棱
个数
大小关系
条数
长度关系
8
6
相对的面相等
12
平行的棱长相等
4.棱长总和公式：
长方体棱长总和=4条长+4条宽+4条高＝（长+高+宽）×4
宽=棱长之和÷4－长－高
长＝棱长之和÷4－宽－高
高＝棱长之和÷4－宽－长
二、正方体的认识：
1.正方体的认识：
正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。
正方体有6个面，12条棱，8个顶点，每个面都是正方形，面积都相等。
每条棱的长度都相等。
正方体的长、宽、高都相等，统称棱长。
2.长方体和正方体的关系：
正方体是一种特殊的长方体。
3．正方体棱长之和：
棱长×１２=棱长之和
棱长之和÷１２＝棱长
4.长方体的表面积
（1）长方体和正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
（2）表面积计算公式
①.因为长方体有“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”6个面,相对的2个面相等，所以先算上下两个面，再算前后两个面，最后算左右两个面。
②长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
用字母表示：
S=（ab＋ah＋bh）×2
长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的表面积S：
S=2ab+2bc+2ca
=2（ab+bc+ca）
长方体没盖的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2
③特殊长方体的表面积（有两个面是正方形）
正方形的两个面完全相同，其余四个面完全相同。
5.长方体的体积
8.物体所占空间的大小叫做物体的体积。
9．常用的体积单位有立方厘米，立方分米和立方米，可以写成cm3，dm3，m3
长方体的体积=长×宽×高
设一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的体积V：
V=abc=Sh
6.长方体的棱长
长方体的棱长之和=（长+宽+高）×4
礼品盒包装带的长度=2长+2宽+4高
长方体棱长字母公式C=4（a+b+c）
相对的棱长长度相等
长方体棱长分为3组，每组4条棱。
每一组的棱长度相等
7.正方体：
侧面和底面均为正方形的直平行六面体叫正方体，即棱长都相等的六面体，又称“立方体”、“正六面体”。
正方体是特殊的长方体。
8.正方体的特征
（1）有6个面，每个面完全相同。
（2）有8个顶点。
（3）有12条棱，每条棱长度相等。
（4）相邻的两条棱互相（相互）垂直。
9.正方体的表面积
因为6个面全部相等，所以正方体的表面积＝一个面的面积×6=棱长×棱长×6
设一个正方体的棱长为a，则它的表面积S：
正方体表面积＝棱长×棱长×6
正方体＝底面积×6
底面积＝表面积÷6
S=6×a×a或等于S=6a2;
正方体没盖的表面积＝棱长×棱长×5
10.正方体的体积
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长；设一个正方体的棱长为a，则它的体积为：
V=a×a×a
11.正方体的展开图
正方体的平面展开图一共有11种。
。
12．容器所能容纳物体的体积，叫做容器的容积
长方体体积（容积）＝长×宽×高V=abh
a=Ｖ÷b÷h b=Ｖ÷a÷h h=Ｖ÷a÷b
正方体体积（容积）＝棱长×棱长×棱长V=a³
长方体（或正方体）体积＝底面积×高V=shh=Ｖ÷Ｓ Ｓ=Ｖ÷h
13.1m³=1000dm³1dm³=1000cm³
14.容积
（1）.箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
（2）.计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。
（3）.长方体或正方体容器的计算方法，跟体积的计算方法相同。
但要从容器里面量长、宽、高。
（1）单位：
常用容积单位升和毫升
（2）.1L=1000ml1L=1dm³1ml=1cm³
（3）表面积扩大棱长倍数的平方倍，体积扩大棱长倍数的立方倍。
表面积
（4）.表面积的常用单位有：
平方米、平方分米、 平方厘米相邻两个面积单位之间的进率是1001m2=100dm2 1dm2=100cm2
（5）.生活实际
油箱、罐头盒等都是6个面；游泳池、鱼缸等都只有5个面；水管、烟囱等都只有4个面。
（6）.长方体或正方体每截断一次会增加两个截面，所以这时的两个物体的表面积大于原来物体的表面积。
（7）.长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。
三、长方体和正方体的体积
1、体积：
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
（就是看物体含有多少个体积单位）
2、常用的体积单位有：
立方米（m3）、立方分米（dm3 ）、立方厘米（cm3）
①棱长是1cm的正方体，体积是1cm3
②棱长是1dm的正方体，体积是1dm3
③棱长是1m的正方体，体积是1m3
相邻两个体积单位之间的进率是1000 1m3=1000dm3 1dm3=1000cm3
7、容积：
容器所能容纳物体的体积，叫做它的容积。
8、容积单位有：
升（L）、毫升（ml）1L=1000ml
9、容积单位和体积单位的关系：
1L=1dm31ml=1cm3
10、容积的计算：
长方体和正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同，但要从里面量长、宽、高。
（所以物体的体积大于它的容积）。
11、长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。
12、排水法：
（计算不规则物体的体积）
①容器的底面积×上升那部分水的高度。
计算方法
②放入物体后的体积—原来水的体积
被浸没物体的体积等于上升那部分水的体积
13、把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
第四单元《分数的意义和性质》
分数的产生
分数的意义分数与意义：
把单位1平均分成几份，表示其中的一份或几份分数与除法：
分子（被除数），分母（除数），分数值（商）
真分数真分数小于1
真分数与假分数假分数假分数大于1或等于1.
带分数（整数部分和真分数）
假分数化带分数、整数（分子除以分母，商作整数部分余数作分子）
分数的基本性质：
分数的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分数的大小不变。
分数的基本性质
通分、通分子：
化成分母不同，大小不变的分数（通分）
最大公因数
约分求最大公因数
最简分数分子分母互质的分数（最简真分数、最简假分数）
约分及其方法
最小公倍数
通分求最小公倍数
分数比大小（通分、通分子、化成小数）
通分及其方法
小数化分数小数化成分母是10、100、1000的分数再化简
分数和小数的互化
分数化小数分子除以分母，除不尽的取近似值
最简分数的分母只含有质因数2和5,这个分数一定能化成有限小数。
分数化简包括两步：
一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。
一、分数的意义
1、分数的产生：
在进行测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示。
.一个物体、一些物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。
2、分数的意义：
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。
3、分数单位：
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
分数是由几个分数单位组成的。
分数单位及其个数：
一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一，分子是几，它就有几个这样的分数单位。
求分率：
把单位“1”平均分成若干份，求另一个量占总份数的几分之几。
求单量：
总量÷数量＝单量（用分数表示）
（单量、分率的分母都是平均分的总份数）
4、分数与除法的关系：
除法中的被除数相当于分数的分子，除数相等于分母。
被除数÷除数=
用字母表示：
a÷b=
（b≠0）。
单位换算：
把低级单位的名数换成高级单位的名数时，如果低单位上的数不能被进率整除，商就可以用分数表示。
（结果要约分）
求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。
商用分数表示，表示的是两个数的倍比关系，后面不写单位。
5、分数未带单位表示两个量之间的倍数关系；分数带有单位表示一个具体的数量。
6、分数大小的比较：
分母相同的两个数，分子大的数比较大。
分子相同的两个数，分母小的数比较大。
2、真分数和假分数
1、真分数和假分数：
①分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。
②分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。
假分数通常可以化为带分数或整数。
如果分子和分母成倍数关系，就可化为整数，如不是倍数关系，则化为带分数。
③由整数部分和分数部分组成的分数叫做带分数。
带分数的读法：
先读整数部分，再读分数部分，中间加“又”字。
带分数的写法:
“又”前面的是整数部分，后面是分数部分；先写整数部分，再写分数部分。
2、假分数与带分数的互化：
把假分数化成带分数，用分子除以分母，能整除的，所得的商就是整数，除不开的所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。
3、分数分类：
分数可以分成：
真分数，假分数，带分数，百分数
三、分数的基本性质
1、分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。
2.一个分数的分母不变，分子扩大若干倍，分数大小也扩大若干倍，如果分子不变，分母扩大若干倍，分数大小反而缩小相同的倍数。
四、约分
公因数：
在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的因数，那么这些因数就叫做它们的公因数。
任何两个自然数都有公因数1.（除零以外）而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数。
1、最大公因数：
几个数共有的因数叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数。
2、两个数的公因数和它们最大公因数之间的关系：
所有的公因数都是最大公因数的因数，最大公因数是它们的倍数。
3
3、互质数：
公因数只有1的两个数叫做互质数。
4、两个数互质的特殊判断方法：
①1和任何大于1的自然数互质。
②2和任何奇数都是互质数。
③相邻的两个自然数是互质数。
④相邻的两个奇数互质。
⑤不相同的两个质数互质。
⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。
5、求最大公因数的方法：
①倍数关系：
最大公因数就是较小数。
②互质关系：
最大公因数就是1
③一般关系：
从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。
6、最简分数：
分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
7、约分：
把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
（并不是一定要把分数化成与它相等的最简分数才叫约分；但一般要约到最简分数为止）
8、最简分数：
分子、分母只有公因数1的分数，叫做最简分数。
9、分解质因数：
每一个合数都可以由几个质数相乘得到。
五、通分
1公倍数：
指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数。
1、最小公倍数：
几个数共有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个叫最小公倍数。
2、两个数的公倍数和它们的最小公倍数之间的关系：
几个数的公倍数是它们最小公倍数的倍数。
3、通分：
根据分数的基本性质，把几个异分母分数化成与原来分数相等的且分母相同的分数，叫做通分。
（通分时，公分母一般为几个数的最小公倍数）。
4、求最小公倍数的方法：
①倍数关系：
最小公倍数就是较大数。
②互质关系：
最小公倍数就是它们的乘积。
③一般关系：
大数翻倍（从小到大看较大数的倍数是否是较小数的倍数）。
5.通分方法
（1）求出原来几个分数的分母的最小公倍数
（2）根据分数的基本性质，把原来分数化成以这个最小公倍数为分母的分数
5、分数的大小比较：
①同分母分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小；
②同分子分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。
③异分母分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。
6、约分和通分的依据都是分数的基本性质。
六、分数和小数的互化：
1、小数化分数：
。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……，去掉小数点作分子，能约分的必须约成最简分数；
小数化分数的方法：
小数化分数，原来有几位小数，就在１后面写几个０作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，化成分数后，能约分的要约分。
2、分数化小数：
用分子除以分母，除不尽的按要求保留几位小数。
（一般保留两位小数。
）
3、判断分数是否能化成有限小数的方法：
①判断分数是否是最简分数；如果不是最简分数，先把它化成最简分数；
②把分数的分母分解质因数:
如果分母中除了2和5以外，不含有其他质因数，这个分数就能化成有限小数；
如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
4、
=0.5
1.约数与因数区别：
（1）数域不同。
约数只能是自然数，而因数可以是任何数。
（2）关系不同。
约数是对两个自然数的整除关系而言，只要两个数是自然数，就能确定它们之间是否存在约数关系，如：
40÷5=8，40能被5整除，5就是40的约数，12÷10=1.2，12不能被10整除，10不是12的约数。
因数是两个或两个以上的数对它们的乘积关系而言的。
如：
8×2=16，8和2都是积16的因数，离开乘积算式就没有因数了。
（3）大小关系不同.当数a是数b的约数时，a不能大于b，当a是b的因数时，a可以大于b，也可以小于b。
一般情况下，约数等于因数。
2.公因数
两个或多个非零自然数公有的因数叫做它们的公因数。
两个数共有的因数里最大的那一个叫做它们的最大公因数。
（零除外）
其它：
1是所有非零自然数的公因数。
两个成倍数关系的自然数之间，小的那一个数就是这两个数的最大公因数。
3.完全数的由来：
公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完
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