考试试题讲解.docx

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考试试题讲解

北京首师大附中初一分班考试试题讲解

一、填空题：

1、2310的所有约数的和是_______。

先分解质因数,2310=2*3*5*7*11

求约数个数，质因数的指数加一，相乘。

（1+1）（1+1）（1+1）（1+1）（1+1）=32

求所有约数和，对于每个质因数,从1开始,加到对应质因数的最高次数,然后再相乘。

（1+2）*（1+3）*（1+5）*（1+7）*（1+11）=6912

例如:

99=3×3×11=3²×11

所有约数的和,就是:

（1+3+3²）×（1+11）=156

2、用

分别去除某一个分数，结果都是整数，那么这个分数最小是。

用5/28、15/56、1又1/20分别去除某分数，相当于用28/5、56/15、20/21去乘它，所以此数分子必定是这些数分母的最小公倍数（为了让它最小），分母必定是它们分子的最大公约数（为了让它最小），所以：

28、56、20的最大公约数是4，5、15、21的最小公倍数是105，所以它是105/4。

1994个1994

3、今年2月9日是星期五，问经过19941994……1994天，是星期________。

（包括今天）

1994÷7=284…6即每经历1994天星期几就得往前推6天

如“今年2月9日是星期五”，历经一个1994天后是星期四（星期五再往前推6天）

但要经历1994个1994天，而每个1994天就必须把星期几往前推6天，于是，就必须往后推1994×6=11964天

而11964÷7=1709…1，即往后推一天，故是星期六。

4、甲、乙、丙三种货物，如果购买甲3件、乙7件、丙1件共花元；如果购买甲4件、乙10件、丙1件共花元，那么购买甲、乙、丙各1件需_____元钱。

设甲乙丙分别单价分别是X,Y,Z元

3X+7Y+Z=,

（1）

4X+10Y+Z=,

（2）

（2）-

（1）:

X+3Y=代回

（1）：

3X+7Y+Z=3（X＋3Y）-2Y+Z=3*+Z=

Z-2Y=0,Z=2Y.

X+Y+Z=X+Y+2Y=X+3Y=

5、从1、2、3、…、1998、1989这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？

解：

每8个连续自然数中，至少只能取四个数，其中每两个数的差不等于4.

把1989个数依次每8个分成一组，最后5个数也成一组，即

1，2，3，4，5，6，7，8；

9，10，11，12，13，14，15，16；

…

1977，1978，1979，1980，1981，1982，1983，1984；

1985，1986，1987，1988，1989.

又1989÷8=248……5

因此可以分成249组，每一组都取前4个数，显然这些取出的数满足要求.这样共取出数

249×4=996（个）

答：

最多可以取出996个数.

6、（如图）三角形ABC中，C是直角，已知AC＝2厘米，CD＝2厘米,CB=3厘米,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积是______平方厘米。

7、六年级同学采了10千克蘑菇，这些蘑菇的含水量为99％，稍经晾晒后，含水量下降到98％，晾晒后的蘑菇重____千克。

解：

蘑菇含水量99%时，干蘑菇重10x（1-99%）=0.1KG

含水量为98%时，蘑菇重为（1-98%）=5KG

此时蘑菇重5公斤。

8、从楼下经过一些台阶走到楼上，规定你每一步只能跨上一级或两级台阶。

问：

（1）从楼下登上第五级台阶，有多少种不同的走法？

（2）从楼下登上第十级台阶，有多少种不同的走法？

解：

用递推即可

到达第一级有a1=1种方法，

到达第二级有a2=2种方法，（一步，或两步）

到达第三级可以从第一级上，也可以从第二级上

所以a3=a1+a2=3

同理a4=a3+a2=5

a5=a4+a3=8

即共有8种登法

a6=a5+a4=13

a7=a6+a5=21

a8=a7+a6=34

a9=a8+a7=55

a10=a9+a8=89

即共有89种登法

9、图中一个残缺的乘法竖式，在每个方框中填入一个不是2的数字，可使其成为正确的算式。

那么所得的乘积是。

76

X396

————

456

684

228

————

30096

先说那个9

设两位数为ab，三位数为def，假设结果是ABCD

ab*d得到220多，a*d=3*7，4*5不可能，其他更不可能，所以a=7,d=3或者a=3,d=7

ab*e得到三位数，A不是2，最多是3

那么ab*e的百位+2再加进位超过10，进位可能进1进2，所以ab*e的百位至少是6，可能是7，8

所以a>6，e=9

所以a=7,d=3

7b*3=220多，4<=b<=6，74*3=222不符合，所以5<=b<=6

如果b是5，75*3=225，75*9=685=>最终四位数百位向千位进位至少是2

5+8=13，20-13=7，75*f>700这样的f是不存在的

所以b是6

ab=76，76*3=228，76*9=684=>76*f>400，6<=f<=9

f=7，76*7=532，含2不符合

f=8，76*8=608，最终四位数百位是2，不符合

f=9，76*9=684，最终四位数十位是2，不符合

所以f=6

所以是76*396=30096

10、一只钟的时针与分针均指在4与6之间，且钟面上的“5”字恰好在时针与分针的正中央，问这时是时刻？

有两个答案：

设一个是4时x分，另一个是5时y分。

x－25＝25－（4×5＋1/12x）

x＝27又9/13

5×5＋1/12y－25＝25－y

y＝23又1/13

以钟面上60个小格为计算单位

分针每分钟跑1格，时针每分钟跑1/12格

假设时针在前，分针在后，此时是4时x分

150-（120+=6x-150

=180

x=360/13

x=27又9/13

所以此时是4时27又9/13分

假设时针在后，分针在前，此时是5时x分

=150-6x

=150

x=300/13

x=23又1/13

所以此时是5时23又1/13分

二、解答题：

11、有50名学生参加联欢会。

第一个到会的女生同全部男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握过手，三个到会的女生只差2个男生没握手，如此等等，最后一个到会的女生同7个男生握过手，问这50名同学中有多少男生？

解：

设女生有a人，男生有b人。

a+b=50（方程一）

1个女生b个男生

2个女生b-1个男生

3个女生b-2个男生

......

a个女生b-（a-1）

b-（a-1）=7（方程二）

解得b=28

答：

男生有28人。

12、司机开车按顺序到五个车站接学生到学校。

每个站都有学生上车。

第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。

车到学校时，车上最少有多少学生？

1+2+4+8+16=31...加上司机32不加司机31人

13、一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16时。

求水流的速度。

顺水速：

逆水速=（120-60）：

（120-80）=60:

40=3:

2

顺水速（120+80×3/2）÷16=240÷16=15千米/小时

逆水速（120×2/3+80）÷16=160÷16=10千米/小时

水速（15-10）÷2=2.5千米/小时

14、一空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管.单开甲管需5分钟注满水池,单开乙管需10分钟注满水池,满池水如果单开排水管需6分钟流尽.某次池中没有水,打开甲管若干分钟后,发现排水管未关上,随即关上排水管,同时打开乙管,又过了同样长的时间,水池的1/4注了水.如果继续注满水池,前后一共要花多少时间?

单开甲管需5分钟注满水池，则甲每分钟注入1/5；

单开乙管需10分钟注满水池，则乙每分钟注入1/10；

单开排水管需6分钟流尽，则排水管每分钟排水1/6；

1）假设水池的1/4注满水，花的时间为2n

由题意可列方程：

（1/5-1/6）n+（1/5+1/10）n=1/4

解之得n=3/42n=3/2

2）再假设注满水池剩下的3/4，需要的时间为m

由题意可列方程：

（1/5+1/10）m=3/4

解之得m=5/2

答：

前后一共需要的时间为2n+m=4分钟

【5106】30

设：

水池的注水量为30份。

水池的1/4：

30x1/4=份

还剩下：

=份

甲管1分钟能注：

30÷5=6份

乙管1分钟能注：

30÷10=3份

丙管1分钟能排：

30÷6=5份

甲乙1分钟：

6+3=9份

甲丙1分钟：

6-5=1份

9+1=10份

份÷10份=3/4

1x3/4=3/4（分钟）

前后一共要花：

3/4+3/4+9=4（分钟）

15．下面是一个算式：

1＋1×2＋1×2×3＋1×2×3×4＋1×2×3×4×5＋1×2×3×4×5×6

这个算式的得数能否是某个数的平方？

这六个加数的个位依次是1、2、6、4、0、0，可见这个算式的和的个位为3，不可能是是某个数的平方.

这个算式还可以加长一些，比方加到前10个数的和，结论是一样的，因为从1起的连续自然数的积，乘到5以后个位都是0。

1!

+2!

+...+9!

=409113

sqrt（409113）=

所以不是某个数的平方数

设：

第五个数为X则十个数之和为：

（X-4）+（X-3）+（X-2）+（X-1）+X+（X+1）+（X+2）+（X+3）+（X+4）+（X+5）=10X+5所以这种数必须是被十除余5的数所以1010不行，而505可以

16．四个小三角形的顶点处有六个圆圈，如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形顶点上的数之和相等。

问这六个质数的积是多少？

900.【解】设每个小三角形三个顶点上的数的和都是S。

4个小三角形的和S相加时，中间三角形每个顶点上的数被算了3次，所以：

4S＝2S＋20，从而：

S＝10，这样，每个小三角形顶点上出现的三个质数只能是2，3，5，从而六个质数是2，2，3，3，5，5，它们的积是：

2×2×3×3×5×5＝900

六个质数和是20,所以这六个数为，20=2+3+5+2+3+5

2

53

325

17．能不能将

（1）505；

（2）1010写成10个连续自然数之和？

如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。

10个连续自然数中，最小的自然数为N,则最大的自然数为N+9,则这10个连续自然数的平均数为[N+（N+9）]/2=N+,10个连续自然数的和为10N+45=10（N+4）+5,同时10N+45≥10+45=55，所以，只有个位数字为5，且该数大于或等于55时，才能写成10个连续自然数的和。

因此505可以写成10个自然数的和，而1010不行。

505=10N+45,解得N=46，所以505=46+47+48+49+50+51+52+53+54+55

18．22名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长比老师多，妈妈比爸爸多，女教师比妈妈多2人，至少有1名男教师，那么在这22人中，爸爸有多少人？

设爸爸X妈妈Y男老师B女老师A

A+B+X+Y=22

B>=1

A-2=Y

X+Y>A+B

Y>X

X+Y>A+B=22-（X+Y）

所以X+Y>11

同样A+B<11

先取B=1

则A<10

而由于A=Y+2

所以Y<8

而2Y>X+Y>11

所以Y>=6

19．长方形草地ABCD被分为面积相等的甲、乙、丙和丁四份（如图），其中图形甲的长和宽的比是a：

b=2：

1，其中图形乙的长和宽的比为（）：

（）

先假定甲的长（BC）=7、宽=3（这在数学上是可以的）

这样:

甲的面积=21（甲乙丙丁的面积均为21）

设乙的长宽分别为x和y（CD上乙的那段为x，AD上乙的那段为y）

乙的面积=甲的面积

x×y=21……①

再看丙的面积（丙为直角三角形，面积=底×高÷2）

丙的底=7-y、高=x

丙的面积=（7-y）×x/2=21

上式为7x-x×y=42将①式代入上式得

x=9

从①式可知y=7/3

x/y=27/7

解：

设AB边上的交点为E，CD边上的交点为F，EF边上的交点为G,AD边上的交点为K.

根据你的条件先假定甲的长（BC）=7、宽=3（这在数学上是可以的）

因为乙和丁的面积相等，所以FG：

GE=1:

2，又因为BC=7所以FG=7/3,GE=14/3.

又因为甲和乙的面积相等，所以DF=甲的面积/FG=21/FG=9

所以DF/FG=9/7/3=27/7

20．甲、乙两人从A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是5千米/时，中间三分之一路程的行走速度是千米/小时，最后三分之一路程的行走速度是4千米/小时；乙前二分之一路程的行走速度是5千米/小时，后二分之一路程的行走速度是4千米/小时。

已知甲比乙早到30秒，A地到B地的路程是（）千米。

设a地到b地的路程是x千米。

甲的时间（x/3）/4+（x/3）/5+（x/3）/

乙的时间（x/2）/5+（x/2）/4

（x/3）/4+（x/3）/5+（x/3）/=（x/2）/5+（x/2）/4-1/120

x=9

a地到b地的路程是9千米