新人教版八年级数学上册第14章整式的乘除与因式分解教案.docx
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新人教版八年级数学上册第14章整式的乘除与因式分解教案
第14章整式的乘除与因式分解
第一课时14.1.1整式的乘法
教学目标
①感受生活中幂的运算的存在与价值．
②经历自主探索同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方等运算性质的过程，能用代数式和文字正确地表述这些性质，并会运用它们熟练地进行计算．
③逐步形成独立思考、主动探索的习惯．
④通过由特殊到一般的猜想与说理、验证，培养学生一定的说理能力和归纳表达能力．
教学重点与难点
重点：
幂的三个运算性质．
难点：
幂的三个运算性质．
教学设计
创设情境导入新课
问题：
一种电子计算机每秒可以进行1012次运算，它工作103s可以进行多少次运算?
你能用学过的知识解决吗?
从实际问题的导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识．从而构建新的知识体系，同时因为关于底数、指数、幂等概念是在有理数的乘法中学习的，学生可能生疏或遗忘，在新课讲解之前利用这个实际问题进行复习．
学生略作思考后得出，它工作103s可以进行的运算次数是1012×103．怎样计算1012×103?
根据乘方的意义可以知道：
探究新知1．探一探根据乘方的意义填空：
从引例到“探一探”，“猜一猜”，“说一说”是一个从特殊到一般，从具体到抽象，把幂的底数与指数分两步有层次地进行概括抽象的过程．在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得运算法则．
学生独立思考后回答，教师板演．
2．猜一猜
问：
看看计算结果，你能发现结果有什么规律吗?
学生小组讨论后交流结果：
不管底数是什么数，只要底数相同，结果就是指数相加．
3．说一说
am×an（m，n是正整数）?
学生说出理由，教师板演共同得出结论：
am×an=am+n（m，n都是正整数）
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
注意性质中的m、n的取值范围．
注：
要求学生用语言叙述这个性质，即“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．
4．想一想
am×an×ap=?
5．做一做
例1教科书第96页的例1
（1）～（4）
（5）-a3·a5；
（6）（x+1）2·（x+1）3
同底数幂的性质很容易推广到三个以上的同底数幂相乘．
在例1的课堂教学中教师要求学生说明底数是什么，指数是什么，引导学生观察是不是同底数幂相乘，再利用性质进行计算．例1（5）中注意让学生说清“-a3”的底数是“a”还是“-a”．性质中的字母可以是单项式也可以是多项式，如例1（6），把底数进一步扩充到式的范围．
6．自主学习
根据乘方的意义及同底数幂的乘法，让学生自主探究教科书第170页探究问题．学生在独立思考、合作交流的基础上，得出幂的乘方运算性质：
（am）n=amn（m，n都是正整数）即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
7．做一做
例2教科书第96页的例2
（1）～（4）
（5）-（x3）4·x2
8．想一想
让学生自主探究教科书第171页的探究问题，并完成填空．尝试分析运算过程中用到哪些运算律?
运算结果有什么规律?
学生自己归纳出积的乘方的运算性质：
（ab）n=anbn（n为正整数）即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
那么，（abc）n=?
注：
和前两个性质的教学一样，这个性质也是先用具体指数为例说明积的乘方的意义和导出性质的每一步依据，从而归纳出一般指数情形的性质．这个性质也很容易推广到三个以上因式的乘方．
9．做一做
例3教科书第97页的例3
（1）～（4）;补充：
（5）[-3（x+y）2]3
例4计算：
x·（x2）3-2x4·x2
比一比
这节课我们学习了三个运算性质：
“同底数幂的乘法”、“幂的乘方”和“积的乘方”．组织学生进行计时比赛，在规定时间内完成教科书第各页的练习．
深入探究例5计算：
（1）（-8）2004·（-0.125）2005
（2）（-2）2n+1+2·（-2）2n（n为正整数）．
在这三个性质中的底数、指数中，指数注明为正整数，而底数可以是数、字母或式．把底数进一步扩充到式的范围．
议一议
下面的计算对不对?
如果不对，应当怎样改正．
（1）a3·a3=a6；
（2）b4·b4=2b4；
（3）x5+x5=x10;（4）y7·y=y8；
（5）（a3）5=a8；（6）a3·a5=a15;
（7）（a2）3·a4=a9；（8）（xy3）2=xy6；
（9）（-2x）3=-2x3
注：
补充议一议与辨析题的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算性质的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．
小结
组织学生讨论和辨析三个运算性质．
课外巩固
1．必做题：
教科书第97页习题第1、2题．
2．备选题：
（1）计算：
（2）计算：
am-1·an+2+am+2·an-1+am·an+1
（3）已知：
am=7，bm=4，则（ab）2m=______
（4）已知：
3x+2y-3=0，则27x·9y=___________
第二课时14.1整式的乘法
（2）
教学目标:
①探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．
②让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力．
教学重点与难点
重点：
单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则．
难点：
单项式与多项式相乘去括号法则的应用．
教学设计
复习引新
1．知识回顾：
回忆幂的运算性质：
am·an=am+n（m，n都是正整数）
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
（am）n=amn（m，n都是正整数）
即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
（ab）n=anbn（n为正整数）
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
2．练一练
口答：
幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述内容做复习．
创设情境引入新课
问题光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?
注：
从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．
地球与太阳的距离约为（3×105）×（5×102）千米．问题是（3×105）×（5×102）等于多少呢?
学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决：
（3×105）×（5×102）=（3×5）×（105×102）=15×107（为什么?
）
在此处再问学生更加规范的书写是什么?
应该是地球与太阳的距离约为1.5×lO8千米．
请学生回顾，我们是如何解决问题的．
探究新知
1．问题：
如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗?
学生独立思考，小组交流．
注：
从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．
学生分析：
跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律．
ac5·bc2
=（a·c5）·（b·c2）
=（a·b）·（c5·c2）
=abc5+2
=abc7
注：
在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题．
2．试一试：
类似地，请你试着计算：
（1）2c5·5c2；
（2）（-5a2b3）·（-4b2c）
ac5和bc2，2c5和5c2，（-5a2b3）和（-4b2c）都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法?
注：
先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生类比，自己动手试一试，再相互交流，自己小结出如何进行单项式的乘法．要求学生用语言叙述这个性质，这对于学生提高数学语言的表述能力是有益的．
学生小结：
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
3．算一算例1教科书第145页例4
在例题教学中应该先让学生观察有哪些运算，如何利用运算性质和法则。
分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．
例2小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米?
注：
将运算法则应用在实际问题中，提高学生解决实际问题的能力．
4．辩一辩教科书第145页练习2
注：
辩一辩的目的是让学生通过对这些判断题的讨论甚至争论，加强对运算法则的掌握，同时也培养学生一定的批判性思维能力．
深入探究
1．师生共同研究教科书第145页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识．
注：
这个实际问题来源于学生的生活实际，所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学生不难得到结论．
2．试一试计算：
2a2·（3a2-5b）（根据乘法分配律，不难算出结果吧!
）
注：
因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论．
3．想一想
从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘?
学生发言，互相补充后得出结论：
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
4．做一做
教科书第146页例5（在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号）
注：
学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意．
小结
课外巩固
1．必做题：
教科书104页习题14.1第3、4、6题
2．备选题：
（1）若（-5am+1b2n-1）（2anbm）=-10a4b4，则m-n的值为______
（2）计算：
（a3b）2（a2b）3
（3）计算：
（3a2b）2+（-2ab）（-4a3b）
（4）计算：
第三课时14.1整式的乘法（3）
教学目标
①探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．②让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望和能力．
教学重点与难点
重点：
多项式与多项式相乘．
难点：
多项式与多项式相乘．
教学设计
复习引新
1．前面这节课我们研究了单项式与单项式、单项式与多项式相乘的方法，请同学回忆方法．
2．练一练：
教科书第147页练习2
我们再来看一看第一节课悬而未决的问题：
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米（课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分）．提出问题：
你能用几种方法表示扩大后绿地的面积?
不同的表示方法之间有什么关系?
用不同的方法怎样表示扩大后的绿地面积?
用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢?
这个问题激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣．
学生独立思考后交换各自的解法：
方法一：
这块花园现在长（a+b）米，宽（m+n）米，因而面积为（a+b）（m+n）米2．
方法二：
这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为：
am米2、an米2、bm米2、bn米2，故这块绿地的面积为（am+an+bm+bn）米2．
（a+b）（m+n）和（am+an+bm+bn）表示同一块绿地的面积，所以有（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn
注：
借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到（a+b）（m+n）是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am+an+bm+bn，因此，（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn．让学生对这个结论有直观感受．
探究新知
引导学生观察等式的左边（a+b）（m+n）是两个多项式（a+b）与（m+n）相乘，我们从刚才问题的解决过程中发现了多项式与多项式相乘的方法．
进一步引导学生，如果我们把（m+n）看成一个整体，那么两个多项式（a+b）与（m+n）相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做．
注：
把（m+n）看成一个单项式，因学生过去接触不多，可能不易理解．实际上，这是一个很重要的思想和方法．学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．在此，如果学生真正理解了把（m+n）看成一个单项式，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了．
1．做一做（a+b）（m+n）=a（m+n）+b（m+n）=am+an+bm+bn
2．讲一讲
让学生试着总结多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
3．试一试
例1教科书第147页例6
教学中要强调多项式与多项式相乘的基本法则，提醒学生注意多项式的每一项都应该带上他前面的正负号．多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号．
例2先化简，再求值：
（a-3b）2+（3a+b）2-（a+5b）2+（a-5b）2，其中a=-8,b=-6
4．练一练
教科书第148页练习1
深入探索
1．试一试
例3计算：
（x+2）（x-3）
注：
让学生通过“试一试”、“想一想”，结合直观图形，自己尝试发现规律，激发学生对问题中所蕴藏的一些数学规律进行探索的兴趣．
2．想一想问：
结果中的x2，-6是怎样得到的?
学生口答．继续完成教科书第177页练习2
问：
从刚才解决问题的过程中你们有什么发现吗?
（1）学生交流各自的发现．
（2）结合教科书第148页练习第2题图，直观认识规律，并完成此题．
3．练一练
（1）计算（口答）：
①（x+2）（x+3）；②（x-1）（x+2）；
③（x+2）（x-2）；④（x-5）（x-6）；
⑤（x+5）（x+5）；⑥（x-5）（x-5）；
（2）口答：
教科书104页习题15.1第3题．
4．用一用
例4一块长m米，宽n米的玻璃，长宽各裁掉a米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小），问台面面积是多少?
课外巩固
1．必做题：
教科书第104页第6、7题．
2．备选题：
（1）计算：
（x+2y-1）2
（2）已知x2-2x=2，将下式化简，再求值．
（x-1）2+（x+3）（x-3）+（x-3）（x-1）
（3）小明找来一张挂历画包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小明想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小明应该在挂历画上裁下多大面积的长方形?
14.2乘法公式
第四课时14.2.1平方差公式
教学目标
①经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力．
②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算．
③了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．
教学重点与难点
重点：
平方差公式的推导及应用．
难点：
用公式的结构特征判断题目能否使用公式．
教学准备
卡片及多媒体课件
教学设计
引入
同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下两个多项式相乘的法则．今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘．下面请同学们应用你所学的知识，自己来探究下面的问题：
探究：
计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?
（1）（x+1）（x-1）=
（2）（m+2）（m-2）=
（3）（2x+1）（2x-1）=
引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．
注：
平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式与多项式相乘的运算法则，利用多项式乘法推导乘法公式是从一般到特殊的过程，对今后学习其他乘法公式的推导有一定的指导意义，同时也可培养学生观察、归纳、概括等能力，因此在教学中，首先应让学生思考：
你能发现什么?
让学生经历观察（每个算式和结果的特点）、比较（不同算式之间的异同）、归纳（可能具有的规律）、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明．
举例
再举几个这样的运算例子．
注：
让学生独立思考，每人在组内举一个例子（可口述或书写），然后由其中一个小组的代表来汇报．
验证
我们再来计算（a+b）（a-b）=
公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：
特例→归纳→猜想→验证→用数学符号表示．
注：
这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的结构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础．
概括
平方差公式及其形式特征．
教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：
如公式左、右边的结构，并尝试说明这些特点的原因．
应用
教科书第152页例1运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2）
（2）（b+2a）（2a-b）
（3）（-x+2y）（-x-2y）
填表：
（a+b）（a-b）
a
b
a2—b2
最后结果
（3x+2）（3x-2）
2
（3x）2-22
（b+2a）（2a-b）
（-x+2y）（-x-2y）
对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式完成；第三小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：
提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算．
注：
（1）正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解：
即它们既可以是数，也可以是含字母的整式．
（2）在具体计算时，当有一个二项式两项都负时，往往不易判明a、b，如第三小题，此时可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养．
（3）例1第（3）小题引导学生多角度思考问题，可以加深对公式的理解．
教科书第108页例2计算：
（1）102×98
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的．
注：
（1）运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征，把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式，教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征．
（2）第二小题要引导学生注意到一般形式的整式乘法与特殊形式的整式乘法的区别与联系，强调：
只有符合公式要求的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按整式乘法法则进行．
巩固
教科书第108页练习1、2
练习1口答完成；练习2采用大组竞赛的形式进行，其中
（1）（4）由两个大组完成，
（2）（3）由另两个大组完成．
注：
让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标，并通过丰富的活动形式，激发学习兴趣，培养竞争意识和集体荣誉感．
解释
你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗?
多媒体动画演示图形的变换过程，体会过程中不变的量，并能用代数恒等式表示．
注：
（1）重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题．
（2）此处将教科书的图15.3-1分解为两个图形，是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练；利用两个图形可以清楚变化的过程，便于联想代数的形式．
小结
谈一谈：
你这一节课有什么收获?
注：
这儿采取的是先由每个学生自己小结，然后由小组代表作答，把教师做小结变成了课堂上人人做小结，有助于学生概括能力、抽象能力、表达能力的提高．同时，由于人人都要做小结，促使学生注意力集中，学习主动性加强．
作业
1．必做题：
教科书第112页习题14.2第1题
2．选做题：
计算：
（1）x2+（y-x）（y+x）
（2）20082-2009×2007
（3）（-0.25x-2y）（-0.25x+2y）
（4）（a+
b）（a-
b）-（3a-2b）（3a+2b）
第五课时14．2．2完全平方公式
教学目标
①经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一步发展符号感和推理能力．
②会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．
③了解公式的几何背景，进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．
教学重点与难点
重点：
（a±b）2=a2±2ab+b2的推导及应用．
难点：
公式的结构特征及教科书P184例5．
教学准备
投影仪；多媒体课件；小黑板,边长为a、b的两种正方形卡片每小组一张；长为a、宽为b的长方形卡片每小组一张．
教学设计
引入
同学们，前一节课我们已经探究了一种特殊形式的多项式乘法，学会了平方差公式的一些简单应用．今天我们在这个基础上要继续学习另一种特殊形式的多项式乘法．下面请同学们像上一节课一样，自己来探究下面的问题：
（1）完全平方公式也是多项式乘法运算中一个重要的公式，由于学生在前面已经接触过乘法公式推导的思路和方法，所以在此引导他们再次自主推导即可．在推导公式的过程中，要重视学生对运算依据的理解与叙述，强调推理，培养他们的代数推理能力、用数学语言进行表达的能力．
探究
计算下列各式，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗?
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=
（2）（m+2）2=
（3）（p-1）2=（p-1）（p-1）=
（4）（m-2）2=
注：
引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括．
（2）这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征，便于进一步应用公式计算．
举例：
再举几个这样的运算例子．让学生独立思考，每人在组内举一个例子（可口述或书写），然后由其中一个小组的代表来汇报．
验证
我们再来计算（a+6）2，（a-b）2．
公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：
特例——归纳——猜想——验证——用数学符号表示．
概括
完全平方公式及其形式特征．
注：
教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：
如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因．
还可以引导学生将（a-b）2的结果用（a+b）2来解释：
（a-b）2={a+（-b）]2=a2+2a（-b）+（-b）2=a2-2ab+b2
（3）对公式（a-b）2=a2-2ab+b2的多角度解释，是为了加深学生对公式中字母a、b的广泛意义的理解，并再次让学生体会加、减法的互相转化与统一
应用教科书第154页例3运用完全平方公式计算：
（1）（4m+n）2
（2）（y-
）2
引导学生用如下的填空形式完成例3：
解：
（1）∵（4m+n）2是__与__和的平方，
（2）∵（y-
）2是__与__和的平方，
注：
可由学生口答完成，教师多媒体展示结果，提高课堂效率．
（1）正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解．
（2）在具体计算时，当二项式的项不再是单独的数或字母时，或者项是小数时，往往容易出现运算错误，如例1第
（1）小题，易错解得（4m）2=4m2，通过
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