北师大版七年级数学下册《三角形中的四种常见说理类型》专题试题附答案.docx

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北师大版七年级数学下册《三角形中的四种常见说理类型》专题试题附答案

北师大版七年级数学下册

专题训练系列（附解析

专训4　三角形中的四种常见说理类型

名师点金：

学习了全等三角形及等腰三角形的性质后，与此相关的几何题的类型非常丰富，常见的类型有：

说明相等关系，位置关系，线段的和差关系，倍分关系等．

说明相等关系

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.试说明：

DE＝DF.

（第1题）

说明位置关系

说明平行关系

2．如图，已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边三角形PCE.试说明：

AE∥BC.

（第2题）

说明垂直关系

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点．试说明：

DG⊥EF.

（第3题）

说明倍分关系

说明角的倍分关系

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D.猜想∠DBC与∠A的数量关系，并说明理由．

（第4题）

说明线段的倍分关系

5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE.试说明：

AH＝2BD.

（第5题）

说明和、差关系

6．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.试说明：

AB＋BD＝AC.

（第6题）

答案

　（第1题）

1．解：

如图，连接AD.

因为AB＝AC，D是BC的中点，

所以∠EAD＝∠FAD.

又因为AE＝AF，AD＝AD，

所以△AED≌△AFD（SAS）．

所以DE＝DF.

2．解：

因为△ABC，△PCE均为等边三角形，

所以BC＝AC，PC＝EC，∠ACB＝∠ABC＝∠PCE＝60°.

所以∠ACB－∠ACP＝∠PCE－∠ACP，

即∠BCP＝∠ACE.

所以△CBP≌△CAE（SAS）．

所以∠CAE＝∠CBP＝60°.

所以∠CAE＝∠ACB.所以AE∥BC.

　（第3题）

3．解：

如图，连接ED，FD.因为AB＝AC，

所以∠B＝∠C.

在△BDE和△CFD中，

所以△BDE≌△CFD（SAS）．

所以DE＝DF.

又因为G是EF的中点，

所以DG⊥EF.

4．解：

∠DBC＝∠A.

理由如下：

方法一：

因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C.

所以∠C＝（180°－∠A）．

因为BD⊥AC，

所以∠DBC＝90°－∠C

＝90°－（180°－∠A）

＝90°－90°＋∠A

＝∠A.

（第4题）

方法二：

如图，过点A作AE⊥BC于点E，则∠EAC＋∠C＝90°.

因为AB＝AC，

所以∠EAC＝∠BAC.

因为BD⊥AC，所以∠DBC＋∠C＝90°.

所以∠DBC＝∠EAC＝∠BAC.

5．解：

因为AD，BE是△ABC的高，

所以∠ADB＝∠AEH＝∠BEC＝90°.

又因为∠BHD＝∠AHE，

所以∠EBC＝∠EAH.

在△BCE和△AHE中，

所以△BCE≌△AHE（ASA）．

所以BC＝AH.

又因为AB＝AC，AD⊥BC，

所以BC＝2BD.所以AH＝2BD.

（第6题）

6．解：

如图，延长CB至E，使BE＝BA，则∠BAE＝∠E.

所以∠ABC＝180°－∠ABE＝∠E＋∠BAE＝2∠E.

又因为∠ABC＝2∠C，所以∠E＝∠C.所以AE＝AC.

因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC.

因为∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，

所以∠BAE＝∠C.

又因为∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，

∠EDA＝180°－∠ADC＝∠C＋∠DAC，

所以∠EAD＝∠EDA.所以AE＝DE.

所以AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.即AB＋BD＝AC.