《二次函数yaxh2+k的图象和性质》教案.docx
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《二次函数yaxh2+k的图象和性质》教案
22．1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质
教学目标
1．能解释二次函数y＝ax2＋k和y＝ax2的图象的位置关系．
2．掌握y＝ax2上、下平移规律．
3．体会图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系，领悟y＝ax2与y＝ax2＋k相互转化的过程．
教学重难点
重点：
抛物线y＝ax2＋k的图象与性质．
难点：
理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．
教学过程与方法
知识点一：
y＝ax2＋k的图象
1．回顾与思考（5分钟）
（1）回顾：
抛物线y＝x2和y＝－x2的图象和性质及它们之间的关系．
（2）思考：
y＝x2＋1，y＝x2－1的图象怎样？
它们与y＝x2之间又有怎样的关系呢？
2．自主学习（15分）
（1）参照教材P32例2的填表、描点．
（2）讨论
①抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？
②抛物线y＝x2＋1，y＝x2－1与抛物线y＝x2有什么位置关系？
（3）归纳与交流
①把抛物线y＝x2向__上__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝x2＋1，把抛物线y＝x2向__下__平移__1__个单位，就得到抛物线y＝x2－1.
②一般情况：
当k>0，把抛物线y＝ax2向__上__平移__k__个单位，可得y＝ax2＋k；当k<0时，把抛物线y＝ax2向__下__平移__|k|或－k__个单位，可得y＝ax2＋k.
③y＝ax2＋k的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值分别是什么？
解：
a＞0时，开口向上，对称轴是y轴，顶点（0，k），最小值为k.
a＜0时，开口向下，对称轴是y轴，顶点（0，k），最大值为k.
知识点二：
y＝ax2＋k的性质
3．合作与探究（5分钟）
（1）抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的图象的异同点是什么？
（2）抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2的增减性又是怎样？
4．课堂小结（5分钟）
1．二次函数y＝ax2＋k的图象和性质（包括开口方向、对称轴、顶点坐标）．
2．抛物线y＝ax2＋k与y＝ax2之间的联系与区别（包括平移、开口、对称轴、顶点等）．
处理方法：
可以让学生围绕这两个问题先小结，然后教师进行补充或强调．
5．独立作业（15分钟）
（1）必做题：
P33练习．
（2）选做题：
习题22.1第5题
（1）．
（3）备用题：
①二次函数y＝ax2＋k的图象经过点A（1，－3），B（－2，－6），求这个二次函数的解析式．
解：
该二次函数的解析式为：
y＝－x2－2.
②已知二次函数y＝－2x2＋3，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x的增大而减小？
解：
当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小．
③二次函数y＝ax2＋k（a，k为常数），当x取值x1、x2时（x1≠x2），函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为__0__．
④函数y＝ax2－a与y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能为（ A ）
第2课时 二次函数y＝a（x－h）2的图象和性质
教学目标
1．会用描点法画二次函数y＝a（x－h）2的图象．
2．理解抛物线y＝a（x－h）2与y＝ax2之间的位置关系．
3．在图象的平移过程中，渗透变与不变的辩证思想．
教学重难点
重点：
二次函数y＝a（x－h）2的图象和性质．
难点：
把握抛物线y＝ax2通过平移后得到y＝a（x－h）2时平移的方向和距离．
教学过程与方法
1．师生互动，提出问题（3分钟）
（1）抛物线y＝－x2＋3与y＝－x2的位置有什么关系？
（2）抛物线y＝－x2＋3的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？
2．探究新知（10分钟）
知识点一：
y＝a（x－h）2的图象和性质
（1）在同一坐标系中画出二次函数y＝－x2、y＝－（x＋1）2、y＝－（x－1）2的图象．
①列表时怎样取值才能使抛物线具有对称性？
②这三条抛物线的对称轴、顶点坐标分别是什么？
③这三条抛物线能否经过相互的平移得到？
怎样平移？
3．交流探究：
教材P34～P35（5分钟）
4．归纳总结（5分钟）
抛物线y＝a（x－h）2与抛物线y＝ax2的形状相同，只是位置不同，它可以由抛物线y＝ax2平移得到：
当h>0时，向右平移h个单位，当h<0时，向左平移|h|个单位，它的对称轴是直线x＝h，顶点坐标为（h，0）．
知识点二：
y＝a（x－h）2的性质
5．讨论（5分钟）
（1）a>0，开口__向上__，当x＝__h__时，函数y有最__小__值＝__0__，在对称轴的左侧，y随x的增大而__减小__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__增大__．
（2）a<0，开口__向下__，当x＝__h__时，函数y有最__大__值＝__0__，在对称轴的左侧，y随x的增大而__增大__，在对称轴的右侧，y随x的增大而__减小__．
6．课堂练习（3分钟）
（1）抛物线y＝2（x＋1）2可以由抛物线__y＝2x2__向__左__平移1个单位得到．
（2）抛物线y＝－（x－4）2可以由抛物线__y＝－x2__向右平移__4__个单位得到．
（3）已知二次函数y＝－（x－2）2，说出函数图象的对称轴和顶点及最值、增减性．
解：
二次函数y＝－（x－2）2的对称轴为x＝2，顶点为（2，0），有最大值0.当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小．
7．课堂小结（3分钟）
（1）抛物线y＝a（x－h）2与y＝ax2的关系．
（2）抛物线y＝a（x－h）2的对称轴、顶点．
（3）平移规律：
“左加右减”．
（4）你还有哪些困惑和收获？
8．独立作业（11分钟）
（1）必做题：
习题22.1第5题
（2）．
（2）备用题：
①已知抛物线y＝a（x＋h）2的顶点是（－3，0），它是由抛物线y＝－4x2平移得到的，则a＝__－4__，h＝__3__．
②把抛物线y＝（x＋1）2向__右__平移__4__个单位后得到抛物线y＝（x－3）2.
③把抛物线y＝x2＋mx＋n向左平移4个单位，得到抛物线y＝（x－1）2，则m＝__－10__，n＝__25__．
第3课时 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
教学目标
1．会用描点法画出二次函数y＝a（x－h）2＋k（a、h、k是常数，a≠0）的图象，掌握抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2的图象之间的关系，熟练掌握函数y＝a（x－h）2＋k的有关性质，并能用函数y＝a（x－h）2＋k的性质解决一些实际问题．
2．经历探索y＝a（x－h）2＋k的图象及性质的过程，体验y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2、y＝ax2＋k、y＝a（x－h）2之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．
3．通过观察函数的图象，归纳函数的性质等活动，感受学习数学的价值．
教学重难点
重点：
二次函数y＝a（x＋h）2＋k的性质．
难点：
教材P36例4的解答需要选取合适的坐标系，有一定的难度，是本节教学的难点．
教学过程与方法
1．回顾与思考（3分钟）
我们已经学习了形如y＝ax2，y＝ax2＋k，y＝a（x－h）2的函数，知道了它们可以经过互相平移得到．二次函数y＝a（x－h）2＋k又是一条怎样的抛物线呢？
它与这三条抛物线之间有什么关系？
知识点一：
y＝a（x－h）2＋k的图象和性质
2．合作与探究：
教材P35例3（15分钟）
（1）在同一坐标系内，画出二次函数y＝－x2，y＝－x2－1，y＝－（x＋1）2－1的图象．
处理方法：
师生一起完成列表，再由学生画出图象，如图．
（2）指出y＝－（x＋1）2－1的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性．
（3）y＝－（x＋1）2－1可以由y＝－x2怎样平移而得到？
（4）归纳：
y＝a（x－h）2＋k的图象和性质及由y＝ax2平移得到函数图象的规律．
知识点二：
y＝a（x－h）2＋k的实际运用
3．解决问题，交流思想（16分钟）
（1）读懂教材P36例4题意．
（2）怎样建立平面直角坐标系？
（3）怎样才能与二次函数联系起来？
4．课堂练习：
教材P37练习（3分钟）
5．课堂小结（4分钟）
（1）本节课我们学习了哪些内容？
引导学生从以下几个方面去回顾：
①二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质；
②抛物线y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2的平移关系；
③选取坐标系的方法．
（2）谈一谈你的收获或困惑．
6．独立作业（10分钟）
（1）必做题：
习题22.1第5题（3），第7题
（1）．
（2）备用题：
已知y＝a（x－h）2＋k是由抛物线y＝－x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．
①求出a、h、k的值；
②在同一坐标系中，画出y＝a（x－h）2＋k与y＝－x2的图象；
③观察y＝a（x－h）2＋k的图象，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x的增大而减小，并求出函数的最值；
④观察y＝a（x－h）2＋k的图象，你能说出对于一切x的值，函数y的取值范围吗？
解：
①a＝－，h＝1，k＝2 ②图略 ③当x<1时，y随x的增大而增大；当x>1时，y随x的增大而减小；当x＝1时，函数有最大值2 ④对于一切x的值y≤2.
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