点有多大蔡聪明.docx
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点有多大蔡聪明
点有多大
蔡聪明
▪离散的或连续的?
▪点与线段的三个基本问题
▪毕氏学派的万有皆整数与调和
▪欧氏的几何学研究纲领
▪解析几何
▪微积分的诞生
▪微积分的基础
▪集合论
▪测度论
▪数学是无穷之学
这是一个平凡的问题,但是极具深度且源远流长,它从古希腊开始就涉及了「有穷」与「无穷」的论争。
本文我们尝试由「点有多大?
」的观点切入,循着「无穷」的脚步,走一趟数学之旅,作一个简要的历史回顾。
空间或几何图形,都是由「点」所组成的。
因此,欲透过点的性质来掌握图形的性质,乃是顺理成章的一件事。
我们很自然要问:
点有没有长度?
在约两千五百年的漫长岁月中,数学家提出了各种答案,从毕氏学派的「点有一定的大小,长度不为0」,到欧几里得的「点只占有位置,而没有长度」,再到牛顿与莱布尼慈的「无穷小」解释,这些答案跟欧氏几何、解析几何、微积分、集合论以及测度论的发展,具有密切的关联。
离散的或连续的?
大自然的结构与组成要素,其生成、变化与运动之道,自古以来就是哲学家与科学家热烈讨论的主题。
由此产生了下面三个万古常新的问题:
(i)物质的结构问题(thestructureofmatter);
(ii)物体的变化与运动问题(theproblemofchangeandmotion);
(iii)科学知识的结构与成长问题(theproblemofstructureandgrowthofscientificknowledge)。
对于物质的结构问题,让我们作个想象的实验(thoughtexperiment):
如果将一块泥土不断地分割下去,最后会得到什么呢?
这可以分成以下的离散(discrete)与连续(continuous)两派来解释。
离散派:
这一派又叫做原子论派(atomism),主张:
分割物质,在很大的「有穷步骤」之内就会抵达「不可分割」的境地,叫做「原子」(atom);万物都是原子组成的。
原子不生不灭,其不同的排列组合,导致了大自然的生成与变化之道。
离散派或有穷派最主要的代表人物,是毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前585~500)、留基波斯(Leucippus,约公元前460~390)与德谟克列特斯(Democritus,约公元前460~370)等人。
连续派:
这一派主张:
物质是连续的,可以作「无穷步骤」的分割,没完没了。
但是,分割到最后会剩下什么,却陷入困局。
如果回答说是「空无」(nothing),那么物质是由空无组成的,这种「无中生有」(somethingoutofnothing)是不可思议之事。
如果回答说是「无穷小」(infinitesimal),那么什么是无穷小?
这更令人困惑。
我们举几个连续派的例子。
在春秋战国末期,公孙龙(约公元前325~250)说:
一尺之棰,日取其半,万世不竭。
古希腊哲学家安那萨哥拉斯(Anaxagoras,公元前500~428)说:
在小当中没有最小,因为小中恒有更小。
(Inthesmallthereisnosmallest,thereisalwaysasmaller.)
这跟老子所说的「至大无外,至小无内」有异曲同工之妙。
再如,英国讽刺小说家斯威夫特(Swift,1667~1745,即《Gulliver游记》的作者)也说:
在一只跳蚤身上有一只更小的跳蚤在吸吮,在更小的跳蚤身上又有一只更小更小的跳蚤在吸吮;如此继续下去,永世不竭。
上述例子,都是连续派或无穷派的最佳写照。
点与线段的三个基本问题
「点」(point)是几何图形的最基本要素,相当于几何学的「原子」。
当我们剖析几何图形的组成时,得到体、面、线,最后是点。
反过来说,动点成线,动线成面,动面成体。
前者是「分析」(Analysis),后者是「综合」(Synthesis)。
既然线段是由点组成的,于是自然产生下面三个基本问题:
问题1:
点有多大?
问题2:
如何由点的长度,累积成线段的长度?
问题3:
线段含有多少点?
这三个问题都很有深度,追究起来又会遇到两个相关的问题:
线段是离散的或连续的?
线段是有穷可分的(finitelydivisible)或无穷可分的(infinitelydivisible)?
从而,又分成离散派与连续派。
离散派主张:
点虽然很小很小,但有一定的长度,像小珠子一样,线段是由这些小珠点连起来的。
连续派则主张:
点的长度为0,线段是连续的、无穷可分的。
这就涉及深奥的无穷与连续统之谜(theenigmaofinfinityandcontinuum),经常伴随着诡论之出现,例如著名的季诺诡论(Zeno'sparadoxes)。
长久以来,这两派思想的论争,对于促进数学、物理学、哲学的进展,一直扮演着主导的角色。
连续派富于想象,离散派注重实际。
数学史家倍尔(E.T.Bell,1883~1960)说得好:
整个数学史,可以看作是离散与连续这两个概念的论争史。
这个论争可能只是早期希腊哲学上著名的「一与多」(亦即「变」与「不变」)论争的余波荡漾。
然而,把它们看作是「你存我亡或我存你亡」式的论争并不恰当,至少在数学里,离散与连续经常是相辅相成地促成了进步。
毕氏学派的万有皆整数与调和
古埃及与巴比伦累积了数千年的直观经验几何知识,传到了古希腊人的手上,泰利斯(Thales,约公元前625~546)首先尝试将它们组织成逻辑系统。
接着是毕氏学派(Pythagoreanschool),他们为了建立几何学的基础,采用「离散的世界观」,认为线段是由离散的(discrete)、且具有一定大小的点,串连起来的。
据此,他们解答了上述三个问题:
线段只能作有穷步骤的分割,就到达了「点」。
点虽然很小很小,但是其长度d>0,线段的长度等于其组成点的长度之相加,这只是有穷项之求和(微观与宏观的连系)。
线段只含有穷多点。
进一步,他们提出:
任何两线段皆可共度(commensurable),亦即对于任意两线段a与b,恒存在一个共度单位u>0,使得
,
,其中m、n皆为自然数。
在毕氏学派「离散的世界观」之下,这是一个自然的结论,因为至少一个点的长度就是一个共度单位。
从而,线段的度量只会出现「整数或整数比」(即有理数)。
另外,毕氏也发现了毕氏音律,悦耳调和的音,其弦长成简单整数比。
毕氏学派的世界是「整数与整数比」的世界,这是他们主张「万有皆整数与调和」(Alliswholenumbersandharmony)之所本。
在任何两线段皆可共度的条件下,毕氏学派证明了长方形的面积公式与相似三角形基本定理,进一步推导出勾股定理,他们相当成功地将几何学建立在「整数与整数比」的算术基础上面,我们不妨称之为:
几何学的算术化与原子论化的研究纲领(researchprogram)。
后来由于发现了正方形的边与对角线,以及正五边形的边与对角线,都是不可共度的(incommensurable)。
这等价于
与
不能表为整数比,即它们都是无理数(或非比数),我们可以利用归谬法加以证明。
这导致了毕氏学派的失败,史称第一次的数学危机。
欧氏的几何学研究纲领
欧氏(Euclid)重建几何学,是在纪元前三百年完成的。
他吸取毕氏学派失败的经验,改采「连续的世界观」,主张直线与平面都是「连续的」,可作无穷步骤的分割,最后得到的是「点」。
《欧氏原本》开宗明义就提出23个定义(Hilbert在1900年提出著名的23个问题),其中前三个就是:
1.点是没有部分的(Apointisthatwhichhasnopart.)。
2.线段只有长度而没有宽度(Alineisbreadthlesslength.)。
3.线段是由点组成的(Theextremitiesofalinearepoints.)。
这些都是修正毕氏学派的失败而得到的。
第一个定义是说,点只占有位置而没有长度。
点是「至小」,故「无内」。
三个定义合起来,显示线段含有无穷多个点。
在论及线段的长度时,欧氏根本就不用「由没有长度的点,累积成有长度的线段」之论点,而直接诉诸直观常识,避开了这种「无中生有」的困局。
然而,这些都不是欧氏的重心。
他的「主调」是,重新分析既有的几何知识(古希腊的所谓「Geometricanalysis」),另辟蹊径,改用几何本身来建立几何,并且采用公理化的手法(axiomaticmethod),最后归结出五条几何公理,这是最精彩的创造发现过程(thecontextofdiscovery)。
接着是综合,由公理推导出所有几何定理,这是逻辑验证过程(thecontextofjustification)。
欧式几何的创立过程,是古希腊最著名的分析与综合之示范;从泰利斯经毕氏学派到欧氏,约经历了三百年,这也是古希腊文明所产生的精品。
欧氏几何的五条公理是:
1.过两点能作且只能作一直线。
(直线公理)
2.线段(有限直线)可以无限地延长。
3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆(圆公理)。
4.凡是直角都相等(角公理)。
5.在一平面内,过直线外一点,可作且只可作一直线跟已知直线平行(平行公理)。
再加上五个一般公理:
6.跟同一个量相等的两个量相等,即若a=c且b=c,则a=b。
7.等量加等量,其和相等,即若a=b且c=d,则a+c=b+d。
8.等量减等量,其差相等,即若a=b且c=d,则a-c=b-d。
9.完全叠合的两个图形相等(叠合公理)。
10.全量大于分量,即a+b>a。
这些公理欧式都看作是直观自明的真理(obviousandself-evidenttruths),他由此逻辑地推导出当时已知的所有几何定理。
「真值」(truthvalue)由公理的源头输入,那么真值就沿着逻辑网络流布于整个欧式几何的系统。
在欧式几何中,最重要的几个定理是:
勾股定理、三角形三内角和定理、三角形的全等定理(s.a.s.,a.s.a.,s.s.s.)、相似三角形基本定理、正多面体恰好有五种,等等。
欧式几何的演绎系统,揭示了什么是真正的证明标准,并且这种「立公理再演绎」的模式,变成往后一切数学与科学理论模仿的典范。
一门学问发展到成熟的阶段,总是以演绎系统的形式来展现。
因此欧式几何的精神可以说是「流传千古,向荣长青」。
爱因斯坦说的好:
如果欧氏无法点燃你年轻的热情,那么你生来就不是一位科学的思想家。
(IfEuclidfailedtokindleyouryouthfulenthusiasm,thenyouwerenotborntobeascientificthinker.)
从科学的哲学或数学教育的眼光来看,我们更感兴趣的问题是:
欧氏如何做出欧氏几何?
尤其他的分析发现过程是如何做的?
(详见本刊26卷6~7期)
笔者认为,在中学的养成教育过程中,如果忽略了欧式几何,那实在是弃珍珠而捡沙石。
无论数学课程如何修订,欧氏几何都是不能缩水的精华。
解析几何
当托勒密(Ptolemy)国王问学于欧氏:
「学几何有没有快捷方式?
」欧氏回答说:
在几何学之中,并没有皇家大道。
(Thereisnoroyalroadingeometry.)
两千年来几何都没有什么进展,一直等到十七世纪笛卡儿(Descartes,1596~1650)与费玛(Fermat,1601~1665)独立地发明解析几何,才被誉为找到了「几何的皇家大道」。
欧氏之后,大家都接受:
点的长度为0,直线由点所组成的并且是连续的。
虽然我们无法由点的长度累积出线段的长度,但是在常识上每个人对线段都有直观的长度概念,因此并不烦恼。
解析几何利用坐标系将「连续的直线」与「直观的实数系」等同起来,进一步将平面上的点跟数对(x,y)对应起来,使得方程式f(x,y)=0与几何图形可以互相转化,沟通了代数学与几何学。
从此,代数的工于计算与几何的富于直观,达到「鱼与熊掌」可以兼得的境界,数与形又合一。
解析几何一方面解放了欧氏几何,另一方面又为微积分的发明铺路。
另一个重要意义是,人们办到了古希腊哲学家办不到的事情,给人增添无比的信心。
笛卡儿说:
当我领悟到可以将一条直线、一条曲线表成方程式时,让我感受到美如《伊里亚特》(Iliad,为荷马所作之史诗)。
当我看见这个方程式在我的手中解出来时,绽放出无穷的真理,光耀夺目、毫无可疑、永恒美丽,我相信我拥有了一把可以进入每一个神秘之门的钥匙。
这种信心的普遍根植,在十七世纪后半叶完成了数学与物理学的革命。
微积分的诞生
根据欧式几何的定义:
点只占有位置,没有大小;线段只有长度,没有宽度;面只有长度与宽度,但没有厚度。
因此,欧氏的点、线、面都不生存在这个现实世界,而生存在柏拉图的「理念与形的世界」(thePlato'sworldofideasandforms)。
任何在纸面上做出的几何图形都不正确,所以有人说:
「几何学就是利用不正确的图形,做正确推理的艺术。
」
线段由无穷多个点组成,而点的长度为0,无穷多个0加起来会等于线段的长吗?
这个难题使得局部的点与大域的线段之间,存有不可踰越的鸿沟(gap)而无法衔接,这就是「无穷」所产生的鸿沟。
同理,求面积与体积的问题也遇到了类似的困难。
长久以来,数学家想出各种替代方案,例如穷尽法、不可分割法、无穷小法、动态穷尽法等等,但这些都只是个案解决问题,并不是普遍的系统方法。
到了牛顿(Newton,1642~1727)与莱布尼慈(Leibniz,1646~1716)的手上,虽然点没有长度,但是他们在直线坐标系上引入「无穷小」dx,作为「点的长度」之解释与积分的对象。
由此逐步发展出微分法,解决求面积的千古难题,创立了微积分。
下面我们就来重建这个伟大的发现过程。
如图一所示,考虑线段[a,b],将它分割成n段(不必等分),分割点为
图一
令第k段的长度为
,再将n段全部加起来,就得到
现在让分割越来越细,n越来越大,不过
(2)式仍然成立。
由于线段是连续的,可以作无穷步骤的分割;今想象已经分割到使每一小段都变成「无穷小」,在x点处的无穷小记为dx,于是
(2)式连续化变成积分公式:
积分记号
表示无穷多个无穷小,从a到b连续地求和。
亚里斯多德说:
「线段不是由点组成的」,其实他的意思是说:
「线段的长度,不是由点的长度累积而成的。
」(3)式告诉我们,线段的长度是由局部的无穷小dx累积(即积分)而得到的,这初步解决了问题2。
我们称(3)式为完美的积分规则(theperfectintegralrule)。
其次,如图二所示,考虑一个函数y=F(x),定义在[a,b]上。
对于
(1)式之分割,相应地将函数图形台阶化,第k阶的升(降)高度为
图二
于是将n阶的升降高度全部加起来,就是从P点沿着台阶登到Q点的纯升高F(b)-F(a),亦即
作连续化得到
其中积分
表示无穷小的小精灵沿着y=F(x)的图形,每一阶升降的高度为
然后对x从a到b连续地求和。
另一方面,考虑一个连续函数y=f(x),其图形在[a,b]上所围成领域之面积。
这可以看成是无穷多个无穷小的长方形f(x)dx,对于x从a到b连续地求和,即积分
,参见图三。
图三
问题4:
如何求算积分
?
由(6)式即知,如果f(x)dx可以表成dF(x)之形,或
那么答案就是F(b)-F(a)。
定理一(微积分学根本定理):
设f为定义在[a,b]上的一个连续函数。
如果可以找到另一个函数F,使得(8)式成立,则
此式叫做Newton-Leibniz公式。
问:
什么是算术根本定理、代数学根本定理?
牛顿与莱布尼慈独立地看出这个定理,所以后世史家就把微积分的发明归功于他们两个人。
什么是无穷小dx?
显然它不能等于0,否则又会落入「无中生有」的陷阱。
但是它也不能为一个有限正数,因为这会产生由无穷多个正数累积成无穷长的线段,跟常识矛盾。
无穷小是经过无穷步骤的分割而得到的,故它「要多小就有多小」,是活生生的。
不过,这又跟「不等于0」矛盾,因为一个实数若其绝对值可以「要多小就有多小」,那么它必等于0。
因此,无穷小具有「不等于0,并且要多小就有多小」之矛盾性格,这逼得无穷小不是一个实数,无穷小概念之诡谲可见一斑。
点的长度为0,无穷小dx不等于0。
无穷小才是积分的对象,而不是点!
利用无穷小可以帮忙我们看出微积分!
由F(x)求出
叫做微分;给f(x),求F(x)使得(8)式成立,叫做反微分。
定理一告诉我们,问题4之积分解决于反微分的求算;反微分的演算又建基于微分的演算。
因此,我们说微分法解决了求积分之难题。
此外,
可以解释为切线斜率、速度、密度、放大率、变化率等等。
例子:
设
,则
(因dx要多小就有多小,故可略掉)
我们也可以采用极限论证法:
两种算法殊途同归。
于是由定理一可知
微积分的基础
牛顿与莱布尼慈,在1680年左右分别发现微积分根本定理,但是并没有给出证明;到了1820年代才由柯西(Cauchy,1789~1857)首次给出不完全的证明。
在证明的过程中,首先必须澄清极限概念(无穷小的概念更困难)以及连续函数的基本性质,而这些又都建立在实数系R上面。
因此,我们要问:
什么是实数系?
笛卡儿与费玛利用坐标系的办法,直观地将「实数系R」与「连续的直线」,等同起来,因而创立解析几何。
但是,这样对于实数系我们还是没有真正的了解。
比较建构性的办法是,由1出发,不断加1,就得到自然数系:
N={1,2,3,...}
再不断减1,就得到整数系:
Z={...,-2,-1,0,1,2,...}
接着考虑整数的相除(除数不为0),得到有理数系:
让我们回头考察毕氏学派「万有皆整数」的观点,毕氏学派以为有理数系(整数及其比值),就足以应付一切几何的度量问题。
换言之,将Q的元素表现为直线坐标系已经填满整条直线而没有漏洞,叫做有理数线。
后来毕氏学派发现了无理点(无理数),例如
与
,才知道有理数线还有许多缺口。
将所有的无理数加进有理数中,就是实数系R。
同理,在有理数线上补入所有的无理点,就得到实数线(therealline)。
实数线还有缺口吗?
戴德金(R.Dedekind,1831~1916)与康特(G.Cantor,1845~1918)如笛卡儿与费玛一样,他们认为:
实数线已是「天衣无缝」,没有缺口。
这是实数系完备性(或叫连续性)最直观生动的说法。
换个方式来说:
将实数线切割成两段,必切到一个实数点。
明确地说,若A与B为实数系的两个非空子集合,满足
则称(A,B)为R的一个戴德金切断(DedekindCut),A叫做下段,B叫做上段。
实数系的完备性(completeness)是说:
如果(A,B)为实数系R的一个戴德金切断,那么上段B含有一个最小元素或下段A含有一个最大元素。
两者必择其一
事实上,完备性有许多等价的(equivalent)说法,最常见而好用的说法如下:
(i)区间套的说法:
若
并且
则
并且
(ii)递增且有上界的数列必有极限,即若
并且
则极限值
存在(当然为实数)。
(iii)设
。
若A有上界,则A必有唯一的最小上界
,即若
,则存在唯一的
,使得对A的任何上界n,恒有
。
利用实数系的完备性以及极限的
与
定式,就可以证出连续函数的基本性质。
例如中间值定理(IntermediateValueTheorem),在闭区间[a,b]上的连续函数是有界的、均匀连续的,并且取得最大值与最小值。
由此,进一步可证出微积分根本定理。
从而整个微积分坚实地奠定在实数系上面。
再问:
实数系的完备性为什么成立呢?
这就必须实际建构实数系了。
此地我们只简介戴德金的建构法:
考虑有理数系Q的切断(cut),然后将Q的每一个戴德金切断等同为一个实数,一次就系统地完成Q的「炼石补天」工作;定义出实数系R,再定义四则运算与大小关系,最后可证得R是一个完备的有序体(acompleteorderedfield)。
至此,微积分的寻根究底工作告一段落,这是1870年左右完成的。
总之,点与实数,连续的直线与完备的实数系皆合一。
点的长度为0,线段含有无穷多点,是连续的,这不只是含糊的直观而已,而是可以有戴德金完备性的说法;进一步,还可以从Q建构出R并且证得R的完备性。
另一方面,微积分也可以建立在「无穷小论证法」上面。
不过,无穷小的理论基础一直要等到1960年代才由逻辑家罗宾森(A.Robinson,1918~1974)完成,今日叫做非标准分析学(NonstandardAnalysis)。
集合论
现在唯一不明的是:
线段含有无穷多点,这个「无穷」是什么?
可否进一步说明?
「连续统」(continuum)是什么?
这些问题正是康特所要追寻的,由此导致集合论(settheory)的诞生。
微积分与集合论分别是人类第一波与第二波的驯服无穷。
亚里斯多德将无穷分成实在的无穷(actualinfinity)与潜在的无穷(potentialinfinity),然后尽可能地避开前者。
欧氏亦然,他的第五公理(平行公理)其实是叙述成:
两直线被一直线所截,若在此截线的一侧它跟两直线所成的内角和小于一平角,则两直线在此侧相交。
这样就避开了平行公理所需用到的:
两直线无限地延伸,都不相交的说法。
伽利略研究自由落体,得到自由落体定律
,这是一个平方函数。
基于好奇心,他将自然数与其平方数作对应:
意外地发现自然数全体与平方数全体的元素个数一样多,但是后者只是前者的一部分,这违背了欧氏的「全体大于部分」之公理。
对此伽利略疑惑不解,称之为伽利略诡论(GalileoParadox,1638)。
因此欧氏公理只适用于有涯的世界,而不适用于无涯的世界。
微积分初步驯服无穷之后,人们对于「实在的无穷」仍然觉得恐惧。
高斯(C.F.Gauss,1777~1855)说:
涉及无穷大的量,如果指的是「实在的无穷」,这种用法在数学中是不允许的。
康特不但接受伽利略的「诡论」,而且还拿它当作「无穷集」的定义:
一个集合若存在有部分子集,其元素个数跟全体的一样多,就叫做无穷集。
两个集合的元素个数一样多,是什么意思?
康特利用对射(bijectivemappingoronetoonecorrespondence)的概念,来剖析无穷。
如果两个集合之间存在有一个对射,则称此两集合的元素个数一样多,或具有相同的基数(cardinalnumber),进一步,他将集合分成可列集(countableset)与不可列(uncountableset):
一个集合如果是有穷集或可跟自然数