小学数学低年级相差关系解决问题教学策略的研究.docx
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小学数学低年级相差关系解决问题教学策略的研究
小学数学低年级“相差关系”解决问题教学策略的研究
【摘要】：
“相差关系”是解决问题中最基本的，同时也是小学生最难掌握的类型之一。
小学低年级学生的理解能力相对较弱，而相差关系解决问题类型复杂，题型变化多样，数量关系分辨困难，再加上教材对这一部分内容的处理是算用结合，并没有系统的类型体系，这就更增加了学生学习的困难。
但是基本类型的掌握程度直接影响着学生对解决问题类型的后续学习，因此我们对“相差关系”解决问题的教学进行深入探究，通过现状分析、解决策略、成果剖析三个步骤来组合教学，针对教材凌乱，没有体系；学生理解能力相对较弱制约着解题能力的发展；练习时间不足影响着解题技能的形成这三个因素，在教学中思索、实践，形成了完整体系、清晰算理、逐类过关这三个相应的解决策略来完善教学，以帮助学生顺利通过这一瓶颈，熟练掌握这一基本类型。
【关键词】：
相差关系策略算理过关
【正文】：
培养学生的“解决问题”能力是新课程标准的一个基本要求，是小学数学课改实验的一个重要方向，也是小学数学教学的一项重要任务。
“相差关系”这一类解决问题是解决问题中的最基本类型之一，同时也是小学生最难掌握的类型之一。
小学低段学生的理解能力相对较弱，而相差关系解决问题类型复杂，题型变化多样，数量关系分辨困难，再加上教材对这一部分内容的处理是算用结合，并没有系统的类型体系，这就更增加了学生学习的困难。
基本类型的掌握程度直接影响着学生以后的解题水平。
因此，我们有必要对“相差关系”解决问题的教学进行深入探究，以帮助学生顺利通过这一瓶颈，熟练地掌握这一类问题的基本数量关系、基本解决策略。
于是我们年级组对该内容的教学进行了比较深入的研究。
在教学实践中，我们通过现状分析、解决策略、成果剖析三个步骤，来进行“相差关系”解决问题的教学，并取得了比较好的教学效果。
本文把我们思考、做法及效果做一个阐述。
一、现状分析
在教学中，我们常常剖析每节课的教学，例题和练习是怎样安排的？
学生在这节课的学习过程中会出现哪些困难？
在课堂上会有怎样的生成？
……但是对教材缺乏全面的分析与了解，对学生的整体认知也不是很深刻。
为了有效地进行“相差关系“解决问题教学，我们开展了以下两方面的分析。
1．教材分析
我们现在用的是人教版的教材。
在教学中老师深有感触，解决问题就像是林中的鸟儿一样，处处看到，却很难掌控。
在计算教学中它以例题形式穿插出现，是重计算还是重问题解决？
没有教学过的类型，在练习中却频频出现。
到底教材是怎样呈现“相差关系”这一类解决问题的呢？
于是我们对教材相关例题和练习进行了梳理统计（见表1说明）。
表1：
人教版教材1—6册“相差关系”例题与练习统计表
教材
页码
学习形式
题型
题数
一上
P83
数学乐园
感知比的描述（小明比小红少投进3个）
2
P115
我们的校园
求相差数（踢球的比出黑板的多几人？
）
1
一下
P40
例题9
会用“多得多、多一些、少一些、少得多”描述关系
1
P43
练习
对应练习
2
P72、73
例3、4（新课）
求相差数（小雪得12朵红花，小磊得8朵，小雪比小磊多得几朵？
）
4
P74-80
练习
求相差数
12
P93
练习（统计）
求相差数
5
P99
练习
求相差数
1
P101
练习
求相差数
1
P102
练习
求相差数
4
二上
P8
例题2（复习）
求相差数
1
P23
例题4（新课）
求大数、求小数（
（1）班得了16面小红旗，
（2）班比
（1）班多3面，
（2）班得几面？
）
1
P23-25
练习
求大数（3题）、求小数（2题）
5
P33
练习
求大数（1题）、求小数（1题）
2
P35
练习
求相差数（1题）、求小数（1题）
2
P94
练习（统计）
求相差数
4
P102
练习
求大数
1
P107
练习
求大数（1题）、求小数（1题）
2
二下
P7
练习
两步（大数求总3题，小数求总2题）
5
P82
练习
求相差数
1
P100
练习
求相差数
1
P103
练习
求相差数
1
P110
练习（统计）
求相差数
1
P113
练习
求相差数
1
三上
P44
练习（统计）
求大数（1题）、求小数（1题）
2
P97
练习
求相差数
3
三下
P33
练习
两问（先求大数，再求总数）
1
从表格中可以发现“相差关系”解决问题的例题新授课是两节，一节是求相差数的，在一年级下册教学两位数减一位数和整十数里出现；一节是求大数和小数的，在二年级上册两位数减两位数计算教学里同时教学；其余都是练习。
从分布上看，一年级上册学生还没接触“比”，却在实践活动中要求学生解决求相差数的问题，这显然是不合理的。
从教学形式看，基本题中的求相差数、求大数、求小数有相应的新授课教学，而相对较难的提高题（反比题、两步题）没有例题，甚至练习中也鲜少出现。
各种类型具体是怎样一个分布状况呢？
于是我们又对教材中例题与练习的分布情况进行逐一梳理（见表2说明）。
表2：
“相差关系”解决问题例题与练习在教材中的分布情况统计表
类型
基本题
提高题
相差数
大数
小数
反比
多余
条件
两步
两问
一问
教材
编排
第1-5册
第3册
第5册
第3册
第5册
无
无
第6册
第4册
新授
题数
4
1
1
0
0
0
0
练习
题数
37
7
6
0
0
1
5
两步解决问题从难易程度来说，有中间问题的两问解决问题类型比没有中间问题的一问解决问题类型要容易些。
从表中可以看出教材中两问两步的解决问题类型在三年级下册出现，而难一些的一问两步解决问题类型却在二年级下册的练习中就有了。
这让教师在教学时感觉凌乱，无所适从。
从练习题数来看，不难发现越简单的练得越多，复杂的练得少，甚至不练。
基本题中，求相差数的这一类，数量关系学生容易理解，也容易掌握，教材却是从第一册练到第五册，练习题数也最多，达到41题。
而反比、多余条件的学生也必须掌握的这两类，教材中没有出现，练习题数为0。
两步解决问题类型题型太单一，练习密度也不够。
通过对教材例题与练习的分析，我们有了想法，决定在教学中对教材进行重新梳理，开展合理的删减增补，让教与学更有序更有效。
2．学情分析
小学低年级学生对抽象材料的注意正在初步发展，而具体、直观的事物在引起儿童的注意上，仍然起着重大作用。
在他们的知觉中，也常常表现出不能看到事物的主要方面或特征，以及事物各个部分之间的联系。
而“相差关系”解决问题数量关系抽象复杂，题型变化多样，在深度和广度两方面影响着低段学生的理解和掌握。
一项技能的形成是需要一定时间的练习的，解题技能的形成也一样。
人教版的每一册教材涉及的知识面广、知识点多，而相邻知识点之间相关性不大，造成练习的不持续性，时间不足、密度不够。
学生对每一种题型的练习都只是点到为止，还没有形成技能。
所以，我们又想到了，在教学中进行练习方式上的调整，改变练习形式，提升练习质量。
二、解决策略
针对教材凌乱，没有体系；学生理解能力相对较弱制约着解题能力的发展；练习时间不足影响解题技能的形成这三个因素，我们在教学中思索、实践，形成了相应的解决策略。
1．理清思路，完整体系。
根据以往教学的经验，结合教学反馈以及学生各种练习的汇合，我们梳理出了“相差关系”解决问题的系列：
第一类：
基本题
①红苹果有42个，黄苹果有36个，黄苹果比红苹果少几个？
（求相差数）
②小华家上个月付水费43元，这个月比上个月节约13元。
这个月付水费几元？
（求小数）
③寒假有21天，暑假比寒假多39天，暑假有几天？
（求大数）
第二类：
提高题
④饲养组有80只公鸡，公鸡比母鸡多12只。
母鸡有几只？
⑤小红重42千克，比小亮重7千克。
小亮重几千克？
（反比）
⑥小华做了70个信封，小亮做了52个信封，小英比小华少做27个，小英做了几个？
（条件多余）
⑦第一组得了20颗星，第二组比第一组少7颗，第二组有几颗？
一共有几颗？
⑧红红7月份看了64页课外书，7月份比8月份少看5页，9月份比8月份多看12页。
8月份看几页？
9月份看几页？
⑨红花有50朵，比白花少18朵，黄花比白花多15朵，白花几朵？
黄花几朵？
⑩排球有60个，篮球有48个，足球比排球少17个，篮球比足球多几个？
（两步）
同时，我们通过学情分析和教材对该内容的知识分布又调整了教学的时间和年级（见表3说明）
表3：
“相差关系”解决问题教学内容与年级分布调整表
教学
内容
基本题
提高题
相差数
大数
小数
反比
多余
条件
两步
两问
一问
年级
分布
一、二年级
二年级
二年级
二、三年级
二、三年级
二、三年级
二、三年级
2．深入浅出，清晰算理。
学生的理解是先有个别因素的局部理解，然后经过思考逐渐达到全面理解，需要经过一系列的阶段。
虽然小学低段的学生已能理解一些比较抽象的语词、数学公式等，但他们的理解主要还是直接的理解，仍然具有很大的具体形象性。
直观、形象的学习材料加以巧妙细致的串联设计，能最大程度的引起学生的的兴趣，成为他们最好的学习驱动力。
所以我们在每一堂新课教学时，都会精心挑选直观形象，学生感兴趣的学习材料，巧妙精致地设计教学环节，深入浅出，让学生在愉悦的学习气氛中鲜明深刻地学习新内容，非常清晰地理解算理，掌握算法。
例如第一堂“相差关系”的新课求相差数的教学片段：
在教学时先设计这样一个情景：
（如图）
两只猴子在摘不同的果子，一只摘桃子，一只摘西瓜，他们的果子随意堆放在了一起。
两只猴子摘完后都争着说自己摘得多。
怎么办呢？
你有好办法吗？
学生争着说：
“先把水果分分类。
”这时课件就马上演示动画分类，西瓜同时移到左边成一堆，桃子移到右边成一堆。
师引导：
“这样是清楚多了，也方便数。
有更好的办法让大家一眼就看出是谁多谁少吗？
”学生说：
“西瓜和桃子各排成一排。
”课件再演示排成行的过程。
老师继续追问：
“这样看来好像是西瓜多，你认为呢？
”学生马上反驳：
“不对，是桃子多。
这样看不出来的，要一个一个对齐。
”这时课件根据学生的回答演示把桃子散开，和西瓜一一对应。
这样一眼就能看出是桃子多了。
再引导学生观察、思考：
这样摆其实是把桃子分成了两部分，一部分和西瓜同样多，一部分是比西瓜多出的部分。
求桃子比西瓜多出几个，该怎样列式计算呢？
通过学生的讨论与课件的演示（西瓜和同样多的桃子同时用虚线框圈出）学生轻松地理清了算理：
桃子的总数减去对牢的（即西瓜同样多的桃子个数）就是比西瓜多出的部分，所以求相差数用减法计算：
11-8=3（个）
这一教学片段前一部分引导学生探索前行，一步一步达成两个量的一一对应，感知比的过程。
后一部分激励学生更深层次的思考，在直观的引领中，算理渐渐清晰地浮现，深深地刻印在学生的记忆里。
再如教学“相差关系”新课求大数、小数的教学片段：
先出示摆一摆：
第一行：
第二行：
让学生通过语言描述，回忆求相差数这一类型的结构以及算法。
然后改变第二行呈现的信息。
第一行：
第二行：
看着这样的信息，引导学生先理解并用语言描述出来：
第一行摆了9个,第二行比第一行多3个。
第二行摆了几个？
这就是一道完整的求大数的“相差关系”解决问题，结合上面的星形图，学生能够形象地感知摆第二行的五角星，只要先摆和第一行同样多的9颗，再添上3颗就可以了。
所以求大数用加法算：
9+3=12（颗）。
新课教学就像是第一印象，在一开始就在学生脑海里留下了鲜明有效的学习体验，后续学习就会顺畅流利，有着事半功倍之效。
3．分解难点，逐类过关。
艾宾浩斯遗忘曲线告诉人们在学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程很快，并且先快后慢。
曲线中体现,学得的知识在一天后，如不抓紧复习,就只剩下原来的25%。
随着时间的推移,遗忘的速度减慢，遗忘的数量也就减少。
因此我们在教学中新授课过后，即使已经在学另外的不相关知识了，我们也不应该间断对前一知识的复习巩固，每天坚持用5分钟时间练习一道题，一类一类递进，直到形成技能，这就是我们的“过关练习”。
按照整理出来的类型系列，我们把那几类相差关系的问题设计成“过关题”，每天傍晚把“过关题”抄在小黑板上。
第二天早上由班里的小助手把黑板挂上，让学生在规定时间内按一定的步骤进行练习。
然后老师批改，发现问题及时反馈讲解，保障练习的有序、有效。
在练习起初，先有指导，和学生一起分析得出：
解决相差关系的问题，第一步要分清“谁和谁比”，第二步分析出“谁大谁小”，第三步看问题分清求“大数”、“小数”还是“相差数”。
“过关题”中分析解答此类题的基本步骤，例：
四年级有84人去郊游，
小数大数
五年级比四年级少去6人，
五年级去了几人？
求小数：
84-6=78（人）
答：
五年级去了78人。
第一步：
“谁和谁比”，找到“比”，用“”标出“比”。
第二步：
“谁大谁小”，把比字前面的“五年级“和“少”圈出来。
并在“五年级”处写上“小数”，“四年级”处写上“大数”。
第三步：
“求什么”，找到问题，写出“求小数”，再列式解答。
选取一些基本题按上述步骤进行练习后，再进行由易到难，循序渐进的练习。
首先对题中的关键词进行“描述变换”，将题中的关键字“多、少”换成“轻、重、高、矮、贵、便宜”等。
接着逐步过渡到“反比题”，把题中的“五年级比四年级少去6人”换成“四年级比五年级少去6人”，然后把“比”字前面的“四年级”去掉。
就成了这样一道反比题：
四年级有84人去郊游，比五年级少去6人，五年级去了几人？
一段时间后，又在题中增加一些多余条件，增加问题就成了有多余条件或两问的较复杂题。
如：
四年级有84人去郊游，六年级去68人，比五年级少去6人，五年级去了几人？
一共去了多少人？
就这样在一天一天中，在一题一题里，化解了难点，形成了技能。
三、成果剖析
经历了完整体系、清晰算理、逐类过关这样的教学策略过程，是否能达到预期的教学效果，我们分两个阶段来检验。
第一阶段是在集中教学与练习之后及时检验；第二阶段是在反思调整，完善策略之后进行。
第一阶段：
在二年级第一学期新课教学后，我们在自己所任教班级每天按步骤进行过关练习，每一种题型练习练到正确率不再上升，就换一种题型。
并及时记录练习的题数及每天的正确率。
最后抽取了二（6）班共53人对练习类型、练习题数、前正确率和后正确率进行了统计（见表4说明）。
表4：
二（6）班“相差关系”解决问题练习正确率统计表
类型
基本题
提高题
求相
差数
求大数
求小数
反比
多余
两步
两问
一问
练习题数
6
10
8
11
6
8
6
前正确率
67.9％
66.0％
66.0％
49.1％
67.9％
15.1％
28.3％
后正确率
94.3％
92.4％
92.4％
81.1％
83.0％
83.0％
81.1％
前正确率是指练习初期的正确率，后正确率是指最后保持的正确率。
从表格中可以看出通过一定时间、一定数量的持续练习，学生解题的技能已经形成，解题的正确率有明显的提升。
该掌握的基本题正确率由原来的66％到后来的92％以上，提高题也达到了80％以上。
由此可见练习是有效的。
阶段练习结束后，再选取前面罗列的10种“相差关系”题对二上年级进行后测。
测试题：
1.红苹果有42个，黄苹果有36个，黄苹果比红苹果少几个？
2.小华家上个月付水费43元，这个月比上个月节约13元。
这个月付水费多少元？
3.寒假有21天，暑假比寒假多39天，暑假有几天？
4.饲养组有80只公鸡，公鸡比母鸡多12只。
母鸡有几只？
5.小红重42千克，比小亮重7千克。
小亮重几千克？
6.小华做了70个信封，小亮做了52个信封，小英比小华少做27个，小英做了几个？
7.第一组得了20颗星，第二组比第一组少7颗，第二组有几颗？
一共有几颗？
8.红红7月份看了64页课外书，7月份比8月份少看5页，9月份比8月份多看12页。
8月份看几页？
9月份看几页？
9.排球60个，篮球48个，足球比排球少17个，足球有几个？
篮球比足球多几个？
10.红花有50朵，比白花少18朵，黄花比白花多15朵，白花有几朵？
黄花有几朵？
然后对后测结果进行统计（见表5）。
表5：
二（6）班“相差关系”解决问题后测成绩统计表
类型
相差数
大数
小数
反比
多余条件
两问
复杂题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
正确数
50人
51人
52人
48人
49人
52人
50人
42人
44人
38人
正确率
94％
96％
98％
90％
92％
98％
94％
79％
83％
71％
从表格上看，学生对“相差关系”类解决问题已经较好地掌握了，除了复杂题以外，各种类型的正确率都达到了90％及以上。
说明经历这样的练习，低年级学生能分析清楚“相差关系”解决问题，并且能够正确解答，所以练习是有效的。
“相差关系”解决问题的教学策略是否真的有效?
我们选择了另外一所同类学校抽取二年级的一个班共51人进行了同样的测试，统计后进行对比（见表6）。
表6：
二年级“相差关系”实验班和对照班测试成绩分析表
类型
相差数
大数
小数
反比
多余条件
两问
复杂题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
实验班正确率
94％
96％
98％
90％
92％
98％
94％
79％
83％
71％
对照班正确率
84％
80％
90％
67％
73％
88％
67％
37％
71％
41％
实验班指教学策略中的我们任教的测试班级，对照班是同类学校抽取的普通测试班级。
在对比中发现实验班的正确率明显高于对照班。
首先二年级第一学期教材中要求掌握的基本题（大数、小数、相差数）、多余条件和两问题，实验班正确率要高出对照班10％左右，两问题甚至高出27％；其余提高题实验班正确率大多要高出20％以上，最高的是相差42％。
造成差异的具体原因是什么呢？
随后我们又进一步对全班测试的错误原因分别进行了统计：
序号
错误原因
实验班
对照班
次数
错误率
次数
错误率
1
数量关系模糊
27
5.1％
84
16.5％
2
计算错误
16
3.0％
27
5.3％
3
抄数错误
4
0.7％
4
0.8％
4
多余条件选择错误
10
1.8％
11
2.2％
5
词义不理解（节约）
2
0.4％
7
1.4％
6
两步计算第二问遗漏
0
0％
16
3.1％
7
空题
0
0％
2
0.4％
从表格中可以发现每一项的错误率对照班都高于实验班。
其中最明显的是数量关系分析错误，达到3倍多，还有两步计算第二问遗漏的，对照班有16个，实验班没有遗漏的。
对比两张表格，分析形成差异的原因：
1．根据教材的编排，基本题是必须掌握的。
教学中老师们都会努力去达成教学目标，在这样的前提下，实验班对基本题的掌握明显高于对照班，是源于实验班有效教学策略的实施。
精致的课堂教学让学生先入为主，刻印下了清晰的算理；后续的过关练习，减少了学生的遗忘指数，形成了扎实的解题技能。
从错误原因的对比中可以明显地看出，实验班的数量关系分析相对熟练，那是因为我们学生在练习时有详尽的分析步骤，分析能力在日积月累中形成了。
因为我们题型练习比较全面，在过关练习中对“相差关系”题中的关键词进行“描述变换”，将题中的关键字“多、少”换成“轻、重、高、矮、浪费、节约”等，所以对这一类词义不理解的就少了。
2．教材对提高题既没有例题安排，练习也是少之又少。
我们从新安排了体系，进行了由易到难的螺旋式练习，所以提高题掌握的优势就更明显了。
两问的两步提高题训练到位了，第二问遗漏的就可以达到一个都没有，再复杂的题也可以抽丝剥茧般理清思路。
再者，教材没有不等于不教，没有低年级扎实的铺垫，那解决问题就永远是难以突破的瓶颈，老师害怕教，学生害怕学。
这样看来，我们的教学策略是可行的，也是有效的。
第二阶段：
研究是为了服务自己的教学。
分析我们的成果，一方面确定这样的教学策略是可行的、有效的，那就指引我们持之以恒。
另一方面也凸显了一些问题，需要我们及时完善，更进一步提升我们的教学。
在研究过程中发现计算能力与问题解决是合二为一的，在侧重问题解决的同时也重视计算能力的培养。
因此在后来的教学中，我们同时重视了学生计算能力的培养。
先分析影响学生计算正确率的各种因素，然后在解决问题中巧妙融合，在每天的过关练习中慢慢化解难点，形成技能。
比如：
在测试中发现二年级第一学期学生对于和超过一百的加法题不容易掌握，错误率很高。
那我们在设计“相差关系”求大数练习题时，就选用两数和超过一百的数字进行练习，既练习了解题也兼顾了计算。
低年级学生抄错现象普遍存在，45抄成54，谁比谁多抄成谁比谁少等。
利用过关题，小黑板用一些相近的数字，用一些相近的词语，在每天的练习慢慢提升学生的抄题技能……
在第一阶段测试二年级的同时，我们还抽取了当时高一届的三年级一个班进行了同样的测试。
测试结果统计后发现二年级的学生在如火如荼的练习下，复杂题的正确率也不及三年级的学生。
不禁怀疑这样的练习是否合适？
在实践中发现问题，思考解决策略，再次实践，就这样渐渐完善着我们的教学。
过了一年，我们再对实验班进行了同样的测试，并和在二年级时的测试结果以及上一届三年级相比，结果发现：
1.“相差关系”解决问题的集中教学在二年级，但是到了三年级已有的知识和技能都没有遗忘。
在完善了教学策略后，学生的计算能力，抄题能力，辨析能力都有了进一步的提高。
每一种类型的正确率都超过了在二年级时的第一次测试。
2.复杂题的正确率不但超越了自己，也超越了当时的三年级。
因此复杂题不必在二年级强行练习，随着年龄的增长，随着学生阅读理解能力的增强，复杂题的解决也就不那么艰难了。
3.实验班到了三年级各题的正确率都超越了上一届的三年级，“相差关系”解决问题的教学策略是有效的。
综上所述，我们在教学实践中，要活用教材，要根据学生的实际深入研究问题解决的教学策略，更好地培养学生解决问题的能力和创新能力，让教师教有所法——帮助学生从数学信息中抽取并理解数量关系，抽象出解题模型，掌握解决类似问题的一般方法;让学生学有所法——学会用数学眼光观察生活、发现和提出数学问题及能根据需要筛选和处理信息，积极寻求解决问题策略的能力，感受到学习的乐趣，体会到成功的喜悦，提高数学素养。
问题来源于实践，经过反思后的实践又在解决问题。
让我们在这样的过程中完善着、成长着……
【参考文献】：
1．《数学课程标准解读》北京师范大学 2002月7月版
2．《数学课程标准教师读本》华中师范大学出版社
3．《新课程理念与小学数学课程改革》孔企平、胡松林东北师范大学出版社2002年版
4．《教育心理学》程功陈仙梅浙江大学出版社1997年
5．《儿童心理学》朱智贤人民教育出版社1993年
6．《小学数学教育》中国教育学会小学数学教学专业委员会会刊2007
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