人教版九年级数学下册2721相似三角形的判定.docx
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人教版九年级数学下册2721相似三角形的判定
教学时间
课题
27.2.1相似三角形的判定
（一）
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
掌握两个三角形相似的判定条件（三个角对应相等，三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．
过 程
和
方 法
经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
情 感
态 度
价值观
会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
教学重点
相似三角形的定义与三角形相似的预备定理．
教学难点
三角形相似的预备定理的应用．
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课堂教学程序设计
设计意图
一、课堂引入
1．复习引入
（1）相似多边形的主要特征是什么？
（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，
如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且
．
我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，
则有∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且
．
（3）问题：
如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
2．教材P41的思考，并引导学生探索与证明．
3．【归纳】
三角形相似的预备定理平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
二、例题讲解
例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．
分析：
可类比全等三角形对应边、对应角的关系来寻找相似三角形中的对应元素．对于（3）可由相似三角形对应边的比相等求出AD与DC的长．
解：
略（AD=3，DC=5）
例2（补充）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
分析：
由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，再由相似三角形的性质，有
，又由AD=EC可求出AD的长，再根据
求出DE的长．
解：
略（
）．
三、课堂练习
1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（）
A．两个直角三角形B．两个钝角三角形
C．两个等腰三角形D．两个等边三角形
2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
3．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:
EA=2:
3，EF=4，求CD的长．（CD=10）
作业
设计
必做
教科书P54：
4、5
选做
教
学
反
思
教学时间
课题
27.2.1相似三角形的判定
（二）
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”的判定方法，以及“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判定方法．
过 程
和
方 法
经历两个三角形相似的探索过程，体验用类比、实验操作、分析归纳得出数学结论的过程；通过画图、度量等操作，培养学生获得数学猜想的经验，激发学生探索知识的兴趣，体验数学活动充满着探索性和创造性．
情 感
态 度
价值观
能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
教学重点
掌握两种判定方法，会运用两种判定方法判定两个三角形相似．
教学难点
（1）三角形相似的条件归纳、证明；
（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课堂教学程序设计
设计意图
一、课堂引入
1．复习提问：
（1）两个三角形全等有哪些判定方法？
（2）我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
（3）全等三角形与相似三角形有怎样的关系？
（4）如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？
2．
（1）提出问题：
首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
（2）带领学生画图探究；
（3）【归纳】
三角形相似的判定方法1如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．
3．
（1）提出问题：
怎样证明这个命题是正确的呢？
（2）教师带领学生探求证明方法．
4．用上面同样的方法进一步探究三角形相似的条件：
（1）提出问题：
由三角形全等的SAS判定方法，我们也会想如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
（2）让学生画图，自主展开探究活动．
（3）【归纳】
三角形相似的判定方法2两个三角形的两组对应边的比相等，且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似．
二、例题讲解
例1（教材P44例1）
分析：
判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法，对于
（1）由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法2“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”，对于
（2）给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法1“三组对应边的比相等的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边．
解：
略
※例2（补充）已知：
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=
，求AD的长．
分析：
由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明．计算得出
，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，再利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式
，从而求出AD的长．
解：
略（AD=
）．
三、课堂练习
1．教材P45：
1、2、3
2．如果在△ABC中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？
试着画一画、看一看？
3．如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：
△ABC∽△DEF．
作业
设计
必做
教科书P54：
2、3
选做
教科书P55：
7
教学
反思
教学时间
课题
27.2.1相似三角形的判定（三）
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
掌握“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法．
能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．
过 程
和
方 法
经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力．
情 感
态 度
价值观
教学重点
三角形相似的判定方法3——“两角对应相等，两个三角形相似”
教学难点
三角形相似的判定方法3的运用．
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课堂教学程序设计
设计意图
一、课堂引入
1．复习提问：
（1）我们已学习过哪些判定三角形相似的方法？
（2）如图，△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，
那么△ACD与△ABC相似吗？
说说你的理由．
（3）如
（2）题图，△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，
那么△ACD与△ABC相似吗？
——引出课题．
（4）教材P46的探究4．
二、例题讲解
例1（教材P46例2）．
分析：
要证PA•PB=PC•PD，需要证
，则需要证明这四条线段所在的两个三角形相似．由于所给的条件是圆中的两条相交弦，故需要先作辅助线构造三角形，然后利用圆的性质“同弧上的圆周角相等”得到两组角对应相等，再由三角形相似的判定方法3，可得两三角形相似．
证明：
略
例2（补充）已知：
如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长．
分析：
要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长．由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似．
解：
略（DF=
）．
三、课堂练习
1．教材P48的练习1、2．
2．已知：
如图，∠1=∠2=∠3，求证：
△ABC∽△ADE．
3．下列说法是否正确，并说明理由．
（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；
（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．
作业
设计
必做
教科书P56：
12
选做
教科书P56：
15
教
学
反
思
作业
设计
必做
教科书P93：
9
选做
教科书P93：
10
教
学
反
思
教学时间
课题
解直三角形应用（五）
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度角和有关角度的问题
过 程
和
方 法
逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
情 感
态 度
价值观
培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．
教学重点
能熟练运用有关三角函数知识．
教学难点
解决实际问题．
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课堂教学程序设计
设计意图
1．探究活动一
教师出示投影片，出示例题．
例1如图6-29，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少（精确到0.1m）．
分析：
1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：
用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．
2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形（上图6-29
（2））．已知：
Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．
答：
斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．
2．探究活动二
例2如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远（精确到0.1m），正好能使A、C、E成一条直线？
这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．
由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。
学生观察图形，不难发现，∠E=90°，这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应该能独立准确地完成．
解：
要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角．
∴∠BED=∠ABD-∠D=90°．
∴DE=BD·cosD
=520×0.6428=334.256≈334.3（m）．
答：
开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线，
提到角度问题，初一教材曾提到过方向角，但应用较少．因此本节课很有必要补充一道涉及方向角的实际应用问题，出示投影片．
练习P95练习1，2。
补充题：
正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？
（精确到1分）．
学生虽然在初一接触过方向角，但应用很少，所以学生在解决这个问题时，可能出现不会画图，无法将实际问题转化为几何问题的情况．因此教师在学生独自尝试之后应加以引导：
（1）确定小岛O点；
（2）画出10时船的位置A；（3）小船在A点向南偏东60°航行，到达O的正东方向位置在哪？
设为B；（4）结合图形引导学生加以分析，可以解决这一问题．
此题的解答过程非常简单，对于程度较好的班级可以口答，以节省时间补充一道有关方向角的应用问题，达到熟练程度．对于程度一般的班级可以不必再补充，只需理解前三例即可．
补充题：
如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
如果时间允许，教师可组织学生探讨此题，以加深对方向角的运用．同时，学生对这种问题也非常感兴趣，教师可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣．
若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考．
（三）小结与扩展
教师请学生总结：
在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案。
作业
设计
必做
教科书P93：
8
选做
练习册
教
学
反
思
教学时间
课题
解直三角形应用
课型
新授课
教
学
目
标
知 识
和
能 力
巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．
过 程
和
方 法
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
情 感
态 度
价值观
培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．
教学重点
解决有关坡度的实际问题．
教学难点
理解坡度的有关术语．
教学准备
教师
多媒体课件
学生
“五个一”
课堂教学程序设计
设计意图
1．创设情境，导入新课．
例同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：
如图6-33
水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）．
同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．
通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义．
介绍概念
坡度与坡角
结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：
坡面的铅直高度h和水
平宽度
的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。
即ｉ＝
，
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？
答：
i＝
＝tan
这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固．
练习
（1）一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______；
______，坡角
______度．
为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问：
（1）坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？
举例说明．
（2）坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明．
答：
（1）
如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，
因为tan
＝
，AB不变，tan
随BC增大而减小
（2）
与
（1）相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα
也随之增大，因为tan
=
不变时，tan
随AB的增大而增大
2．讲授新课
引导学生分析例题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．
以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．
坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．
解：
作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，
∴AE=3BE=3×23=69（m）．
FD=2.5CF=2.5×23=57.5（m）．
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5（m）．
因为斜坡AB的坡度i＝tan
＝
≈0.3333，查表得
α≈18°26′
答：
斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．
3．巩固练习
（1）教材P124.2
由于坡度问题计算较为复杂，因此要求全体学生要熟练掌握，可能基础较好的学生会很快做完，教师可再给布置一题．
（2）利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块（图6-35阴影部分是挖去部分），已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：
①横断面（等腰梯形）ABCD的面积；
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．
分析：
1．引导学生将实际问题转化为数学问题．
2．要求S等腰梯形ABCD，首先要求出AD，如何利用条件求AD？
3．土方数=S·l
∴AE=1.5×0.6=0.9（米）．
∵等腰梯形ABCD，
∴FD=AE=0.9（米）．
∴AD=2×0.9+0.5=2.3（米）．
总土方数=截面积×渠长
=0.8×100=80（米3）．
答：
横断面ABCD面积为0.8平方米，修一条长为100米的渠道要挖出的土方数为80立方米．
（四）总结与扩展
引导学生回忆前述例题，进行总结，以培养学生的概括能力．
1．弄清俯角、仰角、株距、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应，只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化为数学问题．
2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形，或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题．
3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单，且不易出错．
4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．
作业
设计
必做
教科书P97：
1-7
选做
教科书P97：
8-12
教
学
反
思
作业
设计
必做
教科书P118：
9
选做
教科书P118：
10
教
学
反
思
升级会员 