完整版湖南省学业水平考试数学真题附含答案解析.docx
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完整版湖南省学业水平考试数学真题附含答案解析
2017年湖南省学业水平考试（真题）
数学
120分钟，满分100分。
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量
、选择题：
本大题共10小题，
每小题4分，共40分，
在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目
要求的。
1.已知一个几何体的三视图如图
1所示，则该几何体可
以是（）
A、正方体
B、圆柱
C、三棱柱
D、球
2.已知集合A{0,1},B
{1,2}，则A
B中元素的个数为
A、1
B、2
C、3
D、4
3.已知向量，若，则a
（x,1）,b（4,2）,c
（6,3），若c
，则x（
A、-10
B、10
C、-2
D、2
4.执行如图
2所示的程序框图，若输入
的值为-2，
则输
出的y（
公差d（）
A、4
B、
C、
D、7
1
6.既在函数f（x）x2的图象上，
又在函数
g（x）x1
图象上的点是
A、平行
B、在平面内
C、相交但不垂直
D、
相交且垂直
8.已知sin2sin,
（0,）
，则cos
（
）
A、3B、
1
C、1
D、
3
2
1
2
2
2
9.已知alog22,b1,c
log24
，则
A、abcB、
ba
cC、ca
b
D、cba
面BEF的位置关系是（）
11
A、（0，0）B、（1，1）C、（2,12）D、（12,2）
7.如图3所示，四面体ABCD中，E,F分别为AC,AD的中点，则直线CD与平
10.如图4所示，正方形的面积为1，在正方形内随机撒1000粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为（）
A、
B、
C、
D、
、填空题：
本大题共
5小题，每小题4分，共20分.
11.已知函数f（x）cosx,xR（其中
0）的最小正周期为
，则
12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取5人参加社区
服务，则抽出的学生中男生比女生多人。
13.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a4,b3,sinC1，则ABC的面积为
x
14.已知点A（1,m）在不等式组y
x
0,
0,表示的平面区域内，则实数m的取值y4
范围为。
15.已知圆柱及其侧面展开图如图5所示，则该圆柱的体积为
三、解答题：
本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分6分）
sinx的部分图象如图6所示.
已知定义在区间[,]上的函数f（x）
（1）将函数f（x）的图象补充完整；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间.
17.（本小题满分8分）
已知数列{an}满足an13an（nN*），且a26
（1）求a1及an；
（2）设bnan2，求数列{bn}的前n项和Sn.
18.（本小题满分8分）
20名
为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取
学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图
（1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；
2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的2人来自同一组
19（本小题满分8分）
已知函数f（x）
x
2x,x0,
2
2（x1）2m,0
（1）若m1
，求f（0）和f
（1）的值，并判断函数f（x）在区间（0,1）内是
否有零点；
2）若函数f（x）的值域为[2,），求实数m的值.
20.（本小题满分10分）
已知O为坐标原点，点p（1,2）在圆M:
x2y24xay10上，
（1）求实数a的值；
（2）求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程；
（3）过点O作互相垂直的直线l1,l2,l1与圆M交于A,B两点，l2与圆M交于
C,D两点，求|AB||CD|的最大值.
2017年湖南省学业水平考试（参考答案）
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分100分。
、选择题：
本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一个几何体的三视图如图1所示，则该几何体可以是（A）
4.执行如图2所示的程序框图，若输入x的值为-2，则输出的y（B）
A、-2B、
0
C、
2
D、4
5.在等差数列{an}
中
，已知a1
a2
11,a3
16，则
公差d（D
）
A、4B、
5
C、
6
D、7
6.既在函数f（x）
1
x2
的图象上，
又在函数
g（x）x1
的
图象上的点是（
B
）
A、（0，0）
B、（
1，1）
C、
（2,1
1
）D、（1
2）
2
2
7.如图3所示，四面体ABCD中，E,F分别为AC,AD的中点，则直线CD与平面BEF的位置关系是（A）
A、平行B、在平面内
C、
相交但不垂直
D、
相交且垂直
8.已知
sin2sin,
（0,）
，则cos
（C）
A、
3B、
1
C、1
D、3
2
2
2
2
9.已知
1
alog22,b1,c
log24
，则（A）
A、
abcB、
bac
C、ca
bD、cba
10.如图4所示，正方形的面积为1，在正方形内随机撒1000粒豆子，恰好有600粒豆子落在阴影部分内，则用随机模拟方法计算得阴影部分的面积为（B）
5人参加社区
12.某班有男生30人，女生20人，用分层抽样的方法从该班抽取
服务，则抽出的学生中男生比女生多1人。
13.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a4,b3,sinC1，
则ABC的面积为6
范围为0m3。
15.已知圆柱及其侧面展开图如图的体积为4。
三、解答题：
本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分6分）
已知定义在区间[,]上的函数f（x）sinx的部分图象如图6所示.
（1）将函数f（x）的图象补充完整；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间.
解：
（1）图象如图：
2）由图象可知，函数f（x）sinx在区间[,]上的单调增区间为[,]22
17.（本小题满分8分）
已知数列{an}满足an13an（nN*），且a26
（1）求a1及an；
（2）设bnan2，求数列{bn}的前n项和Sn.
an23n1
（2）由已知可知，bn23n12
Snb1b2b3bn
2（3031323n1）（2222）
13n
22n
13
3n12n
18.（本小题满分8分）
为了解数学课外兴趣小组的学习情况，从某次测试的成绩中随机抽取20名学生的成绩进行分析，得到如图7所示的频率分布直方图
1）根据频率分布直方图估计本次测试成绩的众数；
（2）从成绩不低于80分的两组学生中任选2人，求选出的2人来自同一组的概率.
解:
（1）由题可知，本次测试成绩的众数为
708075
2
（2）成绩在[80,90]的频率为0.015100.15，
设为a,b,c，成绩在[90,100]的频率为0.01010
学生人数为200.153人，
0.1，学生人数为200.12
人，设为A,B,则从5人中任选2人的基本事件如下：
（a,b）,（a,c）,（a,A）,（a,B）,（b,c）,（b,A）,（b,B）,（c,A）,（c,B）,（A,B）共10个，其中2
人来自同一组的基本事有
（a,b）,（a,c）,（b,c）,（A,B）,其4个基本件。
19（本小题满分8分）
2x,x0,
已知函数f（x）2
（1）若m1，求f（0）和f
（1）的值，
2（x1）2m,x0
并判断函数f（x）在区间（0,1）内是否有零点；
（2）若函数f（x）的值域为[2,），求实数m的值.
2x,x0
解：
（1）m1f（x）2f（0）2111,f
（1）1,
2（x1）21,x0
f（0）f
（1）0f（x）在区间（0,1）内有零点.
（2）当x0时，f（x）的取值范围是（0,1），当x0时，f（x）是二次函数，要使函数f（x）的值域为[2,），则f（x）2（x1）2m的最小值为2，由二次函数可知，当x1时，f（x）2（x1）2m取最小值2，即f
（1）m2.
20.（本小题满分10分）已知O为坐标原点，点P（1,2）在圆
M:
x2y24xay10上，
（1）求实数a的值；
（2）求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程；
（3）过点O作互相垂直的直线l1,l2,l1与圆M交于A,B两点，l2与圆M交于
C,D两点，求|AB||CD|的最大值.
解：
（1）把P（1,2）点代入圆M:
x2y24xay10得a0；
（2）圆心坐标为M（2,0），kOP2，过圆心且与OP平行的直线方程为
y02（x2），即y2x22
3）设直线AB的方程为kxy0，直线CD的方程为xky0，圆心到直线AB
的距离为d1
12k2，|AB|231
4
k2，同理可|CD|23
4k2
1
k2
|AB||CD|
2
44k2
4（32）（32）
1k21k2
6（14k214kk22）
2
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