《离散数学第三版》方世昌的期末复习知识点总结含例题.docx
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《离散数学第三版》方世昌的期末复习知识点总结含例题
《离散数学(第三版)》方世昌-的期末复习知识点总结含例题
《离散数学(第三版)》方世昌的期末复习知识点总结含例题
一、各章复习要求与重点
第一章集合
[复习知识点]
1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集
2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律(交换律、结合律、分配律、吸收律、DeMorgan律等),文氏(Venn)图
3、序偶与迪卡尔积
本章重点内容:
集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明
[复习要求]
1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。
2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。
3、掌握集合运算基本规律,证明集合等式的方法。
4、了解序偶与迪卡尔积的概念,掌握迪卡尔积的运算。
解
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
例3试证明
证明
第二章二元关系
[复习知识点]
1、关系、关系矩阵与关系图
2、复合关系与逆关系
3、关系的性质(自反性、对称性、反对称性、传递性)
4、关系的闭包(自反闭包、对称闭包、传递闭包)
5、等价关系与等价类
6、偏序关系与哈斯图(Hasse)、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界
7、函数及其性质(单射、满射、双射)
8、复合函数与反函数
本章重点内容:
二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念
[复习要求]
1、理解关系的概念:
二元关系、空关系、全关系、恒等关系;掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。
2、掌握求复合关系与逆关系的方法。
3、理解关系的性质(自反性、对称性、反对称性、传递性),掌握其判别方法(定义、矩阵、图)。
4、掌握求关系的闭包(自反闭包、对称闭包、传递闭包)的方法。
5、理解等价关系和偏序关系的概念,掌握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法,极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。
6、理解函数概念:
函数、函数相等、复合函数和反函数。
7、理解单射、满射、双射等概念,掌握其判别方法。
[本章重点习题]
P25,1;P32~33,4,8,10;P43,2,3,5;P51~52,5,6;P59,1,2;P64,3;P74~75,2,4,6,7;P81,5,7;P86,1,2。
[疑难解析]
1、关系的概念
关系的概念是第二章全章的基础,又是第一章集合概念的应用。
因此,学生应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。
2、关系的性质及其判定
关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握,又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。
对于四种性质的判定,可以依据教材中P49上总结的规律。
这其中对传递性的判定,难度稍大一点,这里要提及两点:
一是不破坏传递性定义,可认为具有传递性。
如空关系具有传递性,同时空关系具有对称性与反对称性,但是不具有自反性。
另一点是介绍一种判定传递性的“跟踪法”,即若
,则
。
如若
,则有
,且
。
3、关系的闭包
在理解掌握关系闭包概念的基础上,主要掌握闭包的求法。
关键是熟记三个定理的结论:
定理2,
;定理3,
;定理4,推论
。
4、半序关系及半序集中特殊元素的确定
理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。
哈斯图画法掌握了,对于确定任一子集的最大(小)元,极大(小)元也就容易了。
这里要注意,最大(小)元与极大(小)元只能在子集内确定,而上界与下界可在子集之外的全集中确定,最小上界为所有上界中最小者,最小上界再小也不小于子集中的任一元素,可以与某一元素相等,最大下界也同样。
5、映射的概念与映射种类的判定
映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。
判定的方法除定义外,可借助于关系图,而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行,尤其是对各种初等函数。
[例题分析]
例1设集合
,判定下列关系,哪些是自反的,对称的,反对称的和传递的:
解:
均不是自反的;R4是对称的;R1,R2,R3,R4,R5是反对称的;R1,R2,R3,R4,R5是传递的。
例2设集合
,A上的二元关系R为
(1)写出R的关系矩阵,画出R的关系图;
(2)证明R是A上的半序关系,画出其哈斯图;
(3)若
,且
,求B的最大元,最小元,极大元,极小元,最小上界和最大下界。
解
(1)R的关系矩阵为
R的关系图略
(2)因为R是自反的,反对称的和传递的,所以R是A上的半序关系。
(A,R)为半序集,(A,R)的哈斯图如下
。
4
。
1
。
3
。
2
。
5
(3)当
,B的极大元为2,4;极小元为2,5;B无最大元与最小元;B也无上界与下界,更无最小上界与最大下界。
第三章 命题逻辑
[复习知识点]
1、命题与联结词(否定、析取、合取、蕴涵、等价),复合命题
2、命题公式与解释,真值表,公式分类(恒真、恒假、可满足),公式的等价
3、析取范式、合取范式,极小(大)项,主析取范式、主合取范式
4、公式类别的判别方法(真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法)
5、公式的蕴涵与逻辑结果
6、形式演绎
本章重点内容:
命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、形式演绎
[复习要求]
1、理解命题的概念;了解命题联结词的概念;理解用联结词产生复合命题的方法。
2、理解公式与解释的概念;掌握求给定公式真值表的方法,用基本等价式化简其他公式,公式在解释下的真值。
3、了解析取(合取)范式的概念;理解极大(小)项的概念和主析取(合取)范式的概念;掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取(合取)范式的方法。
4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。
5、理解公式蕴涵与逻辑结果的概念,掌握基本蕴涵式。
6、掌握形式演绎的证明方法。
[本章重点习题]
P93,1;P98,2,3;P104,2,3;P107,1,3;P112,5;P115,1,2,3。
[疑难解析]
1、公式恒真性的判定
判定公式的恒真性,包括判定公式是恒真的或是恒假的。
具体方法有两种,一是真值表法,对于任给一个公式,主要列出该公式的真值表,观察真值表的最后一列是否全为1(或全为0),就可以判定该公式是否恒真(或恒假),若不全为0,则为可满足的。
二是推导法,即利用基本等价式推导出结果为1,或者利用恒真(恒假)判定定理:
公式G是恒真的(恒假的)当且仅当等价于它的合取范式(析取范式)中,每个子句(短语)均至少包含一个原子及其否定。
这里要求的析取范式中所含有的每个短语不是极小项,一定要与求主析取范式相区别,对于合取范式也同样。
2、范式
求范式,包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。
关键有两点:
一是准确理解掌握定义;另一是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律和互补律,结果的前一步适当使用等幂律,使相同的短语(或子句)只保留一个。
另外,由已经得到的主析取(合取)范式,根据
原理,参阅《离散数学学习指导书》P71例15,可以求得主合取(析取)范式。
3、形式演绎法
掌握形式演绎进行逻辑推理时,一是要理解并掌握14个基本蕴涵式,二是会使用三个规则:
规则P、规则Q和规则D,需要进行一定的练习。
[例题分析]
例1求
的主析取范式与主合取范式。
解
(1)求主析取范式,
方法1:
利用真值表求解
G
000
001
010
011
100
101
110
111
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
因此
方法2:
推导法
(2)求主合取范式
方法1:
利用上面的真值表
为0的有两行,它们对应的极大项分别为
因此,
方法2:
利用已求出的主析取范式求主合取范式
已用去6个极小项,尚有2个极小项,即
与
于是
例2试证明公式
为恒真公式。
证法一:
见〈离散数学学习指导书〉P60例6(4)的解答。
(真值表法)
证法二:
G=⌝((⌝P∨Q)∧(⌝Q∨R))∨(⌝P∨R)
=(P∧⌝Q)∨(Q∧⌝R)∨⌝P∨R
=(((P∨Q)∧(P∨⌝R)∧(⌝Q∨Q)∧(⌝Q∨⌝R))∨⌝P)∨R
=((P∨Q∨⌝P)∧(P∨⌝R∨⌝P)∧(⌝Q∨⌝R∨⌝P))∨R
=(1∧(⌝Q∨⌝R∨⌝P))∨R
=⌝Q∨⌝R∨⌝P∨R
=1
故G为恒真公式。
例3利用形式演绎法证明{P→(Q→R),⌝S∨P,Q}蕴涵S→R。
证明:
(1)⌝S∨P规则P
(2)S规则D
(3)P规则Q,根据
(1),
(2)
(4)P→(Q→R)规则P
(5)Q→R规则Q,根据(3),(4)
(6)Q规则P
(7)R规则Q,根据(5),(6)
(8)S→R规则D,根据
(2),(7)
第四章谓词逻辑
[复习知识点]
1、谓词、量词、个体词、个体域、变元(约束变元与自由变元)
2、谓词公式与解释,谓词公式的类型(恒真、恒假、可满足)
3、谓词公式的等价和蕴涵
4、前束范式
本章重点内容:
谓词与量词、公式与解释、前束范式
[复习要求]
1、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念;理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题;了解命题符号化。
2、理解公式与解释的概念;掌握在有限个体域下消去公式量词,求公式在给定解释下真值的方法;了解谓词公式的类型。
3、理解用解释的方法证明等价式和蕴涵式。
4、掌握求公式前束范式的方法。
[本章重点习题]
P120,1,2;P125~126,1,3;P137,1。
[疑难解析]
1、谓词与量词
反复理解谓词与量词引入的意义,概念的含义及在谓词与量词作用下变量的自由性、约束性与改名规则。
2、公式与解释
能将一阶逻辑公式表达式中的量词消除,写成与之等价的公式,然后将解释I中的数值代入公式,求出真值。
3、前束范式
在充分理解掌握前束范式概念的基础上,利用改名规则、基本等价式与蕴涵式(一阶逻辑中),将给定公式中量词提到母式之前称为首标。
[典型例题]
例1设I是如下一个解释:
F
(2)F(3)P
(2)P(3)Q(2,2)Q(2,3)Q(3,2)Q(3,3)
32011101
求
的真值。
解
例2试将一阶逻辑公式化成前束范式。
解
第五章图论
[复习知识点]
1、图、完全图、子图、母图、支撑子图、图的同构
2、关联矩阵、相邻矩阵
3、权图、路、最短路径,迪克斯特拉算法(Dijkstra)
4、树、支撑树、二叉树
5、权图中的最小树,克鲁斯卡尔算法(Kruskal)
6、有向图、有向树
本章重点内容:
权图的最短路、二叉树的遍历、权图中的最优支撑树
[复习要求]
1、理解图的有关概念:
图、完全图、子图、母图、支撑子图、图的同构。
2、掌握图的矩阵表示(关联矩阵、相邻矩阵)。
3、理解权图、路的概念,掌握用Dijkstra算法求权图中最短路的方法。
4、理解树、二叉树与支撑树的有关概念;掌握二叉树的三种遍历方法,用Kruskal算法求权图中最小树的方法。
5、理解有向图与有向树的概念。
[本章重点习题]
P221,2;P225,1;P231,2,3;P239,5;P242,1,2。
[疑难解析]
1.本章的概念较多,学习时需要认真比较各概念的含义,如:
图、子图、有向图、权图;树、支撑树、二叉树、有向树;路、简单路、回路等,这些都是图的基本概念,今后将在数据结构、数据库、计算机网络等课程中用到。
2、权图中的最短路
严格执行迪克斯特拉(Dijkstra)算法步骤,从起点起,到每一点求出最短路,然后进行仔细比较,最后到达终点,算出最小权和。
3、权图中的最优支撑树
权图中的最优支撑树是图中所带权和最小的支撑树,使用克鲁斯卡尔(Kruskal)算法。
[典型例题]
例1在具有n个顶点的完全图Kn中删去多少条边才能得到树?
解:
n个顶点的完全图Kn中共有n⨯(n-1)/2条边,
n个顶点的树应有n-1条边,
于是,删去的边有:
n⨯(n-1)/2-(n-1)=(n-1)⨯(n-2)/2
例2求下面有限图中点u到各点间的最短路。
(图上数字见教材P231,第3题。
)
解u→u1,d(u,u1)=1,路(u,u1)
u→u2,d(u,u2)=9,路(u,u4,u3,u7,u2)
u→u3,d(u,u3)=5,路(u,u4,u3,)
u→u4,d(u,u4)=3,路(u,u4)
u→u5,d(u,u5)=11,路(u,u1,u5)或路(u,u4,u3,u7,u2,u5)
u→u6,d(u,u6)=13,路(u,u1,u5,u6)
u→u7,d(u,u7)=8,路(u,u4,u3,u7)
u→u8,d(u,u8)=11,路(u,u4,u8)
u→v,d(u,v)=15,路(u,u1,u5,u6,v)或路(u,u4,u3,u7,u6,v)
二、考核说明
本课程的考核实行形成性考核和终结性考核的形式。
形成性考核占总成绩的20%,以课程作业的形式进行(共三次,由中央电大统一布置);终结性考核即期末考试,占总成绩的80%。
总成绩为100分,60分及格。
期末考试实行全国统一闭卷考核,试卷满分为100。
由中央电大统一命题,统一评分标准,统一考试时间(考试时间为120分钟)。
1、试题类型
试题类型有填空题(分数约占20%)、单项选择题(分数约占14%)、计算题(分数约占50%)和证明题(分数约占16%)。
填空题和单项选择题主要涉及基本概念、基本理论,重要性质和结论、公式及其简单计算。
计算题主要考核学生的基本运算技能,要求书写计算、推论过程或理由。
证明题主要考查应用概念、性质、定理及主要结论进行逻辑推理的能力,要求写出推理过程。
2、考核试卷题量分配
试卷题量在各部分的分配是:
集合论约占40%,数理逻辑约占40%,图论约占20%。
具体课程考核情况见课程考核说明。
附录:
试题类型及规范解答举例
[填空题]
1.设R是集合A上的二元关系,如果关系R同时具有性、对称性和性,则称R是等价关系。
2.命题公式G=(P∧Q)→R,则G共有个不同的解释;把G在其所有解释下所取真值列成一个表,称为G的;解释(⌝P,Q,⌝R)或(0,1,0)使G的真值为。
3.设G=(P,L)是图,如果G是连通的,并且,则G是树。
如果根树T的每个点v最多有两棵子树,则称T为。
[单项选择题](选择一个正确答案的代号,填入括号中)
1.由集合运算定义,下列各式正确的有()。
A.X⊆X⋃YB.X⊇X⋃YC.X⊆X⋂YD.Y⊆X⋂Y
2.设R1,R2是集合A={a,b,c,d}上的两个关系,其中R1={(a,a),(b,b),(b,c),(d,d)},R2={(a,a),(b,b),(b,c),(c,b),(d,d)},则R2是R1的()闭包。
A.自反B.对称C.传递D.以上都不是
3.设G是由5个顶点组成的完全图,则从G中删去()条边可以得到树。
A.4B.5C.6D.10
[计算题]
1.化简下式:
(A-B-C)⋃((A-B)⋂C)⋃(A⋂B-C)⋃(A⋂B⋂C)
2.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等值。
(1)(P∧Q)∨(⌝P∧Q∧R);
(2)(P∨(Q∧R))∧(Q∨(⌝P∧R));
3.求图中A到其余各顶点的最短路径,并写出它们的权。
B7C
12
A253D
46
E1F
[证明题]
1.利用基本等价式证明下面命题公式为恒真公式。
((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)
2.用形式演绎法证明:
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S。
试题答案及评分标准
[填空题]
1、自反;传递
2、8;真值表;1
3、无回路;二叉树
[单项选择题](选择一个正确答案的代号,填入括号中)
1、A2、B3、C
[计算题]
1.解:
(A-B-C)⋃((A-B)⋂C)⋃(A⋂B-C)⋃(A⋂B⋂C)
=(A⋂~B⋂~C)⋃(A⋂~B⋂C)⋃(A⋂B⋂~C)⋃(A⋂B⋂C)
=((A⋂~B)⋂(~C⋃C))⋃((A⋂B)⋂(~C⋃C))
=((A⋂~B)⋂E)⋃((A⋂B)⋂E)E为全集
=(A⋂~B)⋃(A⋂B)
=A⋂(~B⋃B)
=A⋂E
=A
2.解:
(P∧Q)∨(⌝P∧Q∧R)
⇔(P∧Q∧(⌝R∨R))∨(⌝P∧Q∧R)
⇔(P∧Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)
⇔m6∨m7∨m3
⇔m3∨m6∨m7
(P∨(Q∧R))∧(Q∨(⌝P∧R))
⇔(P∧Q)∨(Q∧R)∨(P∧⌝P∧R)∨(⌝P∧Q∧R)(分配律)
⇔(P∧Q∧(⌝R∨R))∨((⌝P∨P)∧Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)
⇔(P∧Q∧⌝R)∨(P∧Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)
⇔m6∨m7∨m3∨m7∨m3
⇔m3∨m6∨m7
由此可见(P∧Q)∨(⌝P∧Q∧R)⇔(P∨(Q∧R))∧(Q∨(⌝P∧R))
3.解:
A到B的最短路径为AB,权为1;
A到E的最短路径为ABE,权为3;
A到F的最短路径为ABEF,权为4;
A到C的最短路径为ABEFC,权为7;
A到D的最短路径为ABEFCD,权为9。
[证明题]
1.证明:
((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)
⇔((⌝P∨Q)∧(⌝Q∨R))→(⌝P∨R)
⇔⌝((⌝P∨Q)∧(⌝Q∨R))∨(⌝P∨R)
⇔(P∧⌝Q)∨(Q∧⌝R)∨⌝P∨R
⇔((P∧⌝Q)∨⌝P)∨((Q∧⌝R)∨R)
⇔(1∧(⌝Q∨⌝P))∨((Q∨R)∧1)
⇔⌝Q∨⌝P∨Q∨R
⇔(⌝Q∨Q)∨⌝P∨R
⇔1∨⌝P∨R
⇔1
2.证明:
(1)P∨R规则P
(2)⌝R→P规则Q,根据
(1)
(3)P→Q规则P
(4)⌝R→Q规则Q,根据
(2)(3)
(5)⌝Q→R规则Q,根据(4)
(6)R→S规则P
(7)⌝Q→S规则Q,根据(5)(6)
(8)Q∨S规则Q,根据(7)
三、综合练习及解答
(一)填空题
1、集合的表示方法有两种:
法和法。
请把“大于3而小于或等于7的整数集合”用任一种集合的表示方法表示出来A={}。
2、A,B是两个集合,A={1,2,3,4},B={2,3,5},则B-A=,ρ(B)-ρ(A)=,ρ(B)的元素个数为。
3、设
,则从A到B的所有映射是
。
4、设命题公式
,则使公式G为假的解释是、
和。
5、设G是完全二叉树,G有15个点,其中8个叶结点,则G的总度数为
,分枝点数为。
6、全集E={1,2,3,4,5},A={1,5},B={1,2,3,4},C={2,5},求A⋂~B=
,ρ(A)⋂ρ(C)=,
~C=。
7、设A和B是任意两个集合,若序偶的第一个元素是A的一个元素,第二个元素是B的一个元素,则所有这样的序偶集合称为集合A和B的,
记作A⨯B,即A⨯B=。
A⨯B的子集R称为A,B上的。
8、将几个命题联结起来,形成一个复合命题的逻辑联结词主要有否定、、
、和等值。
9、表达式∀x∃yL(x,y)中谓词的定义域是{a,b,c},将其中的量词消除,写成与之等价的命题公式为
。
10、一个无向图表示为G=(P,L),其中P是的集合,L是
的集合,并且要求
。
(二)单项选择题(选择一个正确答案的代号,填入括号中)
1.设命题公式
,则G是()。
A.恒真的B.恒假的C.可满足的D.析取范式
2、设集合
,A上的关系
,则
=()。
3、一个公式在等价意义下,下面哪个写法是唯一的()。
A.析取范式B.合取范式C.主析取范式D.以上答案都不对
4、设命题公式G=⌝(P→Q),H=P→(Q→⌝P),则G与H的关系是()。
A.G⇒HB.H⇒GC.G=HD.以上都不是
5、已知图G的相邻矩阵为
,则G有()。
A.5点,8边B.6点,7边C.5点,7边D.6点,8边
6、下列命题正确的是()。
A.φ⋂{φ}=φB.φ⋃{φ}=φC.{a}∈{a,b,c}D.φ∈{a,b,c}
7、设集合A={a,b,c},A上的关系R={(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)},则R具有关系的()性质。
A.自反B.对称C.传递D.反对称
8、设R为实数集,映射σ=R→R,σ(x)=-x2+2x-1,则σ是()。
A.单射而非满射B.满射而非单射C.双射D.既不是单射,也不是满射
9、下列语句中,()是命题。
A.下午有会吗?
B.这朵花多好看呀!
C.2是常数。
D.请把门关上。
10、下面给出的一阶逻辑等价式中,()是错的。
A.∀x(A(x)∨B(x))=∀xA(x)∨∀xB(x)
B.A→∀xB(x)=∀x(A→B(x))
C.∃x(A(x)∨B(x))=∃xA(x)∨∃xB(x)
D.⌝∀xA(x)=∃x(⌝A(x))
(三)计算题
1、设R和S是集合
上的关系,其中
,试求:
(1)写出R和S的关系矩阵;
(2)计算
。
2、设A={a,b,c,d},R1,R2是A上的关系,其中R1={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(c,d),(d,c),(d,d)},R2={(a,b),(b,a),(a,c),(c,a),(b,c),(c,b),(a,a),(b,b),(c,c)}。
(1)画出R1和R2的关系图;
(2)判断它们是否为等价关系,是等价关系的求A中各元素的等价类。
3、用真值表判断下列公式是恒真?
恒假?
可满足?
(1)(P∧⌝P)↔Q
(2)⌝(P→Q)∧Q
(3)((P→Q)∧(Q→R))→(P→R)
4、设解释I为:
(1)定义域D={-2,3,6};
(2)F(x):
x≤3;
G(x):
x>5。
在解释I下求公式∃x(F(x)∨G(x))的真值。
5、求下图所示权图中从u到v的最短路,画出最短路并计算它们的权值。
V17V3
12
U253V
46
V21V4
6、化简下式:
((A⋃B⋃C)⋂(A⋃B))-((A⋃(B-C))⋂A)
7、已知A={1,2,3,4,5},B={1,2,3},R是A到B的二元关系,并且R={(x,y)|x∈A且y∈B且2≤x+y