《离散数学第三版》方世昌的期末复习知识点总结含例题.docx

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《离散数学第三版》方世昌的期末复习知识点总结含例题

《离散数学（第三版）》方世昌-的期末复习知识点总结含例题

《离散数学（第三版）》方世昌的期末复习知识点总结含例题

一、各章复习要求与重点

第一章集合

[复习知识点]

1、集合、元素、集合的表示方法、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集

2、集合的交、并、差、补等运算及其运算律（交换律、结合律、分配律、吸收律、DeMorgan律等），文氏（Venn）图

3、序偶与迪卡尔积

本章重点内容：

集合的概念、集合的运算性质、集合恒等式的证明

[复习要求]

1、理解集合、元素、子集、空集、全集、集合的包含、相等、幂集等基本概念。

2、掌握集合的表示法和集合的交、并、差、补等基本运算。

3、掌握集合运算基本规律，证明集合等式的方法。

4、了解序偶与迪卡尔积的概念，掌握迪卡尔积的运算。

解

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

例3试证明

证明

第二章二元关系

[复习知识点]

1、关系、关系矩阵与关系图

2、复合关系与逆关系

3、关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性）

4、关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）

5、等价关系与等价类

6、偏序关系与哈斯图（Hasse）、极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界

7、函数及其性质（单射、满射、双射）

8、复合函数与反函数

本章重点内容：

二元关系的概念、关系的性质、关系的闭包、等价关系、半序关系、映射的概念

[复习要求]

1、理解关系的概念：

二元关系、空关系、全关系、恒等关系；掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图、关系的运算。

2、掌握求复合关系与逆关系的方法。

3、理解关系的性质（自反性、对称性、反对称性、传递性），掌握其判别方法（定义、矩阵、图）。

4、掌握求关系的闭包（自反闭包、对称闭包、传递闭包）的方法。

5、理解等价关系和偏序关系的概念，掌握等价类的求法和偏序关系做哈斯图的方法，极大/小元、最大/小元、上/下界、最小上界、最大下界的求法。

6、理解函数概念：

函数、函数相等、复合函数和反函数。

7、理解单射、满射、双射等概念，掌握其判别方法。

[本章重点习题]

P25，1；P32~33，4，8，10；P43，2，3，5；P51~52，5，6；P59，1，2；P64，3；P74~75，2，4，6，7；P81，5，7；P86，1，2。

[疑难解析]

1、关系的概念

　　关系的概念是第二章全章的基础，又是第一章集合概念的应用。

因此，学生应该真正理解并熟练掌握二元关系的概念及关系矩阵、关系图表示。

2、关系的性质及其判定

　　关系的性质既是对关系概念的加深理解与掌握，又是关系的闭包、等价关系、半序关系的基础。

对于四种性质的判定，可以依据教材中P49上总结的规律。

这其中对传递性的判定，难度稍大一点，这里要提及两点：

一是不破坏传递性定义，可认为具有传递性。

如空关系具有传递性，同时空关系具有对称性与反对称性，但是不具有自反性。

另一点是介绍一种判定传递性的“跟踪法”，即若

，则

。

如若

，则有

，且

。

３、关系的闭包

在理解掌握关系闭包概念的基础上，主要掌握闭包的求法。

关键是熟记三个定理的结论：

定理2，

；定理3，

；定理4，推论

。

４、半序关系及半序集中特殊元素的确定

理解与掌握半序关系与半序集概念的关键是哈斯图。

哈斯图画法掌握了，对于确定任一子集的最大（小）元，极大（小）元也就容易了。

这里要注意，最大（小）元与极大（小）元只能在子集内确定，而上界与下界可在子集之外的全集中确定，最小上界为所有上界中最小者，最小上界再小也不小于子集中的任一元素，可以与某一元素相等，最大下界也同样。

５、映射的概念与映射种类的判定

映射的种类主要指单射、满射、双射与非单非满射。

判定的方法除定义外，可借助于关系图，而实数集的子集上的映射也可以利用直角坐标系表示进行，尤其是对各种初等函数。

[例题分析]

例1设集合

，判定下列关系，哪些是自反的，对称的，反对称的和传递的：

解：

均不是自反的；R4是对称的；R1,R2,R3,R4,R5是反对称的；R1,R2,R3,R4,R5是传递的。

例2设集合

，A上的二元关系R为

（１）写出R的关系矩阵，画出R的关系图；

（２）证明R是A上的半序关系，画出其哈斯图；

（３）若

，且

，求B的最大元，最小元，极大元，极小元，最小上界和最大下界。

解

（1）R的关系矩阵为

R的关系图略

（2）因为R是自反的，反对称的和传递的，所以R是A上的半序关系。

（A,R）为半序集，（A,R）的哈斯图如下

。

4

。

1

。

3

。

2

。

5

（3）当

，B的极大元为2，4；极小元为2，5；B无最大元与最小元；B也无上界与下界，更无最小上界与最大下界。

第三章　命题逻辑

[复习知识点]

１、命题与联结词（否定、析取、合取、蕴涵、等价），复合命题

２、命题公式与解释，真值表，公式分类（恒真、恒假、可满足），公式的等价

３、析取范式、合取范式，极小（大）项，主析取范式、主合取范式

４、公式类别的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法）

５、公式的蕴涵与逻辑结果

６、形式演绎

本章重点内容：

命题与联结词、公式与解释、析取范式与合取范式、公式恒真性的判定、形式演绎

[复习要求]

１、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。

２、理解公式与解释的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等价式化简其他公式，公式在解释下的真值。

３、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等价式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。

４、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价的方法。

５、理解公式蕴涵与逻辑结果的概念，掌握基本蕴涵式。

6、掌握形式演绎的证明方法。

[本章重点习题]

P93，1；P98，2，3；P104，2，3；P107，1，3；P112，5；P115，1，2，3。

[疑难解析]

1、公式恒真性的判定

判定公式的恒真性，包括判定公式是恒真的或是恒假的。

具体方法有两种，一是真值表法，对于任给一个公式，主要列出该公式的真值表，观察真值表的最后一列是否全为1（或全为0），就可以判定该公式是否恒真（或恒假），若不全为0，则为可满足的。

二是推导法，即利用基本等价式推导出结果为1，或者利用恒真（恒假）判定定理：

公式G是恒真的（恒假的）当且仅当等价于它的合取范式（析取范式）中，每个子句（短语）均至少包含一个原子及其否定。

这里要求的析取范式中所含有的每个短语不是极小项，一定要与求主析取范式相区别，对于合取范式也同样。

2、范式

求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。

关键有两点：

一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等价式中的分配律、同一律和互补律，结果的前一步适当使用等幂律，使相同的短语（或子句）只保留一个。

另外，由已经得到的主析取（合取）范式，根据

原理，参阅《离散数学学习指导书》P71例15，可以求得主合取（析取）范式。

3、形式演绎法

掌握形式演绎进行逻辑推理时，一是要理解并掌握14个基本蕴涵式，二是会使用三个规则：

规则P、规则Q和规则D，需要进行一定的练习。

[例题分析]

例1求

的主析取范式与主合取范式。

解

（1）求主析取范式，

方法1：

利用真值表求解

G

000

001

010

011

100

101

110

111

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

因此

方法2：

推导法

（2）求主合取范式

方法1：

利用上面的真值表

为0的有两行，它们对应的极大项分别为

因此，

方法2：

利用已求出的主析取范式求主合取范式

已用去6个极小项，尚有2个极小项，即

与

于是

例2试证明公式

为恒真公式。

证法一：

见〈离散数学学习指导书〉P60例6（4）的解答。

（真值表法）

证法二：

G=⌝（（⌝P∨Q）∧（⌝Q∨R））∨（⌝P∨R）

=（P∧⌝Q）∨（Q∧⌝R）∨⌝P∨R

=（（（P∨Q）∧（P∨⌝R）∧（⌝Q∨Q）∧（⌝Q∨⌝R））∨⌝P）∨R

=（（P∨Q∨⌝P）∧（P∨⌝R∨⌝P）∧（⌝Q∨⌝R∨⌝P））∨R

=（1∧（⌝Q∨⌝R∨⌝P））∨R

=⌝Q∨⌝R∨⌝P∨R

=1

故G为恒真公式。

例3利用形式演绎法证明{P→（Q→R），⌝S∨P，Q}蕴涵S→R。

证明：

（1）⌝S∨P规则P

（2）S规则D

（3）P规则Q，根据

（1），

（2）

（4）P→（Q→R）规则P

（5）Q→R规则Q，根据（3），（4）

（6）Q规则P

（7）R规则Q，根据（5），（6）

（8）S→R规则D，根据

（2），（7）

第四章谓词逻辑

[复习知识点]

1、谓词、量词、个体词、个体域、变元（约束变元与自由变元）

2、谓词公式与解释，谓词公式的类型（恒真、恒假、可满足）

3、谓词公式的等价和蕴涵

4、前束范式

本章重点内容：

谓词与量词、公式与解释、前束范式

[复习要求]

1、理解谓词、量词、个体词、个体域、变元的概念；理解用谓词、量词、逻辑联结词描述一个简单命题；了解命题符号化。

2、理解公式与解释的概念；掌握在有限个体域下消去公式量词，求公式在给定解释下真值的方法；了解谓词公式的类型。

3、理解用解释的方法证明等价式和蕴涵式。

4、掌握求公式前束范式的方法。

[本章重点习题]

P120，1，2；P125~126，1，3；P137，1。

[疑难解析]

1、谓词与量词

反复理解谓词与量词引入的意义，概念的含义及在谓词与量词作用下变量的自由性、约束性与改名规则。

2、公式与解释

能将一阶逻辑公式表达式中的量词消除，写成与之等价的公式，然后将解释I中的数值代入公式，求出真值。

3、前束范式

在充分理解掌握前束范式概念的基础上，利用改名规则、基本等价式与蕴涵式（一阶逻辑中），将给定公式中量词提到母式之前称为首标。

[典型例题]

例1设I是如下一个解释：

F

（2）F（3）P

（2）P（3）Q（2,2）Q（2,3）Q（3,2）Q（3,3）

32011101

求

的真值。

解

例2试将一阶逻辑公式化成前束范式。

解

第五章图论

[复习知识点]

1、图、完全图、子图、母图、支撑子图、图的同构

2、关联矩阵、相邻矩阵

3、权图、路、最短路径，迪克斯特拉算法（Dijkstra）

4、树、支撑树、二叉树

5、权图中的最小树，克鲁斯卡尔算法（Kruskal）

6、有向图、有向树

本章重点内容：

权图的最短路、二叉树的遍历、权图中的最优支撑树

[复习要求]

1、理解图的有关概念：

图、完全图、子图、母图、支撑子图、图的同构。

2、掌握图的矩阵表示（关联矩阵、相邻矩阵）。

3、理解权图、路的概念，掌握用Dijkstra算法求权图中最短路的方法。

4、理解树、二叉树与支撑树的有关概念；掌握二叉树的三种遍历方法，用Kruskal算法求权图中最小树的方法。

5、理解有向图与有向树的概念。

[本章重点习题]

P221，2；P225，1；P231，2，3；P239，5；P242，1，2。

[疑难解析]

1.本章的概念较多，学习时需要认真比较各概念的含义，如：

图、子图、有向图、权图；树、支撑树、二叉树、有向树；路、简单路、回路等，这些都是图的基本概念，今后将在数据结构、数据库、计算机网络等课程中用到。

2、权图中的最短路

严格执行迪克斯特拉（Dijkstra）算法步骤，从起点起，到每一点求出最短路，然后进行仔细比较，最后到达终点，算出最小权和。

3、权图中的最优支撑树

权图中的最优支撑树是图中所带权和最小的支撑树，使用克鲁斯卡尔（Kruskal）算法。

[典型例题]

例1在具有n个顶点的完全图Kn中删去多少条边才能得到树？

解：

n个顶点的完全图Kn中共有n⨯（n-1）/2条边，

n个顶点的树应有n-1条边，

于是，删去的边有：

n⨯（n-1）/2-（n-1）=（n-1）⨯（n-2）/2

例2求下面有限图中点u到各点间的最短路。

（图上数字见教材P231，第3题。

）

解u→u1，d（u,u1）=1,路（u,u1）

u→u2,d（u,u2）=9,路（u,u4,u3,u7,u2）

u→u3,d（u,u3）=5,路（u,u4,u3,）

u→u4,d（u,u4）=3,路（u,u4）

u→u5,d（u,u5）=11,路（u,u1,u5）或路（u,u4,u3,u7,u2,u5）

u→u6,d（u,u6）=13,路（u,u1,u5,u6）

u→u7,d（u,u7）=8,路（u,u4,u3,u7）

u→u8,d（u,u8）=11,路（u,u4,u8）

u→v,d（u,v）=15,路（u,u1,u5,u6,v）或路（u,u4,u3,u7,u6,v）

二、考核说明

本课程的考核实行形成性考核和终结性考核的形式。

形成性考核占总成绩的20%，以课程作业的形式进行（共三次，由中央电大统一布置）；终结性考核即期末考试，占总成绩的80%。

总成绩为100分，60分及格。

期末考试实行全国统一闭卷考核，试卷满分为100。

由中央电大统一命题，统一评分标准，统一考试时间（考试时间为120分钟）。

1、试题类型

试题类型有填空题（分数约占20%）、单项选择题（分数约占14%）、计算题（分数约占50%）和证明题（分数约占16%）。

填空题和单项选择题主要涉及基本概念、基本理论，重要性质和结论、公式及其简单计算。

计算题主要考核学生的基本运算技能，要求书写计算、推论过程或理由。

证明题主要考查应用概念、性质、定理及主要结论进行逻辑推理的能力，要求写出推理过程。

2、考核试卷题量分配

试卷题量在各部分的分配是：

集合论约占40%，数理逻辑约占40%，图论约占20%。

具体课程考核情况见课程考核说明。

附录：

试题类型及规范解答举例

[填空题]

1.设R是集合A上的二元关系，如果关系R同时具有性、对称性和性，则称R是等价关系。

2.命题公式G=（P∧Q）→R，则G共有个不同的解释；把G在其所有解释下所取真值列成一个表，称为G的；解释（⌝P，Q，⌝R）或（0，1，0）使G的真值为。

3.设G=（P，L）是图，如果G是连通的，并且，则G是树。

如果根树T的每个点v最多有两棵子树，则称T为。

[单项选择题]（选择一个正确答案的代号，填入括号中）

1.由集合运算定义，下列各式正确的有（）。

A．X⊆X⋃YB.X⊇X⋃YC.X⊆X⋂YD.Y⊆X⋂Y

2.设R1，R2是集合A={a，b，c，d}上的两个关系，其中R1={（a，a），（b，b），（b，c），（d，d）}，R2={（a，a），（b，b），（b，c），（c，b），（d，d）}，则R2是R1的（）闭包。

A．自反B．对称C．传递D．以上都不是

3.设G是由5个顶点组成的完全图，则从G中删去（）条边可以得到树。

A．4B．5C．6D．10

[计算题]

1.化简下式：

（A-B-C）⋃（（A-B）⋂C）⋃（A⋂B-C）⋃（A⋂B⋂C）

2.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等值。

（1）（P∧Q）∨（⌝P∧Q∧R）；

（2）（P∨（Q∧R））∧（Q∨（⌝P∧R））；

3.求图中A到其余各顶点的最短路径，并写出它们的权。

B7C

12

A253D

46

E1F

[证明题]

1.利用基本等价式证明下面命题公式为恒真公式。

（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）

2.用形式演绎法证明：

{P→Q，R→S，P∨R}蕴涵Q∨S。

试题答案及评分标准

[填空题]

1、自反；传递

2、8；真值表；1

3、无回路；二叉树

[单项选择题]（选择一个正确答案的代号，填入括号中）

1、A2、B3、C

[计算题]

1.解：

（A-B-C）⋃（（A-B）⋂C）⋃（A⋂B-C）⋃（A⋂B⋂C）

=（A⋂~B⋂~C）⋃（A⋂~B⋂C）⋃（A⋂B⋂~C）⋃（A⋂B⋂C）

=（（A⋂~B）⋂（~C⋃C））⋃（（A⋂B）⋂（~C⋃C））

=（（A⋂~B）⋂E）⋃（（A⋂B）⋂E）E为全集

=（A⋂~B）⋃（A⋂B）

=A⋂（~B⋃B）

=A⋂E

=A

2.解：

（P∧Q）∨（⌝P∧Q∧R）

⇔（P∧Q∧（⌝R∨R））∨（⌝P∧Q∧R）

⇔（P∧Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）

⇔m6∨m7∨m3

⇔m3∨m6∨m7

（P∨（Q∧R））∧（Q∨（⌝P∧R））

⇔（P∧Q）∨（Q∧R）∨（P∧⌝P∧R）∨（⌝P∧Q∧R）（分配律）

⇔（P∧Q∧（⌝R∨R））∨（（⌝P∨P）∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）

⇔（P∧Q∧⌝R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（⌝P∧Q∧R）

⇔m6∨m7∨m3∨m7∨m3

⇔m3∨m6∨m7

由此可见（P∧Q）∨（⌝P∧Q∧R）⇔（P∨（Q∧R））∧（Q∨（⌝P∧R））

3.解：

A到B的最短路径为AB，权为1；

A到E的最短路径为ABE，权为3；

A到F的最短路径为ABEF，权为4；

A到C的最短路径为ABEFC，权为7；

A到D的最短路径为ABEFCD，权为9。

[证明题]

1.证明：

（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）

⇔（（⌝P∨Q）∧（⌝Q∨R））→（⌝P∨R）

⇔⌝（（⌝P∨Q）∧（⌝Q∨R））∨（⌝P∨R）

⇔（P∧⌝Q）∨（Q∧⌝R）∨⌝P∨R

⇔（（P∧⌝Q）∨⌝P）∨（（Q∧⌝R）∨R）

⇔（1∧（⌝Q∨⌝P））∨（（Q∨R）∧1）

⇔⌝Q∨⌝P∨Q∨R

⇔（⌝Q∨Q）∨⌝P∨R

⇔1∨⌝P∨R

⇔1

2.证明：

（1）P∨R规则P

（2）⌝R→P规则Q，根据

（1）

（3）P→Q规则P

（4）⌝R→Q规则Q，根据

（2）（3）

（5）⌝Q→R规则Q，根据（4）

（6）R→S规则P

（7）⌝Q→S规则Q，根据（5）（6）

（8）Q∨S规则Q，根据（7）

三、综合练习及解答

（一）填空题

1、集合的表示方法有两种：

法和法。

请把“大于3而小于或等于7的整数集合”用任一种集合的表示方法表示出来A={}。

2、A，B是两个集合，A={1，2，3，4}，B={2，3，5}，则B-A=，ρ（B）-ρ（A）=，ρ（B）的元素个数为。

3、设

，则从A到B的所有映射是

。

4、设命题公式

，则使公式G为假的解释是、

和。

5、设G是完全二叉树，G有15个点，其中8个叶结点，则G的总度数为

，分枝点数为。

6、全集E={1，2，3，4，5}，A={1，5}，B={1，2，3，4}，C={2，5}，求A⋂~B=

，ρ（A）⋂ρ（C）=，

~C=。

7、设A和B是任意两个集合，若序偶的第一个元素是A的一个元素，第二个元素是B的一个元素，则所有这样的序偶集合称为集合A和B的，

记作A⨯B，即A⨯B=。

A⨯B的子集R称为A，B上的。

8、将几个命题联结起来，形成一个复合命题的逻辑联结词主要有否定、、

、和等值。

9、表达式∀x∃yL（x，y）中谓词的定义域是{a，b，c}，将其中的量词消除，写成与之等价的命题公式为

。

10、一个无向图表示为G=（P，L），其中P是的集合，L是

的集合，并且要求

。

（二）单项选择题（选择一个正确答案的代号，填入括号中）

1.设命题公式

，则G是（）。

A.恒真的B.恒假的C.可满足的D.析取范式

2、设集合

，A上的关系

，则

=（）。

3、一个公式在等价意义下，下面哪个写法是唯一的（）。

A．析取范式B．合取范式C．主析取范式D．以上答案都不对

4、设命题公式G=⌝（P→Q），H=P→（Q→⌝P），则G与H的关系是（）。

A．G⇒HB．H⇒GC．G=HD．以上都不是

5、已知图G的相邻矩阵为

，则G有（）。

A.5点，8边B.6点，7边C.5点，7边D.6点，8边

6、下列命题正确的是（）。

A．φ⋂{φ}=φB．φ⋃{φ}=φC．{a}∈{a，b，c}D．φ∈{a，b，c}

7、设集合A={a，b，c}，A上的关系R={（a，b），（a，c），（b，a），（b，c），（c，a），（c，b），（c，c）}，则R具有关系的（）性质。

A．自反B．对称C．传递D．反对称

8、设R为实数集，映射σ=R→R，σ（x）=-x2+2x-1，则σ是（）。

A．单射而非满射B．满射而非单射C．双射D．既不是单射，也不是满射

9、下列语句中，（）是命题。

A．下午有会吗？

B．这朵花多好看呀！

C．2是常数。

D．请把门关上。

10、下面给出的一阶逻辑等价式中，（）是错的。

A．∀x（A（x）∨B（x））=∀xA（x）∨∀xB（x）

B．A→∀xB（x）=∀x（A→B（x））

C．∃x（A（x）∨B（x））=∃xA（x）∨∃xB（x）

D．⌝∀xA（x）=∃x（⌝A（x））

（三）计算题

1、设R和S是集合

上的关系，其中

，试求：

（1）写出R和S的关系矩阵；

（2）计算

。

2、设A={a，b，c，d}，R1，R2是A上的关系，其中R1={（a，a），（a，b），（b，a），（b，b），（c，c），（c，d），（d，c），（d，d）}，R2={（a，b），（b，a），（a，c），（c，a），（b，c），（c，b），（a，a），（b，b），（c，c）}。

（1）画出R1和R2的关系图；

（2）判断它们是否为等价关系，是等价关系的求A中各元素的等价类。

3、用真值表判断下列公式是恒真？

恒假？

可满足？

（1）（P∧⌝P）↔Q

（2）⌝（P→Q）∧Q

（3）（（P→Q）∧（Q→R））→（P→R）

4、设解释I为：

（1）定义域D={-2，3，6}；

（2）F（x）：

x≤3；

G（x）：

x>5。

在解释I下求公式∃x（F（x）∨G（x））的真值。

5、求下图所示权图中从u到v的最短路，画出最短路并计算它们的权值。

V17V3

12

U253V

46

V21V4

6、化简下式：

（（A⋃B⋃C）⋂（A⋃B））-（（A⋃（B-C））⋂A）

7、已知A={1，2，3，4，5}，B={1，2，3}，R是A到B的二元关系，并且R={（x，y）|x∈A且y∈B且2≤x+y