常微分方程课程教学大纲.docx
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常微分方程课程教学大纲
常微分方程课程教学大纲
一、课程说明
1、课程性质
本课程及大纲适用于数学与应用数学、数学教育专业、信息与计算科学等专业，为4学分，总学时为68学时，包括讲课及习题课。
常微分方程是数学各专业必修的基础课之一，它是数学分析，高等代数和解析几何的应用和发展。
微分方程是数学理论联系实际的重要渠道之一，也是其它数学分支的一个综合应用场所，我们所研究的方程多数是由其它学科（如物理、气象、生态学、经济学）推导而来，通过本课程的学习不仅使学生了解到微分方程和其它数学分支的联系及其在其它自然科学学科中的应用，使学生进一步了解到数学的重要性和广泛的应用背景，提高应用能力，而且为后继的数学和应用数学各课程准备解决问题的方法和工具，更是通向物理，力学，经济等学科和工程技术的桥梁。
通过对微分方程发展史的回顾，让学生从一个侧面了解人类对自然界的认识过程和科学研究的探索过程，逐步培养学生的活学活用能力和创造发展的能力。
通过本课程的学习，使学生熟练掌握各类方程的判别与求解，掌握基本理论的基本思想和证明方法，了解定性和稳定性的初步理论和方法。
并简要介绍一些其它学科需要我们解决而目前我们尚不能解决的问题，为其它后续课程留下引子，并通过一些例子让学生知道目前这个学科的最新研究动态。
2、教学目的要求
目的是要学习和逐步掌握常微分方程的基本理论和方法，学习建立和解决确定性数
学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去。
本课程要求学生能熟练掌握各类微分方程的基本解法，理解和掌握常微分方程的基本理论：
存在唯一性定理和线性常微分方程的基本理论。
了解常微分方程稳定性理论和定性理论初步。
3、先行或后继课程
先行课程：
数学分析、高等代数、解析几何，普通物理等。
后继课程：
数理方程、微分几何、泛函分析等。
微分方程的发展也离不开实变函数论、复变函数论、拓扑学与代数几何的支援。
4、教学时数分配表
章节目录
课时分配
第一章
绪论
第T微分方程某些物理过程的数学模型
2
4
第二节基本概念
2
第一早
一阶微分方程的初等解法
第T变量分肉方程与变量变换
4
16
第二节线性方程与常数变易法
4
第土节恰当方程与积分因子
2
第四节一阶隐方程与参数表示
2
习题课
4
第三章一阶微分方程的解的存在定理
第一节解的存在唯一性定理与逐步逼近法
4
10
第二节解的延拓
2
第三节解对初值的连续性和可微性定理
2
第四节奇解
2
第四章
高阶微分方程
第T线性微分方程的一般理论
4
12
第二节常系数线性方程的解法
4
第三节高阶方程的降价和幕级数解法2
习题课
2
第五章
线性微分方
程组
第一节存在唯一性定理
2
14
第二节线性微分方程组的一般理论
4
第三节常系数线性微分方程组
4
习题课
4
第八章
非线性微分方程和稳定性
第一节引言
2
10
第二节相平面
2
第三节按线性近似决定微分方程组的稳定性
2
第四节李雅普诺夫第二方法
2
第五节周期解和极限圈
2
习题课
2
总课时数
68
5、使用教材
王高雄等编《常微分方程》（第二版式），高等教育出版社，1982。
6、教学方法与手段
本课程以黑板讲授、学生自学、精讲精练相结合的教学方法为主，适当安排习题课与讨论课（主要是对存在唯一性定理以及定性与稳定性理论简介部分）。
适当组织1—2
个大型的有应用背景的微分方程模型，从建模、求解、到解释，让学生在教师指导下，自己动手，通过讨论，经历全过程，得到一定训练。
个别章节辅之以多媒体教学手段或数学实验手段。
在教学过程中，应当积极开展对教学内容与课程体系、教学方法与教学手段的改革，认真总结经验，并将教学改革的成果逐步吸收到教学中来，不断提高教学质量。
要不断更新教学内容，逐步实现教学内容的现代化；要加强不同数学分支间的相互结合和相互渗透，进行课程和内容的重组；要突出数学思想方法的教学，加强数学应用能力的培养，注重运算技巧的训练；要尊重个性，发挥特长，探索现阶段因材施教的新方法、新模式；要不断探索以学生为主体有利于调动学生自主学习积极性的启发式、讨论式、研究式的教学方法；要积极采用现代教育技术手段，使传统的教学手段与现代教学手段相互结合，取长补短。
应努力创造条件，尽快开设或引入与理论教学相配套的数学实验课，使学生学会使用常用的数学软件，逐步培养和提高学生用数学软件解决问题的意识和能力。
7、考核方式
本课程为专业必修课，采取闭卷方式进行考试。
8、主要参考书目
常微分方程，东北师大数学系编，高教出版社
常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。
常微分方程讲义，叶彦谦编，人教出版社。
微分方程，Ji.a.艾利斯哥尔兹著，人教出版社。
常微分方程稳定性理论，许松庆编，上海科技出版社。
常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
常微分方程，林武忠等编，科学出版社；
差分方程和常微分方程，阮炯编，复旦大学出版社；常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社；
常微分方程习题集，周尚仁，权宏顺编，人民教育出版社。
二、课程内容
第一章绪论（4课时）
第一节微分方程：
某些物理过程的数学模型（2课时）
1、教学目的和要求
了解微分方程的背景即某些物理过程的数学模型，如冷却过程、质点运动（自由落体，数学摆）、R-L-C回路等。
2、教学要点与知识点
教学要点：
某些物理过程的数学模型的思想和例子；
知识点：
把实际问题抽象为常微分方程。
3、教学重点与难点
建立微分方程模型的思想、方法和例子。
第二节基本概念（2课时）
1、教学目的和要求
理解常微分方程、偏微分方程、常微分方程的阶、线性、非线性、解、隐式解、通解、特解、定解问题、积分曲线、方向场、等斜线等基本概念。
2、教学要点与知识点
教学要点：
微分方程基本概念。
知识点：
常微分方程的解；线性、非线性概念。
3、教学重点与难点
微分方程的基本概念。
第二章一阶微分方程的初等解法（12+4课时）
第一节变量分离方程与变量变换（4课时）
1、教学目的和要求：
熟练掌握变量可分离方程、齐次方程、可化为齐次方程的一阶微分方程的解法（包括通解和满足初始条件的特解），对一些简单的实际问题会建立相应的微分方程。
2、教学要点与知识点：
教学要点：
变量分离方程的基本解法与运用变量变换法求解齐次方程。
知识点：
变量分离方程；齐次方程。
伯努利方程；恰当方程与积分因子；一阶隐方程的解法与解的参数表示法
3、教学重点与难点
重点：
变量分离方程、两类可化为变量分离方程的方程的求解。
难点：
利用变量替换思想将某些方程转化为已知类型求解。
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
要求能熟练掌握变量分离方程的求解方法。
注意强调求解过程中可能遗漏的特解，并让学生初步体会到某些方程的初值解未必唯一存在。
第二节线性方程与常数变易法（4+2课时）
1、教学目的和要求：
掌握一阶齐线性微分方程的基本解法及基本公式；掌握运用常数变易法求解一阶非齐线性微分方程；掌握运用变量变换法化伯努利方程为一阶线性微分方程；记住一阶非齐线性方程的通解表达式.
2、教学要点与知识点：
教学要点：
一阶齐线性微分方程；一阶非齐线性微分方程与常数变易法、伯努利方程的解法。
知识点：
一阶非齐线性微分方程与常数变易法；
3、教学重点与难点
重点：
掌握一阶齐线性微分方程；一阶非齐线性微分方程的求解方法与常数变易
法。
难点：
方程类型的判断
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
要求能熟练运用常数变易法求解一阶非齐线性微分方程；对一些简单的实际问题会
建立相应的微分方程。
第三节恰当方程与积分因子（2+2课时）
1、教学目的和要求：
掌握恰当方程的判别法与非恰当方程的积分因子的求法；会用变量代换法、交换x与y的位置、微分与微商转换和寻找积分因子等方法求解非典型的一阶微分方程。
掌握一阶隐方程的解法和其参数表示。
会求解几种可降阶的高阶方程。
了解黎卡蒂方程。
2、教学要点与知识点：
教学要点：
恰当方程的判别法与非恰当方程的积分因子的求法；
知识点：
恰当方程的求解方法；积分因子的求法。
3、教学重点与难点
重点：
恰当方程的判别法与非恰当方程的积分因子的求法。
难点：
判断方程类型采用正确解法求解；恰当方程判定条件的证明；积分因子的寻
求。
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
要求能熟练判断方程类型采用正确解法求解。
第四节一阶隐方程与参数表示（2课时）
1、教学目的和要求：
掌握一阶隐方程的解法和其参数表示；会求解几种可降阶的高阶方程；了解黎卡蒂方程。
2、教学要点与知识点：
教学要点：
掌握一阶隐方程的解法和其参数表示；
知识点：
一阶隐方程的解法。
3、教学重点与难点
重点：
一阶隐方程的解法和其参数表示
难点：
不显含x或y的一阶隐方程的求解，参数表示法中参数变换的适当选择
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
要求能熟练掌握一阶隐方程的解法和其参数表示
第三章一阶微分方程的解的存在定理（10课时）
第一节解的存在与唯一性定理与逐步逼近法（4课时）
1、教学目的和要求：
⑴掌握解的存在唯一性定理，该定理是微分方程中的基本定理，同时也是微分方程近似计算的前提和根据.
⑵理解近似计算和误差估计.
[3]熟练掌握运用逐步逼近法这一重要的分析方法，运用该定理证明解的存在唯一性定理.
2、教学要点与知识点：
教学要点：
掌握存在唯一性定理及证明方法一逐次逼近法；
知识点：
存在唯一性定理及逐次逼近法。
3、教学重点与难点
重点：
存在唯一性定理；会求方程的近似解和误差估计。
难点：
存在唯一性定理的证明方法一逐次逼近法
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
熟记初值问题的存在唯一性条件。
第二节解的延拓（2课时）
1、教学目的和要求：
理解解的延拓定理，此定理揭示了微分方程解的重要性质.
2、教学要点与知识点：
教学要点：
有界及无界区域中解的延拓定理；
知识点：
解的延拓。
3、教学重点与难点
重点：
解的延拓定理，结合解的存在唯一性和延拓定理会初步应用于讨论某些方程解的最大存在区间。
难点：
解的延拓定理结论的准确含义。
第三节解对初值的连续性和可微性定理（2课时）
1、教学目的和要求：
理解解对初值的连续性和可微性定理.
2、教学要点与知识点：
教学要点：
解对初值的连续性和可微性定理；
知识点：
解对初值的可微性定理。
3、教学重点与难点
解对初值的连续性和可微性定理
第四节奇解（2课时）
1、教学目的和要求：
理解奇解的概念并会求方程的奇解及克莱罗方程.
2、教学要点与知识点：
教学要点：
奇解的概念；求奇解的方程及克莱罗方程的求法；
知识点：
奇解；克莱罗方程。
3、教学重点与难点
求奇解的方程及克莱罗方程的求法
第四章高阶微分方程（12课时）
第一节线性微分方程白^一般理论（4课时）
1、教学目的和要求：
（1）了解n阶线性方程的解的存在唯一性定理的条件、结论；
（2）掌握齐线性方程的解的性质和结构
叠加原理，纯量函数线性相关/线性无关的概念，利用纯量函数组的Wronsky行列式判定齐线性方程的解的线性关系，n阶齐线性方程通解结构定理，基本解组的概念。
（3）掌握n阶非齐线性方程的解的性质和通解结构，以二阶非齐线性方程为主要
对象介绍n阶非齐线性方程的常数变易法。
2、教学要点与知识点：
教学要点：
掌握齐（非齐）线性方程的解的性质和通解结构，二阶非齐线性方程
的常数变易法。
知识点：
基本解组；通解结构。
3、教学重点与难点
重点：
齐线性方程解的线性关系的判定，齐（非齐）线性方程的通解结构，二阶非齐线性方程的常数变易法。
难点：
函数的线性相关、无关与Wronsky行列式的关系。
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
熟记齐（非齐）线性微分方程解的性质与结构；伏朗斯基行列式与齐线性微分方程
的基本解组；非齐线性微分方程与常数变易法
第二节常系数线性方程的解法（4+2课时）
1、教学目的和要求：
[1]理解复值函数与复值解的概念和性质；并能运用复数法求解非齐线性微分方程的特解.
[2]熟练掌握常系数齐线性微分方程的基本解组的特征根法（或欧拉待定指数函数
法）
[3]掌握常系数非齐线性微分方程的特解的待定系数法及运用常数变易法求出一般非齐线性微分方程的特解.
[4]熟练掌握常系数线性微分方程与欧拉方程
2、教学要点与知识点：
教学要点：
掌握常系数齐（非齐）线性方程的解法。
知识点：
常系数齐（非齐）线性方程的求解。
3、教学重点与难点
重点：
待定指数函数法求解常系数齐线性方程，比较系数法求解带特殊自由项的常系数非齐线性方程。
难点：
各解法的推理过程。
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
能熟练求常系数齐（非齐）线性微分方程的解
第三节高阶方程的降阶和幕级数解法（2课时）
1、教学目的和要求：
熟练掌握高阶方程中的可降阶的一些方程类型的解法；理解一般二阶齐线性方程的特解的幕级数解法；理解n阶贝塞耳方程概念及其解法.
2、教学要点与知识点：
教学要点：
降阶法求高阶方程的解；
知识点：
降阶法
3、教学重点与难点
重点：
高阶方程中的可降阶的一些方程类型的解法
难点：
各解法的区别
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
高阶方程的降阶；二阶线性方程的幕级数解法
第五章线性微分方程组（16课时）
第一节存在唯一性定理（4课时）
1.教学目的和要求
了解线性微分方程组的有关概念，解的存在唯一性定理及证明。
理解线性微分方程组解的结构，通解基本定理，掌握常数变易法和刘维尔公式。
熟练掌握常系数线性微分方程组的解法（单特征根情形）。
1、教学目的和要求：
了解线性微分方程组的有关概念，解的存在唯一性定理及证明。
2、教学要点与知识点：
教学要点：
矩阵表示下线性微分方程组的解、初值问题的定义，n阶线性微分方程与某类一阶n维线性微分方程组的等价转化。
知识点：
n阶线性微分方程与某类一阶n维线性微分方程组的等价转化。
3、教学重点与难点
重点：
线性微分方程组的相关概念在矩阵范畴下的表达方式；n阶线性微分方程与
某类一阶n维线性微分方程组的等价转化。
难点：
n阶线性微分方程与某类一阶n维线性微分方程组的等价转化。
第二节线性微分方程组的一般理论（4+2课时）
1、教学目的和要求：
[1]会利用向量函数组的Wronsky行列式判定齐线性方程的解的线性关系；
[2]掌握齐线性方程组的通解结构，基本解组的概念，齐线性方程组的解结构理论在n阶齐线性方程中的推论，解结构理论的矩阵表述（包括：
解矩阵、基解矩阵的概念及基解矩阵的关系）；
[3]掌握非齐线性方程组的通解结构，非齐线性方程组的常数变易法及其在n阶非齐线性方程中的推论。
2、教学要点与知识点：
教学要点：
解矩阵、基解矩阵的概念及基解矩阵的关系
知识点：
基解矩阵
3、教学重点与难点
重点：
齐线性方程组的解向量线性关系的判定，齐（非齐）线性方程的通解结构。
难点：
向量函数的线性相关、无关其与Wronsky行列式的关系。
线性方程组的通解结构理论与n阶线性方程相关结论的关系。
第三节常系数线性微分方程组（4+2课时）
1、教学目的和要求：
[1]了解待定指数向量函数法求解方程组的非零解的思想，常系数齐线性方程的特征方程、特征根的概念与计算。
[2]熟练掌握基解矩阵、expAt、实值基解矩阵的计算
[3]掌握常系数线性微分方程组的基本解法；掌握运用常数变易法求解非齐线性微分方程组，记住常数变易公式
[4]理解拉普拉斯变换的一些应用，它往往能简化常系数线性微分方程组的初值问题的求解.
[5]掌握高阶线性方程与线性微分方程组的关系，懂得将线性微分方程组的有关结果推论到高阶线性方程上去.
2、教学要点与知识点：
教学要点：
基解矩阵、expAt的计算；常系数线性微分方程组的基本解法
知识点：
常系数线性微分方程组的基本解法
3、教学重点与难点
重点：
求解常系数齐线性方程组的实基解矩阵。
难点：
矩阵A任意时的基解矩阵求法及计算原理。
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
熟练掌握求解常系数齐线性方程组的实基解矩阵方法；常数变易法和刘维尔公式。
第六章非线性微分方程和稳定性（10课时）
1、教学内容
第一节引言（2课时）
第二节相平面（2课时）
第三节按线性近似决定微分方程组的稳定性（2课时）
第四节李雅普诺夫第二方法；（2课时）
第五节周期解和极限环（2课时）
2、教学目的和要求：
⑴理解相平面、相空间、（渐近）稳定域（或吸引域）、（不）稳定、渐近稳定、全局稳定等概念；掌握按线性近似决定非线性微分方程组的稳定性.
⑵了解奇点的定义、各种类型的奇点及其相应的稳定性态，理解鞍点、结点的概念及其分类（（不）稳定（退化）结点）.
⑶掌握李雅普诺夫第二方法，包括V函数的定号性概念及用V函数判别稳定性的基本定理；理解周期解、极限圈及其稳定、半稳定、不稳定的定义，掌握相平面极限圈的存在性判断方法.
⑷理解二次型V函数的构造与控制系统的（全局）绝对稳定性.
3、教学要点与知识点：
教学要点：
相平面；按线性近似决定微分方程组的稳定性；李雅普诺夫第二方法;周期解和极限环；二次型V函数的构造与控制系统的绝对稳定性
知识点：
按线性近似决定微分方程组的稳定性；
3、教学重点与难点
重点：
平面自治系统的奇点分析。
难点：
稳定性有关定理的证明。
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
了解环域定理，知道平面定性理论的研究目的；知道简单的李雅普诺夫函数的构造方法。
升级会员 