第五节 线性规划建模举例.docx

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第五节线性规划建模举例

第五节线性规划建模举例

线性规划是运筹学中应用最广泛和最有效的一个分支，在用线性规划方法

解决实际问题时，建模是十分重要和很关键的一步，它是在把实际问题条理化

和抽象化的基础上进行的，是一种创造性的思维过程，兴有当建立的模型能正

确反映实际问题的条件和决策者的要求时，才能进一步得出有意义的解答，为

决策者作出正确决策提供帮助。

线性规划问题建模可按以下步骤进行：

1．分析实际问题，弄清需要确定的未知量，在此基础上假定自变量（决策

变量）。

这些自变量应彼此独立，意义明确，且可借助它们将实际问题正确、方

便地表达出来。

2．确定有关参数的数据，包括价值系数 c 、约束条件右侧常数 b 和约束

ji

条件中的系数 a 。

ij

3．认清决策者想要达到的主要目标，据此列出目标函数（自变量的线性函

数），并决定是要极大化或极小化。

4．分析并汇总问题的限制条件（包括明显的和隐含的），将其与有关自变

量和参数联系起来，并逐一表达成等式或不等式约束。

约束条件既不要遗漏（有

些限制条件未考虑到），也不要重复。

5．写出完整的线性规划数学模型，并进一步检验是否与描述的实际问题一

致，如有不一致之处，则应适当修改模型。

对复杂的实际问题，有时还需在求

解时进一步修正模型。

下面在本章第一节的基础上，再举出另外一些线性规划问题建模的例子，

供读者分析思考，从中得到启发。

例 14裁料问题

在某建筑工程施工中需要制作 10000 套钢筋，每套钢筋由 2.9m、2.1m 和

1.5m 三种不同长度的钢筋各一根组成，它们的直径和材质相同。

目前在市场上

采购到的同类钢筋的长度每根均 7.4m，问应购进多么根 7.4m 长的钢筋才能满

1

足工程的需要？

解该问题最简单的处理方法是：

在每根 7.4m 长的钢筋上截取 2.9m、2.1m

和 1.5m 的短钢筋各一根，剩下料头 0.9m，共用去 10000 根 7.4m 长的钢筋。

但

这样做常是不经济的，基改用套裁就会节约原材料。

为此，必须分析共有多少

种不同的裁法，该问题的可能裁料方案示于表 1.10 中。

表 1.10

方

数

案

7

8

2.9

2.1

1.5

料头长度（m）

2

0

1

0.1

1

2

0

0.3

1

1

1

0.9

1

0

3

0

0

3

0

1.1

0

2

2

0.2

0

1

3

0.8

0

0

4

1.4

2 x  + x  + x  + x   = 10000

⎪⎪

⎪

最后算出的 z = ∑  x  就是所需使用的 7.4m 钢筋原料的总数。

设以 x （i =1，2，…，8）表示按第 i 种裁料方案下料的原材料数量，则可

i

得该问题的数学模型如下

⎧min z = x1 + x2 + x 3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8

⎪

1234

⎨2 x + x + 3x + 2 x + x = 10000

23567

x + x + 3x + 2 x + 3x + 4 x = 10000

⎪134678

⎩

⎪x ≥ 0, j = 1,2,,8

j

8

j

j =1

该问题的目标函数也可改用总料头长度极小化。

由本例的分析过程可知，这类问题的建模需列出所有裁料方案，当方案很

多时常是十分困难的。

为此，需设立一些准则删除明显不合理的方案，以减少

计算工作量。

例 15工作人员计划安排问题

某昼夜服务的公共交通系统每天各时间段（每 4 小时为一个时间段）所需

2

的值班人数如表 1.11 所示，这些值班人员在某一时段开始上班后要连续工作 8

个小时（包括轮流用膳时间在内），问该公交系统至少需多少名工作人员才能满

足值班的需要。

表 1.11

解在本例中，每一时段

上班的工作人员，既包括本时

段开始上班的人，又包括上一

个时段开始上班的人。

为便于

建模，可设 x 为第 i 个时段开

i

班  次

1

2

3

4

5

6

时  间  段

6∶00——10∶00

10∶00——14∶00

14∶00——18∶00

18∶00——22∶00

22∶00—— 2∶00

2∶00—— 6∶00

所需人数

60

70

60

50

20

30

始上班的人员数，如此可得数学模型如下：

⎩

⎧min

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

z = x + x + x + x + x + x

1 2 3 4 5

x + x ≥ 60

6 1

x + x ≥ 70

1 2

x + x3 ≥ 60

2

x + x ≥ 50

3 4

x + x ≥ 20

4 5

x + x ≥ 30

5 6

x ≥ 0, j = 1,2, ,6

j

6

现给出它的一个解（如图 1.9 中所示，可知该系统有 150 人好够（仅在 22∶

—2∶00 这个时段多 10 人）。

x = 40x = 30x = 30x = 40x = 10x = 20x

1234521

图1.9

例 16厂址选择问题

考虑 A、B、C 三地，每地都出产一定数量的原料，也消耗一定数量的产

3

品（见表 1.12）。

已知制成每吨产品需 3 吨原料，各地之间的距离为：

A—B：

150km，A—C：

100km，B—C：

200km。

假定每万吨原料运输 1km 的运价是

5000 元，每万吨产品运输 1km 的运价是 6000 元。

由于地区条件的差异，在不

同地点设厂的生产费用也不同。

问究竟在哪些地方设厂，规模多大，才能使总

费用最小？

另外，由于其它条件限制，在 B 处建厂的规模（生产的产品数量）

不超过 5 万吨。

表 1.12

地点

A

B

C

年产原料（万吨）

20

16

24

年销产品（万吨）

7

13

0

生产费用（万元/万吨）

150

120

100

⎪⎪   21

⎪⎩ y   + y+ y

，

解令 x 为由 i 地运到 j 地的原料数量（万吨） y 为由主地运往 j 地的产

ijij

品数量（万吨），i，j=1，2，3（分别对应 A、B、C 三地）。

根据题意，有

⎧x + x + x ≤ 20

⎪x11 + x12 + x13 ≤ 16

2223

⎨x31 + x32 + x33 ≤ 24

⎪ y + y+ y= 7

⎪ 112131

= 13

122232

注意，本来还可列出方程 y + y+ y

1323

33

= 0 ，但因 y 、 y 和 y 非负，因

13 23 33

而有 y= y

13

23

= y

33

= 0 ，从而可将该方程略去。

⎪   11

若设 Q 为第 i 处的设厂规模（年产产品数量，万吨），则有 Q = y + y ，

i11112

Q = y+ y ， Q = y+ y 。

从而得到

2212233132

⎧x + x + x= 3（ y + y ）

12131112

⎨x21 + x22 + x23 = 3（ y 21 + y 22 ）

3132333132

将 x 、 x 和 x 消去，并考虑 y+ y ≤5 和变量非负条件，得约束条件

1112332122

如下：

4

⎪3 y11 + 3 y12  - x12 + x13  + x21  - x31  ≤ 16

⎪

⎪ y   ≥ 0, i = 1,2,3; j = 1,2

⎧3 y + 3 y + x + x - x - x≤ 20

⎪212212212332

⎪3 y + 3 y- x - x+ x + x≤ 24

313213233132

⎪ y11 + y21 + y31 = 7

⎪ 122232

⎪ y+ y≤ 5

2122

⎪xij ≥ 0, i, j = 1,2,3; i ≠ j

⎩ ij

目标函数为（包括原材料运输费、产品运输费和生产费）：

min z = 75 x + 75 x+ 50 x + 50 x + 100 x+ 100 x

1221133123

32

+ 90 y+ 90 y+ 60 y+ 60 y+ 150（ y + y ）

122131321112

+ 120（ y+ y ） + 100（ y+ y ）

21223132

= 75 x + 75 x+ 50 x + 50 x + 100 x+ 100 x

1221133123

32

+ 150 y + 240 y+ 210 y+ 210 y+ 160 y+ 220 y

1112212231

32

某石油公司用 A、B、C 三种原料混合成普通汽油、高级汽油和低铅汽油 3

种成品出售。

3 种原料的单位成本及每月最大购入如表 3-1。

表 3-1

原料

A

B

C

单位成本（元/kg）

a

b

c

每月最大购入量（t）

100

150

50

每公斤成品售价为：

普通汽油 d 元，高级汽油 e 元，低铅汽油 f 元。

低铅汽油每月最多销售 50t。

各种汽油规格如下：

普通汽油 R：

A 不少于 20%，C 不多于 30%；

AB

高级汽油 P：

 不少于 40%， 不少于 10%，并不多于 20%，C 不多于 10%；

5

x

低铅汽油 L：

B 不少于 30%。

要求建立线性规划模型，以决定各种汽油的销售数量来取得最大利润。

解 通常，建立数学模型的第一步是确定决策变量。

如果我们设 x 、 x 、

1 2

3分别为 3 种成品的销售数量，那么，必须知道各种汽油的成本和售价，以便

T   = ∑  x  , j = R, P, L                  （3-1）

决定 c 。

现在题目中已给出了售价，但由于各种汽油的确切配方不知道，算不

j

出各种汽油的单位成本，因此用上面设的决策变量不能建立问题的线性规划模

型。

在这个问题里，必须作出两个决策，即每种汽油各用多少 A、B、C 原料以

及各生产多少。

遇到这种情况，采用双下标决策变量往往能顺利建立模型。

我

们设：

x =j 种汽油中所用的原料 i（kg），

ij

i =A，B，C；j=R，P，L。

这样，j 种汽油的生产量就是：

R

jij

i=1

例如对普通汽油：

 T = x

R

AR

+ x

BR

+ x

CR

D  = ∑  x  , i = A, B, C                   （3-2）

与此相似，原料 i 的需要量是：

L

tij

j =R

例如对原料 A：

 D = x

A

AR

+ x

AP

+ x

AL

目标函数是总销售收入减总成本的余额最大，

max z = d

TR

+ e

TP

+ f

TL

- a

DA

- b

DB

- c

DC

将式（3-1）、（3-2）代入得

max z = d （ x

AR

+ x

BR

+ x ） + e（ x

CR

AP

+ x

BP

+ x ） + f （ x

CP

AL

+ x

BL

+ x ）

CL

- a（ x

AR

+ x

AP

+ x ） - b（ x

AL

BR

+ x

BP

+ x ） - c（ x

BL

CR

+ x

CP

+ x ） （3-3）

CL

根据各种原料的每月最大购入量列出第一组约束条件方程：

6

x

x

AR

BR

+ x

+ x

AP

BP

+ x ≤100000，                （3-4）

AL

+ x ≤150000，                （3-5）

BL

x

CR

+ x

CP

+ x ≤50000，                 （3-6）

CL

第二组约束条件方程是对低铅汽油销售量的限制：

x

AL

+ x

BL

+ x ≤50000                 （3-7）

CL

第三组约束条件方程是各种汽油规格的限制，以普通汽油规格 1 为例：

普通汽油中原料A的重量

普通汽油重量

≥0.2

即

x

AR

x

+ x

AR

BR

+ x

CR

≥0.2

即- 0.8x

AR

+ 0.2 x

BR

+ 0.2 x ≤0              （3-8）

CR

与此相似，普通汽油规格 2：

- 0.3x

AR

+ 0.3x

BR

+ 0.7 x ≤0              （3-9）

CR

高级汽油规格 1：

- 0.6 x

AP

+ 0.4 x

BP

+ 0.4 x ≤0             （3-10）

CP

高级汽油规格 2：

0.1x

AP

- 0.9 x

BP

+ 0.1x ≤0               （3-11）

CP

- 0.2 x

AP

+ 0.8x

BP

- 0.2 x ≤0             （3-12）

CP

高级汽油规格 3：

- 0.1x

AP

- 0.1x

BP

+ 0.9 x ≤0              （3-13）

CP

低铅汽油规格：

0.3x

AL

- 0.7 x

BL

+ 0.3x ≤0               （3-14）

CL

式（3-3）至（3-14），加上 x ≥0，i =A，B，C；j=R，P，L，就是这个问

ij

题的线性规模模型。

用单纯形法求出这个问题的解以后，决策人不但知道最有利的各种汽油数

量，而且知道各种汽油的确切配方。

7

例 3多阶段投资问题

某公司有 200000 元可用于投资，投资方案有以下 5 种，每种方案的投资额

不受限制。

方案 A：

5 年内每年都可投资，在年初投资 1 元，2 年后可收回 1.2 元；

方案 B：

5 年内每年都可投资，在年初投资 1 元，3 年后可收回 1.3 元；

方案 C：

只在第 1 年初有一次投资机会，每投资 1 元，4 年后可收回 1.4

元；

方案 D：

只在第 2 年初有一次投资机会，每投资 1 元，4 年后可收回 1.7

元；

1

方案 E：

只在第 4 年初有一次投资机会，每投资 1 元， 年后可收回 1.4 元。

此外，每年年初若将 1 元资金存入银行，年末可收回 1.06 元。

投资所得的收益及银行利息也可用于投资。

要求建立线性规划模型，使公司在第 5 年末收回的资金最多。

解和例 2 一样，若将投资及收益情况归纳成表 3-2，对建立数学模型，

将有帮助。

表中投资方案的下标表示投资年级。

用 F 表示未投资完而存入银行

的金额。

在第 4 年，因有投资方案 E，所以没有 F4。

此外，不考虑 B4，A5，B5，

因这些投资收回时已过了 5 年的期限。

表 3-2 中虚线的起点是当年初投资的金额，虚线的终点是当年初可用的金

额（第 1 年初是 200000 元），两者必须相等。

这样，对第 1 年至第 5 年初的资

金情况，都可建立一个约束条件方程：

第 1 年A1+B1+C1+F1=200000

第 2 年A2+B2+D2+F2=1.06F1

或A2+B2+D2+F2－1.06F2=0

表 3-2

年份（年初）123456

A1……………… 1.2A1

B1……………… ………… 1.3B1

C1……………… ………… ………… 1.4C1

8

F1…… 1.06F1

A2……………… 1.2A2

B2……………… ………… 1.3B2

D2……………… ………… ………… 1.7D2

F2…… 1.06F2

A3…… ………… 1.2A3

B3…… ………… ………… 1.3B3

F3…… 1.06F3

A4………………1.2A4

B4…… 1.4E4

F5…… 1.06F3

第 3 年A3+B3+F3－1.2A1－1.06F2=0，

第 4 年A4+E4－1.3B1－1.2A2－1.06F3=0

第 5 年F5－1.4C1－1.3B2－1.2A3－1.4E4=0。

还有非负约束 Aj，Bj，Cj，Dj，Ej，Fj≥0，

j =1，…，5。

目标函数是第 6 年初（即第 5 年末）收回的的资金最大；

max z =1.7D2+1.3B3+1.2A4+1.06F5

这个问题也可以用动态规划解决。

例 4城市间汽车运输问题

现举例说明建立数学模型的技巧，为不使问题太大，我们举出下面被简化

了的例题。

某汽车运输公司经营 A、B、C 三个城市之间的货物运输业务，在任两个城

市之间都有公路连通，货运量及每车利润如表 3-5 和表 3-6 所列。

每周货运量（车） 表 3-5每年利润（元） 表 3-6

发站

到站

A

B

C

发站

到站

A

B

C

A

150

250

A

150

200

B

100

200

B

50

300

C

500

100

C

100

150

该公司有汽车 250 辆，每周每辆车最多在两城市间单程运行 4 次，由于技

9

术上及业务上的原因，全部汽车每周末必须停在 A 城。

汽车回空没有利润，也

不计成本。

要求建立最大利润的线性规划模型。

解建立这个问题的数学模型，有两种不同的思路，从而有两种确定决策

变量的方法，两个表面看来不同的线性规划模型。

第一种方法是按照例 6 下料

问题的方法，以采用某种方案的次数作为决策变量。

第二种方法是用三下标变

量。

现分别叙述如下：

题目中规定周初的汽车必须由 A 城开出，最多运行 4 个单程，周末必须返

回 A 城，所以汽车运行路线可以有 8 个，设 x 为采用第 j 种行车路线的次数即

j

按此路线行车的汽车数，行车路线如表 3-7 所示。

标号（j）

1

2

3

4

行车路线

A→B→A→C→A

A→B→C→A

A→B→C→B→A

A→B→A→B→A

标号（j）

5

6

7

8

行车路线

A→C→A→B→A

A→C→B→A

A→C→B→C→A

A→C→A→C→A

由于题止中规定空车不计成本，因此可能产生空车运行，再设：

y =A→B 间重车数，

1

y

2

=A→C 间重车数，

∑    x   = 250

y =B→A 间重车数，

3

y =B→C 间重车数，

4

y =C→A 间重车数，

5

y =C→B 间重车数

6

目标函数为：

max z = 150 y + 200 y + 50 y + 300 y + 100 y + 150 y 。

123456

第一组约束条件方程是按 8 种行车路线开行的汽车数等于 250（因空车不

计成本，所以全部开出）：

8

j

j =1

第二组约束条件方程是两地间运行的重车数小于或等于运量：

10

y1 ≤150，

y 2 ≤250，

y

3 ≤100，

y4 ≤200，

y

5

≤500，

1≤ x   + x  + x  + 2 x  + x  ，

y ≤100。

8

第三组约束条件是两地间的重车数小于等于空重车总数：

y

12345

y 2 ≤ x + x + x + x + 2 x ，

15678

+

112153 26437548

+2   ++4

yx ≤ x + x + xx ，2x

1253674

y

123 11542657 48

++

112536 47

最后一组约束条件是非负及整数约束：

x ≥0， x 为整数，j=1，2，…，8，

jj

y ≥0， y 为整数，k=1，2，…，8。

kk

这个线性规划模型有 14 个决策变量，13 个约束条件方程（不包括非负及

整数约束）。

若城市数增多，要列举所有行车方案而不遗漏，费时费事，第三组

约束条件方程也很易列错。

因此，这个模型在题目规模较大时无实用价值。

如果用三下标变量，就可克服上述缺点。

现设：

 x =第 i 次从 j 地开往 k 地的空重车数：

ijk

y =第 i 次从 j 地到 k 地的重车数，

ijk

i =1，2，3，4；j =ABC；k=ABC

根据题目所给条件，可以列出表 3-8。

题目中规定的周初只能从 A 出发，周末全部返回 A 以及每周最多单程运行

4 次，都在表 3-8 中确定决策变量时考虑到了。

目标函数是：

11

表 3-8

第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次

A → B

A → C

B → A

B → C

C → A

C → B

x

1AB

x

1AC

x

x

x

x

2BA

2BC

2CA

2CB

x

x

x

x

x

x

3 AB

3 AC

3BA

3BC

3CA

3CB

x

x

4BA

4CA

max z = 15 y

1AB

+ 15 y

3 AB

+ 20 y

1AC

+ 20 y

3 AC

+ 5 y

2 BA

+ 5 y

3BA

+ 5 y

4 BA

+ 30 y

2 BC

30 y

3BC

+ 10 y

2CA

+ 10 y

3CA

+ 10 y

4CA

+ 15 y

2CB

+ 15 y

3CB

。

                 （3-16）

第一组约束条件方程是第 1，2，3 次单程的重空车总数等于 250 辆（因空

车不计成本，所以宁愿放空车也不停在原地不发，使问题简化一些），第 3 次单

程到达 A 的车不再走，所以第 4 单程车数小于等于 250。

x

1AB

+ x

1AC

= 250 ，                         （3-16）

x

2 BA

+ x

2 BC

+ x

2CA

+ x

2CB

= 250 ，              （3-17）

x

3 AB

+ x

3 AC

+ x

3BA

+ x

3BC

+ x

3CA

+ x

3CB

= 250       （3-18）

x

4 BA

+ x

4CA

≤250                            （3-19）

第二组约束条件方程是每个单程从某地出发之车数等于上一个单程到达该

地的车数：

x

x

2 BA

2CA

+ x

+ x

2 BC

2CB

= x

1AB

= x

1AC

，                          （3-20）

，                          （3-21）

x

3