精校版天津卷文数高考试题文档版含答案.docx
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精校版天津卷文数高考试题文档版含答案
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分为第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I卷1
至2页，第n卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利
第I卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂
其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分共40分。
参考公式：
•如果事件A,B互斥，那么PAUBi=PAPB.
•圆柱的体积公式V=Sh,其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高
1
•棱锥的体积公式VSh,其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高
3
一、选择题：
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合A=「「1,1,2,3,51,B=「2,3,4l,C={xR|1,x：
：
3}，则（A「|C）UB=
（A）{2}（B）{2,3}（C）{-1,2,3}（D）{1,2,3,4}
'x+y-2w0,
x—v+2A0
（2）设变量x,y满足约束条件则目标函数z=「4x•y的最大值为
y…-1,
（A）2（B）3（C）5（D）6
（3）设R，则“0CXC5”是“x—1<1”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为
（A）5（B）8（C）24（D）29
02
（5）已知a=log27，b=log38，c=0.3.，则a,b,c的大小关系为
则a的取值范围为
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
第口卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题，共110分。
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）i是虚数单位，则的值|尹|的值为.
（10）设x^R，使不等式3x2+x—2v0成立的x的取值范围为.
x
（11）曲线y=cosx-3在点（0,1）处的切线方程为.
（12）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为、、5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四
条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.
（13）设x>0，y>0，x+2y=4，贝y（x*1）（2y*1）的最小值为.
xy
（14）在四边形ABCD中，AD//BC,AB=2.3,AD=5,A=30，点E在线段CB的延长
TT
线上，且AE=BE，贝UBDAE=.
3.解答题：
本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利
层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况•
（I）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（H）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如
右表，其中“O”表示享受，“X”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
项目
A
B
C
D
E
F
子女教育
O
O
X
O
X
O
继续教育
X
X
O
X
O
O
大病医疗
X
X
X
O
X
X
住房贷款利息
O
O
X
X
O
O
住房租金
X
X
O
X
X
X
赡养老人
O
O
X
X
X
O
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率
（16）（本小题满分13分）
在LABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b2a,3csinB=4asinC.
（I）求cosB的值;
（n）求sini2B•—的值.
I6丿
（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，LPCD为等边三角形，平面PAC_平面PCD,
PA_CD,CD=2,AD=3,
（I）设G,H分别为PB,AC的中点，求证：
GH//平面PAD;
（n）求证：
PA_平面PCD;
（川）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值•
（18）（本小题满分13分）
设:
an?
是等差数列，:
bn［是等比数列，公比大于0，已知a^b^3，b^a3，鸟3.
（I）求〈an/和〔bj的通项公式；
1,n为奇数，
（n）设数列｛&｝满足Cn=«bn为偶数求aQ+a2C2+IH+a2nC2n（n乏N*）.
-2
（19）（本小题满分14分）
22
设椭圆X2y^=1（ab0）的左焦点为F,左顶点为A,顶点为B.已知3|OA|=2|OB|（O为原点）.ab
（I）求椭圆的离心率；
3
（n）设经过点F且斜率为Y的直线|与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线|相切，圆心
4
C在直线x=4上，且OC//AP，求椭圆的方程.
（20）（本小题满分14分
设函数f（x）=lnx-a（x-1）ex，其中aR.
（I）若a<0,讨论fx的单调性；
1
（n）若0：
：
：
a：
：
：
—,
e
（i）证明fx恰有两个零点
（ii）设x为fx的极值点，x1为fx的零点，且x1x0，证明3x^x12.
绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）参考解答
（11）x2^-2=0
（15）本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，满分13分.
解：
（1）由已知，老、中、青员工人数之比为6:
9:
10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因
此应从老、中、青员中分别抽取6人，9人，10人.
（H）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
BJa,CJa,DJa,e1{A,F}」B,CJb,dJb,eJb,fJc,dJc,eJc,fJd,eJd,f"e,f
共15种.
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
!
a,BJa,d/a,EJa,F1「B,D”：
B,E”BfTc,e7c,F?
」D,FJe,F?
，共11种.
所以，事件M发生的概率P（M）=—
15
（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正
弦定理、余弦定理等基础知识•考查运算求解能力•满分13分.
bc
（1）解：
在|_ABC中，由正弦定理，得bsinC=csinB，又由3csinB二4asinC，得
sinBsinC
42
3bsinC=4asinC,即卩3b=4a•又因为b2a，得到ba,ca.由余弦定理可得
33
242162
222aaaa+c-b99
2ac
cosB99
（n）解：
由
（1）
可得sinB=.1-cos2B=^15-
4
识.考查空间想象能力和推理论证能力满分13分.
（I）证明：
连接BD,易知AC「|BD二H,BH二DH•又由BG二PG,故GH//PD,又因为GH-平面PAD,PD平面PAD，所以GH//平面PAD.
（n）证明：
取棱PC的中点N，连接DN.依题意，得DN_PC，又因为平面PAC_平面PCD，平面PAC门平面PCD=PC，所以DN_平面PAC，交PA平面PAC,故ENP.又已知PA_CD,CDPlDN=D，所以PA_平面PCD.
（川）解：
连接AN，由（n）中DN_平面PAC，可知.DAN为直线AD与平面PAC所成的角，
因为LPCD为等边三角形，CD=2且N为PC的中点，所以DN—.,3.又DN_AN,
所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为
n项和公式等基础知识，考查数列求和的基
（18）本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前
本方法和运算求解能力•满分13分.
3q=3…2d1d=3
（I）解：
设等差数列:
a^?
的公差为d,等比数列bf的公比为q依题意，得2，解得
3q=15+4d曰=3故an=33（n-1）=3n，bn-33“丄-3n.
所以，:
an?
的通项公式为an=3n，:
b/＞的通项公式为bn=3n.
（n）解:
•a2c2-…一a2nc2n
=归a3•a5•a2njria2bi--a6b^J||-a2nbn
二n3n（^~1）663112321833...6n3n
-3n26131232J|ln3n
Tn=131232…n3n.①
2331
3Tn-1323Jl|n3,②
②-①得，W32-33-...W害n3・£^p
（2n-1）3n26n29⑺
nN
2
（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲
（I）解：
设椭圆的半焦距为
C,由已知有
13a=2b，又由a2=b2c2，消去b得a2
线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力，满分14分.
解得c=1.
a2
1
所以，椭圆的离心率为
2
22
（n）解：
由（I）知，a=2c,b=^3c，故椭圆方程为土•七=1.由题意，F-c,0，则直线I
4c23c2
由圆心C在直线x=4上，可设C4,t.因为OC//AP，且由（I）知A-2c,0，故-
4
3
c
2，解得
c2c
t=2.因为圆C与x轴相切，所以圆的半径为
2,又由圆C与I相切，得
可得c=2.
13c39
解得xi9X2—〒，代入到1的方程，解得yi才，y2八石C.因为点P在X轴上方,
所以Pc*.
22
所以，椭圆的方程为一—1.
1612
（20）本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数
思想、化归与转化思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（I）解：
由已知，fx的定义域为（0,•：
：
），且
1rxx1_axe
f（x）ae-a（x-1）e
x」-
因此当a<0时，1-ax2ex0，从而f（x）0,所以fx在（0,匸：
）内单调递增
n）证明：
’1—ax2eX1
（i）由（【）知f（x）.令g（x）=1-axe，由0：
：
：
a「
e
可知gx在（0,r）内单调递减，又g
（1）=1-ae•0,且
112112
gUn1-aIln1IIn0.
la丿la丿ala丿
1故gx=0在（0,=）内有唯一解，从而f（x）=0在（0,=）内有唯一解，不妨设为x0，则1”：
x0：
：
：
ln.
a
当X0,x°时，f（x）二回』二0,所以fX在0,x0内单调递增；当x（X0,V）时，
xX
*g（x）g（x0）,’
f（X）-=0，所以fX在（X0「：
）内单调递减，因此X。
是fX的唯一极值点
令h（x）=lnx—x1，则当x1时，h（x^--1:
：
:
x
0，故hx在（1「：
）内单调递减，从而当x1时,
hx:
:
:
h1=0，所以Inx：
：
：
x—1.从而
£（
1
1
1''In1
1
1
1
fIIn
-1
=InIn
-aIIn1ea：
-InIn
-In1二h11n
-1
I
a
a
Ia丿
a
a
a
<0,
又因为f怡]，"
（1）=0，所以fx在（1,=）内有唯零点.又fx在0,x0内有唯一零点1，从而,
fx）在（1,v）内恰有两个零点
（ii）由题意，fX。
二0,即ax0‘"x，从而InX1二答Je"，即e"二壘△.因为
f“）=0,Inx]=a（x1—1）e1x0咅—1
当x1时，Inx：
：
：
x-1，又x,x01，故e^去：
:
:
儿"二爲，两边取对数，得Inex^^0:
：
:
Inx2，
为—1
于是
为—x2Inx：
：
2x0-1，
整理得3x^-x12.
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