中考数学专题练习 平行四边形矩形菱形正方形梯形无答案.docx

中考数学专题练习 平行四边形矩形菱形正方形梯形无答案.docx

《中考数学专题练习 平行四边形矩形菱形正方形梯形无答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学专题练习 平行四边形矩形菱形正方形梯形无答案.docx（48页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

中考数学专题练习平行四边形矩形菱形正方形梯形无答案

平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形

1．图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC＝10，BD＝6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1，h2．△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形．

（1）求蝶形面积S的最大值；

（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，并求h1的取值范围．

2．如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；

（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；

（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）

3．以平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH，设∠ADC＝（0°＜＜90°）．

（1）求∠HAE的大小（用含的代数式表示）；

（2）求证：

HE＝HG；

（3）判断四边形EFGH是什么四边形？

并说明理由．

4．在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1）在图1中证明CE＝CF；

（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数

（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

5．如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．

（1）该正方形的边长为____________；

（2）现要求只能用两条裁剪线．请你设计一种裁剪的方法．在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程．

6．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC与BD相交于点O，点E在射线BM上．

（1）连接OE，与边CD交于点F．若CE＝OC，求CF的长；

（2）连接DE、AE，AE与对角线BD相交于点P．若△ADE为等腰三角形，求DP的长．

7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB＝45°，CD＝2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连结EG、AF．

（1）求EG的长；

（2）求证：

CF＝AB＋AF．

8．如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0）．

（1）求证：

h1＝h3；

（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：

S＝（h1＋h2）2＋h12；

（3）若

h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况．

9．如图，已知四边形ABDE、ACFG都是△ABC外侧的正方形，连接DF，若M、N分别为DF、BC的中点，求证：

MN⊥BC且MN＝

BC．

10．矩形纸片ABCD中，AD＝12cm，现将这张纸片按下列图示方式折叠，AE是折痕．

（1）如图1，P，Q分别为AD，BC的中点，点D的对应点F在PQ上，求PF和AE的长；

（2）如图2，DP＝

AD，CQ＝

BC，点D的对应点F在PQ上，求AE的长；

（3）如图3，DP＝

AD，CQ＝

BC，点D的对应点F在PQ上．

①直接写出AE的长（用含n的代数式表示）；

②当n越来越大时，AE的长越来越接近于_________．

11．如图，等腰梯形ABCD中，AD＝4，BC＝9，∠B＝45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向终D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．

（1）求AB的长；

（2）设BP＝x，问当x为何值时△PCQ的面积最大，并求出最大值；

（3）探究：

探究：

在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为菱形？

请说明理由．

12．如图①，将矩形ABCD折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，此时折痕与边BC或边CD（含端点）交于点F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．

（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形；

（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；

（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？

若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？

若不存在，为什么？

13．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝3，CD＝6，BE⊥BC交直线AD于点E．

（1）当点E与D恰好重合时，求AD的长；

（2）当点E在边AD上时（E不与A、D重合），设AD＝x，ED＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x取值范围；

（3）是否可能使△ABE、△CDE与△BCE都相似？

若能，请求出此时AD的长；若不能，请说明理由．

14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M为CD中点，点E在线段MC上运动，FG垂直平分AE，垂足为O，分别交AD、BC于F、G．

（1）求

的值；

（2）设CE＝x，四边形AGEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；当y取最大值时，判断四边形AGEF的形状，并说明理由．

15．如图1，矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，在BC边上取一点E，将△ABE沿AE翻折，使点B落在DC边上的点F处．

（1）求CF和EF的长；

（2）如图2，一动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AF向终点F作匀速运动，过点P作PM∥EF交AE于点M，过点M作MN∥AF交EF于点N．设点P运动的时间为t（0＜t＜10），四边形PMNF的面积为S，试探究S的最大值？

（3）以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图3，在

（2）的条件下，连接FM，若△AMF为等腰三角形，求点M的坐标．

16．如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（6，0），（0，2），M是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点M的直线y＝－

x＋m交折线OAB于点N．

（1）记△MOE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出m的取值范围；

（2）当点N在线段OA上时，若矩形OABC关于直线MN的对称图形为四边形O1A1B1C1．

①当m为何值时，B、N、B1三点在同一直线上；

②试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．

17．如图，边长为1的正方形ABCD中，以A为圆心，1为半径作

，将一块直角三角板的直角顶点P放置在

（不包括端点B、D）上滑动，一条直角边通过顶点A，另一条直角边与边BC相交于点Q，连接PC，设PQ＝x．

（1）△CPQ能否为等边三角形？

若能，求出x的值；若不能，说明理由；

（2）求△CPQ周长的最小值；

（3）当△CPQ分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时，求x的取值范围．

18．如图，菱形ABCD中，AB＝10，sinA＝

，点E在AB上，AE＝4，过点E作EF∥AD，交CD于F，点P从点A出发，以每秒1个单位长的速度沿线段AB向终点B匀速运动，同时点Q从点E出发，以相同的速度沿线段EF向终点F匀速运动，设运动时间为t（秒）．

（1）当t＝5秒时，求PQ的长；

（2）当BQ平分∠ABC时，直线PQ将菱形ABCD的周长分成两部分，求这两部分的比；

（3）以P为圆心，PQ长为半径的⊙P是否能与直线AD相切？

如果能，求此时t的值；如果不能，说明理由．

19．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，AB＝10，AB边在x轴上，点D在y轴上，点A的坐标是（－6，0）．

（1）求点C的坐标；

（2）连接BD，点P是线段CD上一动点（点P不与C、D两点重合），过点P作PE∥BC交BD于点E，过点B作BQ⊥PE交PE的延长线于点Q．设PC的长为x，PQ的长为y，求y与x之间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范围）；

（3）在

（2）的条件下，连接AQ、AE，当x为何值时，S△BQE＋S△AQE＝

S△DEP？

并判断此时以点P为圆心，以5为半径的⊙P与直线BC的位置关系，请说明理由．

20．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，如图1．

（1）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转90°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？

请直接写出你的猜想；

（2）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转180°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？

请写出你的猜想，并加以证明；

（3）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？

请写出你的猜想，并加以证明．

21．如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边OC上，点E在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且tan∠BFD＝

．若线段OA的长是一元二次方程x2－7x－8＝0的一个根，又2AB＝3OA．请解答下列问题：

（1）求点B、F的坐标；

（2）求直线ED的解析式；

（3）在直线ED、FD上是否存在点M、N，使以点C、D、M、N为顶点的四边形是等腰梯形？

若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，BC∥OA，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，8），OA＝OB．

（1）求点B的坐标；

（2）点P从点A出发，沿线段AO以1个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OA，交折线A－B－O于点H，设点P的运动时间为t秒（0≤t≤10）．

①是否存在某个时刻t，使△OPH的面积等于△OAB面积的

？

若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；

②以P为圆心，PA长为半径作⊙P，当⊙P与线段OB只有一个公共点时，求t的值或t的取值范围．

23．如图，在Rt△OAB中，∠A＝90°，∠ABO＝30°，OB＝

，边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、E、D．

（1）求点E的坐标；

（2）求直线CD的解析式；

（3）在直线CD上和坐标平面内是否分别存在点Q、P，使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

24．在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC＝α，将△DOC绕点O按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°），连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．

（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；

（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC＝kBD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；

（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时

（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？

∠AMB与α的大小关系是否成立？

不必证明，直接写出结论．

25．如图l，己知正方形ABCD，点E、F分别在边AB、AD上，且AE＝AF．

（1）如图2，将△AEF绕点A顺时针旋转∠α，当0°＜α＜90°时，连接BE、DF，判断线段BE、DF的数量关系和位置关系，并加以证明；

（2）如图3，将△AEF绕点A顺时针旋转∠α，当α＝90°时，连接BE、DF，当AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE？

请说明理由；

（3）如图4，将△AEF绕点A顺时针旋转∠α，当90°＜α＜180°时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？

请说明理由．

26．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD＝BC＝1，AB＝CD＝5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．

（1）若∠1＝70°，求∠MKN的度数；

（2）△MNK的面积能否小于

？

若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；

（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？

请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值．

27．如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°．正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．

（1）请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；

（2）求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．

28．已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．

（1）如图①，当PA的长度等于_________时，∠PAB＝60°；

当PA的长度等于_________时，△PAD是等腰三角形；

（2）如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），记△PAD、△PAB、△PBC的面积分别为S1、S2、S3．设P点坐标为（a，b），试求2S1S3－S22的最大值，并求出此时a、b的值．

29．如图，把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l上，OA边与直线l重合．将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处；再将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转．请解答下列问题：

（1）求正方形纸片OABC经过3次旋转，顶点O经过的路程以及顶点O在此过程中所形成的图形与直线l围成图形的面积；

（2）求正方形纸片OABC经过5次旋转，顶点O经过的路程；

（3）正方形纸片OABC经过多少次旋转，顶点O经过的路程是

π？

30．如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：

对折、展平，得折痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如图⑥）．

（1）求图②中∠BCB′的大小；

（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？

请说明理由．

31．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．

（1）当t≠1时，求证：

△PEQ≌△NFM；

（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN的面积为S，求出S与自变量t之间的函数关系式，并求S的最小值．

32．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．

（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；

（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．

②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：

cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．

33．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝8，AD＝14，点E、F、G分别在BC、AB、AD上，且BE＝3，BF＝2，以EF、FG为邻边作□EFGH，连接CH、DH．

（1）直接写出点H到AD的距离；

（2）若点H落在梯形ABCD内或其边上，求△HGD面积的最大值与最小值；

（3）当△EHC为等腰三角形时，求AG的长．

34．已知菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上（点E、F分别不与点C、D重合），且AE＝AF，∠EAF＝54°．

（1）如图1，当AC平分∠EAF时，若AB＝AE，求∠AEB的度数；

（2）如图2，当AC不平分∠EAF时，若△ABE是一个等腰三角形，求∠AEB的度数．

35．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90º，BC＝2，D是线段BC上一点，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．直线AE与直线BC交于点G，连接CF．

（1）猜想线段CF与线段BD的数量关系和位置关系，并说明理由；

（2）连接FG，当△CFG是等腰三角形时，求BD的长．

36．在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，∠ABE＝30°，BE＝DE，连接BD．动点M从点E出发沿射线ED运动，过点M作MN∥BD交直线BE于点N．

（1）如图1，当点M在线段ED上时，求证：

BE＝PD＋

MN；

（2）若BC＝6，设MN长为x，以M、N、D为顶点的三角形面积为y，求y关于x的函数关系式；

（3）在

（2）的条件下，当点M运动到线段ED的中点时，连接NC，过点M作MF⊥NC于F，MF交对角线BD于点G（如图2），求线段MG的长．

37．在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF（如图1）．

（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图2），求PC的长；

（2）探究：

将直尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：

①tan∠PEF的值是否发生变化？

请说明理由；

②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．

38．已知菱形ABCD的边长为1，∠ADC＝60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．

（1）特殊发现：

如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点，求证：

菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心；

（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动，记等边△AEF的外心为点P．

①猜想验证：

如图2，猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；

②拓展运用：

如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断

＋

是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

39．如图，在直角梯形ABCD中，∠D＝∠BCD＝90°，∠B＝60°，AB＝6，AD＝9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G．设DE＝x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．

（1）求CD的长及∠1的度数；

（2）若点G恰好在BC上，求此时x的值；

（3）求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大？

最大值是多少？

40．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝10，AB＝3，BC＝14，点E、F分别在BC、DC上，将梯形ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD上一点C′，再沿C′G折叠四边形C′ABE，使AC′与C′E重合，且C′A过点E．

（1）试证明C′G∥EF；

（2）若点A′与点E重合，求此时图形重叠部分的面积．

41．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AB＝1，BC＝2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F．过点P作PN∥BC交AB于N，交EF于M，连结PA、PE、AM，EF与PA相交于O．

（1）指出四边形PEAM的形状（不需证明）；

（2）记∠EPM＝α，△AOM、△AMN的面积分别为S1、S2．

①求证：

＝

PA2；

②设AN＝x，y＝

，试求出以x为自变量的函数y的解析式，并确定y的取值范围．

42．如图1，边长为2的正方形ABCD中，E是BA延长线上一点，且AE＝AB，点P从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿D→C→B向终点B运动，直线EP交AD于F，过点F作直线FG⊥DE于G，交AB于Q．设点P运动时间为t（秒）．

（1）求证：

AF＝AQ；

（2）当t为何值时，四边形PQBC是矩形？

（3）如图2，连接PB，当t为何值时，△PQB是等腰三角形？

43．如图1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6．点E为AB边上一点，EF∥DC，交BC边于点F，FG∥ED，交DC边于点G．

（1）若四边形DEFG为矩形，求AE的长；

（2）如图2，将

（1）中的∠DEF绕E点逆时针旋转，得到∠D′EF′，EF′交BC边于F′点，且F′点与C点不重合，射线ED′交AD边于点M，作F′N∥ED′交DC边于点N．设AM的长为x，△NF′C中，F′C边上的高为y，求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．

44．如图，四边形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（8，0），B（4，4），C（0，4），直线l：

y＝kx＋b保持与四边形OABC的边交于点M、N（M在折线AOC上，N在折线ABC上）设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1，在l左上方部分的面积为S2，记S＝|S1－S2|．

（1）求∠OAB的大小；

（2）当M、N重合时，求l的解析式；

（3）当b≤0时，问线段AB上是否存在点N使得S＝0？

若存在，求b的值；若不存在，请说明理由；

（4）求S与b的函数关系式。

45．如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝5，BD＝3，以B点为坐标原点、AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．将平行四边形ABCD绕B点逆时针方向旋转，使C点落在y轴正半轴上，C、D、A三点旋转后的位置分别是E、F和G三点．

（1）求证：

点D在y轴上；

（2）若直线y＝kx＋b经过E、F两点，求直线EF的解析式；

（3）将平行四边形EFGB沿y轴正半轴向上平移，得平行四边形E′F′G′B′．设BB′＝m（0＜m≤3），平行四边形E′F′G′B′与平行四边形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式．

46．已知矩形ABCD中，AB＝7，AD＝6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、