中考数学专题练习 平行四边形矩形菱形正方形梯形无答案.docx
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中考数学专题练习平行四边形矩形菱形正方形梯形无答案
平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形
1.图形既关于点O中心对称,又关于直线AC,BD对称,AC=10,BD=6,已知点E,M是线段AB上的动点(不与端点重合),点O到EF,MN的距离分别为h1,h2.△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形.
(1)求蝶形面积S的最大值;
(2)当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时,求h1与h2满足的关系式,并求h1的取值范围.
2.如图1,已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC的中点,P(0,m)是线段OC上一动点(C点除外),直线PM交AB的延长线于点D.
(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);
(2)当△APD是等腰三角形时,求m的值;
(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H(如图2).当点P从点O向点C运动时,点H也随之运动,请直接写出点H所经过的路径长.(不必写解答过程)
3.以平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形EFGH,设∠ADC=(0°<<90°).
(1)求∠HAE的大小(用含的代数式表示);
(2)求证:
HE=HG;
(3)判断四边形EFGH是什么四边形?
并说明理由.
4.在□ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数
(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分别连结DB、DG(如图3),求∠BDG的度数.
5.如图,有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD,要通过适当的剪拼,得到一个与之面积相等的正方形.
(1)该正方形的边长为____________;
(2)现要求只能用两条裁剪线.请你设计一种裁剪的方法.在图中画出裁剪线,并简要说明剪拼的过程.
6.如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,对角线AC与BD相交于点O,点E在射线BM上.
(1)连接OE,与边CD交于点F.若CE=OC,求CF的长;
(2)连接DE、AE,AE与对角线BD相交于点P.若△ADE为等腰三角形,求DP的长.
7.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD.过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC中点,连结EG、AF.
(1)求EG的长;
(2)求证:
CF=AB+AF.
8.如图,正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上,这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0).
(1)求证:
h1=h3;
(2)设正方形ABCD的面积为S,求证:
S=(h1+h2)2+h12;
(3)若
h1+h2=1,当h1变化时,说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况.
9.如图,已知四边形ABDE、ACFG都是△ABC外侧的正方形,连接DF,若M、N分别为DF、BC的中点,求证:
MN⊥BC且MN=
BC.
10.矩形纸片ABCD中,AD=12cm,现将这张纸片按下列图示方式折叠,AE是折痕.
(1)如图1,P,Q分别为AD,BC的中点,点D的对应点F在PQ上,求PF和AE的长;
(2)如图2,DP=
AD,CQ=
BC,点D的对应点F在PQ上,求AE的长;
(3)如图3,DP=
AD,CQ=
BC,点D的对应点F在PQ上.
①直接写出AE的长(用含n的代数式表示);
②当n越来越大时,AE的长越来越接近于_________.
11.如图,等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,∠B=45°.动点P从点B出发沿BC向点C运动,动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向终D运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.
(1)求AB的长;
(2)设BP=x,问当x为何值时△PCQ的面积最大,并求出最大值;
(3)探究:
探究:
在AB边上是否存在点M,使得四边形PCQM为菱形?
请说明理由.
12.如图①,将矩形ABCD折叠,使点B落在边AD(含端点)上,落点记为E,此时折痕与边BC或边CD(含端点)交于点F,然后展开铺平,则以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.
(1)由“折痕三角形”的定义可知,矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形;
(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时,画出这个“折痕△BEF”,并求出点F的坐标;
(3)如图③,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”?
若存在,说明理由,并求出此时点E的坐标?
若不存在,为什么?
13.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=3,CD=6,BE⊥BC交直线AD于点E.
(1)当点E与D恰好重合时,求AD的长;
(2)当点E在边AD上时(E不与A、D重合),设AD=x,ED=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x取值范围;
(3)是否可能使△ABE、△CDE与△BCE都相似?
若能,请求出此时AD的长;若不能,请说明理由.
14.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,M为CD中点,点E在线段MC上运动,FG垂直平分AE,垂足为O,分别交AD、BC于F、G.
(1)求
的值;
(2)设CE=x,四边形AGEF的面积为y,求y关于x的函数关系式;当y取最大值时,判断四边形AGEF的形状,并说明理由.
15.如图1,矩形ABCD中,AB=10cm,BC=6cm,在BC边上取一点E,将△ABE沿AE翻折,使点B落在DC边上的点F处.
(1)求CF和EF的长;
(2)如图2,一动点P从点A出发,以每秒1cm的速度沿AF向终点F作匀速运动,过点P作PM∥EF交AE于点M,过点M作MN∥AF交EF于点N.设点P运动的时间为t(0<t<10),四边形PMNF的面积为S,试探究S的最大值?
(3)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图3,在
(2)的条件下,连接FM,若△AMF为等腰三角形,求点M的坐标.
16.如图,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(6,0),(0,2),M是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点M的直线y=-
x+m交折线OAB于点N.
(1)记△MOE的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出m的取值范围;
(2)当点N在线段OA上时,若矩形OABC关于直线MN的对称图形为四边形O1A1B1C1.
①当m为何值时,B、N、B1三点在同一直线上;
②试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.
17.如图,边长为1的正方形ABCD中,以A为圆心,1为半径作
,将一块直角三角板的直角顶点P放置在
(不包括端点B、D)上滑动,一条直角边通过顶点A,另一条直角边与边BC相交于点Q,连接PC,设PQ=x.
(1)△CPQ能否为等边三角形?
若能,求出x的值;若不能,说明理由;
(2)求△CPQ周长的最小值;
(3)当△CPQ分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时,求x的取值范围.
18.如图,菱形ABCD中,AB=10,sinA=
,点E在AB上,AE=4,过点E作EF∥AD,交CD于F,点P从点A出发,以每秒1个单位长的速度沿线段AB向终点B匀速运动,同时点Q从点E出发,以相同的速度沿线段EF向终点F匀速运动,设运动时间为t(秒).
(1)当t=5秒时,求PQ的长;
(2)当BQ平分∠ABC时,直线PQ将菱形ABCD的周长分成两部分,求这两部分的比;
(3)以P为圆心,PQ长为半径的⊙P是否能与直线AD相切?
如果能,求此时t的值;如果不能,说明理由.
19.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD为菱形,AB=10,AB边在x轴上,点D在y轴上,点A的坐标是(-6,0).
(1)求点C的坐标;
(2)连接BD,点P是线段CD上一动点(点P不与C、D两点重合),过点P作PE∥BC交BD于点E,过点B作BQ⊥PE交PE的延长线于点Q.设PC的长为x,PQ的长为y,求y与x之间的函数关系式(直接写出自变量x的取值范围);
(3)在
(2)的条件下,连接AQ、AE,当x为何值时,S△BQE+S△AQE=
S△DEP?
并判断此时以点P为圆心,以5为半径的⊙P与直线BC的位置关系,请说明理由.
20.在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,如图1.
(1)将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转90°,取DF的中点G,连接EG,CG,如图2,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?
请直接写出你的猜想;
(2)将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转180°,取DF的中点G,连接EG,CG,如图3,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?
请写出你的猜想,并加以证明;
(3)将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转任意角度,取DF的中点G,连接EG,CG,如图3,则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?
请写出你的猜想,并加以证明.
21.如图,将矩形OABC放置在平面直角坐标系中,点D在边OC上,点E在边OA上,把矩形沿直线DE翻折,使点O落在边AB上的点F处,且tan∠BFD=
.若线段OA的长是一元二次方程x2-7x-8=0的一个根,又2AB=3OA.请解答下列问题:
(1)求点B、F的坐标;
(2)求直线ED的解析式;
(3)在直线ED、FD上是否存在点M、N,使以点C、D、M、N为顶点的四边形是等腰梯形?
若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由.
22.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是梯形,BC∥OA,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,8),OA=OB.
(1)求点B的坐标;
(2)点P从点A出发,沿线段AO以1个单位/秒的速度向终点O匀速运动,过点P作PH⊥OA,交折线A-B-O于点H,设点P的运动时间为t秒(0≤t≤10).
①是否存在某个时刻t,使△OPH的面积等于△OAB面积的
?
若存在,求出t的值,若不存在,请说明理由;
②以P为圆心,PA长为半径作⊙P,当⊙P与线段OB只有一个公共点时,求t的值或t的取值范围.
23.如图,在Rt△OAB中,∠A=90°,∠ABO=30°,OB=
,边AB的垂直平分线CD分别与AB、x轴、y轴交于点C、E、D.
(1)求点E的坐标;
(2)求直线CD的解析式;
(3)在直线CD上和坐标平面内是否分别存在点Q、P,使得以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
24.在四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,设锐角∠DOC=α,将△DOC绕点O按逆时针方向旋转得到△D′OC′(0°<旋转角<90°),连接AC′、BD′,AC′与BD′相交于点M.
(1)当四边形ABCD是矩形时,如图1,请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并证明你的猜想;
(2)当四边形ABCD是平行四边形时,如图2,已知AC=kBD,请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系,并证明你的猜想;
(3)当四边形ABCD是等腰梯形时,如图3,AD∥BC,此时
(1)AC′与BD′的数量关系是否成立?
∠AMB与α的大小关系是否成立?
不必证明,直接写出结论.
25.如图l,己知正方形ABCD,点E、F分别在边AB、AD上,且AE=AF.
(1)如图2,将△AEF绕点A顺时针旋转∠α,当0°<α<90°时,连接BE、DF,判断线段BE、DF的数量关系和位置关系,并加以证明;
(2)如图3,将△AEF绕点A顺时针旋转∠α,当α=90°时,连接BE、DF,当AE与AD满足什么数量关系时,直线DF垂直平分BE?
请说明理由;
(3)如图4,将△AEF绕点A顺时针旋转∠α,当90°<α<180°时,连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF,则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形?
请说明理由.
26.如图,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到△MNK.
(1)若∠1=70°,求∠MKN的度数;
(2)△MNK的面积能否小于
?
若能,求出此时∠1的度数;若不能,试说明理由;
(3)如何折叠能够使△MNK的面积最大?
请你用备用图探究可能出现的情况,求最大值.
27.如图,等腰梯形MNPQ的上底长为2,腰长为3,一个底角为60°.正方形ABCD的边长为1,它的一边AD在MN上,且顶点A与M重合.现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚,翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动.
(1)请在所给的图中,用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图;
(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S.
28.已知四边形ABCD是边长为4的正方形,以AB为直径在正方形内作半圆,P是半圆上的动点(不与点A、B重合),连接PA、PB、PC、PD.
(1)如图①,当PA的长度等于_________时,∠PAB=60°;
当PA的长度等于_________时,△PAD是等腰三角形;
(2)如图②,以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴,建立如图所示的直角坐标系(点A即为原点O),记△PAD、△PAB、△PBC的面积分别为S1、S2、S3.设P点坐标为(a,b),试求2S1S3-S22的最大值,并求出此时a、b的值.
29.如图,把边长为1的正方形纸片OABC放在直线l上,OA边与直线l重合.将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时点O运动到了点O1处(即点B处),点C运动到了点C1处,点B运动到了点B1处;再将正方形纸片AO1C1B1绕顶点B1按顺时针方向旋转90°,……,按上述方法经过若干次旋转.请解答下列问题:
(1)求正方形纸片OABC经过3次旋转,顶点O经过的路程以及顶点O在此过程中所形成的图形与直线l围成图形的面积;
(2)求正方形纸片OABC经过5次旋转,顶点O经过的路程;
(3)正方形纸片OABC经过多少次旋转,顶点O经过的路程是
π?
30.如图,将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠:
对折、展平,得折痕EF(如图①);沿GC折叠,使点B落在EF上的点B′处(如图②);展平,得折痕GC(如图③);沿GH折叠,使点C落在DH上的点C′处(如图④);沿GC′折叠(如图⑤);展平,得折痕GC′、GH(如图⑥).
(1)求图②中∠BCB′的大小;
(2)图⑥中的△GCC′是正三角形吗?
请说明理由.
31.如图,在边长为2的正方形ABCD中,P为AB的中点,Q为边CD上一动点,设DQ=t(0≤t≤2),线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N,过Q作QE⊥AB于点E,过M作MF⊥BC于点F.
(1)当t≠1时,求证:
△PEQ≌△NFM;
(2)顺次连接P、M、Q、N,设四边形PMQN的面积为S,求出S与自变量t之间的函数关系式,并求S的最小值.
32.已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.
(1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形,并求AF的长;
(2)如图2,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,
①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.
②若点P、Q的运动路程分别为a、b(单位:
cm,ab≠0),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形,求a与b满足的数量关系式.
33.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=6,BC=8,AD=14,点E、F、G分别在BC、AB、AD上,且BE=3,BF=2,以EF、FG为邻边作□EFGH,连接CH、DH.
(1)直接写出点H到AD的距离;
(2)若点H落在梯形ABCD内或其边上,求△HGD面积的最大值与最小值;
(3)当△EHC为等腰三角形时,求AG的长.
34.已知菱形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上(点E、F分别不与点C、D重合),且AE=AF,∠EAF=54°.
(1)如图1,当AC平分∠EAF时,若AB=AE,求∠AEB的度数;
(2)如图2,当AC不平分∠EAF时,若△ABE是一个等腰三角形,求∠AEB的度数.
35.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90º,BC=2,D是线段BC上一点,以AD为边,在AD的右侧作正方形ADEF.直线AE与直线BC交于点G,连接CF.
(1)猜想线段CF与线段BD的数量关系和位置关系,并说明理由;
(2)连接FG,当△CFG是等腰三角形时,求BD的长.
36.在矩形ABCD中,点E是AD边上一点,∠ABE=30°,BE=DE,连接BD.动点M从点E出发沿射线ED运动,过点M作MN∥BD交直线BE于点N.
(1)如图1,当点M在线段ED上时,求证:
BE=PD+
MN;
(2)若BC=6,设MN长为x,以M、N、D为顶点的三角形面积为y,求y关于x的函数关系式;
(3)在
(2)的条件下,当点M运动到线段ED的中点时,连接NC,过点M作MF⊥NC于F,MF交对角线BD于点G(如图2),求线段MG的长.
37.在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1.将直角尺的顶点放在P处,直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F,连接EF(如图1).
(1)当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合(如图2),求PC的长;
(2)探究:
将直尺从图2中的位置开始,绕点P顺时针旋转,当点E和点A重合时停止.在这个过程中,请你观察、猜想,并解答:
①tan∠PEF的值是否发生变化?
请说明理由;
②直接写出从开始到停止,线段EF的中点经过的路线长.
38.已知菱形ABCD的边长为1,∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F.
(1)特殊发现:
如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点,求证:
菱形ABCD对角线AC、BD的交点O即为等边△AEF的外心;
(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动,记等边△AEF的外心为点P.
①猜想验证:
如图2,猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明;
②拓展运用:
如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断
+
是否为定值.若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
39.如图,在直角梯形ABCD中,∠D=∠BCD=90°,∠B=60°,AB=6,AD=9,点E是CD上的一个动点(E不与D重合),过点E作EF∥AC,交AD于点F(当E运动到C时,EF与AC重合),把△DEF沿着EF对折,点D的对应点是点G.设DE=x,△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y.
(1)求CD的长及∠1的度数;
(2)若点G恰好在BC上,求此时x的值;
(3)求y与x之间的函数关系式,并求x为何值时,y的值最大?
最大值是多少?
40.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=10,AB=3,BC=14,点E、F分别在BC、DC上,将梯形ABCD沿直线EF折叠,使点C落在AD上一点C′,再沿C′G折叠四边形C′ABE,使AC′与C′E重合,且C′A过点E.
(1)试证明C′G∥EF;
(2)若点A′与点E重合,求此时图形重叠部分的面积.
41.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=AB=1,BC=2.将点A折叠到CD边上,记折叠后A点对应的点为P(P与D点不重合),折痕EF只与边AD、BC相交,交点分别为E、F.过点P作PN∥BC交AB于N,交EF于M,连结PA、PE、AM,EF与PA相交于O.
(1)指出四边形PEAM的形状(不需证明);
(2)记∠EPM=α,△AOM、△AMN的面积分别为S1、S2.
①求证:
=
PA2;
②设AN=x,y=
,试求出以x为自变量的函数y的解析式,并确定y的取值范围.
42.如图1,边长为2的正方形ABCD中,E是BA延长线上一点,且AE=AB,点P从点D出发,以每秒1个单位长度的速度沿D→C→B向终点B运动,直线EP交AD于F,过点F作直线FG⊥DE于G,交AB于Q.设点P运动时间为t(秒).
(1)求证:
AF=AQ;
(2)当t为何值时,四边形PQBC是矩形?
(3)如图2,连接PB,当t为何值时,△PQB是等腰三角形?
43.如图1,已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=AD=4,BC=6.点E为AB边上一点,EF∥DC,交BC边于点F,FG∥ED,交DC边于点G.
(1)若四边形DEFG为矩形,求AE的长;
(2)如图2,将
(1)中的∠DEF绕E点逆时针旋转,得到∠D′EF′,EF′交BC边于F′点,且F′点与C点不重合,射线ED′交AD边于点M,作F′N∥ED′交DC边于点N.设AM的长为x,△NF′C中,F′C边上的高为y,求y关于x的函数关系式,并确定自变量x的取值范围.
44.如图,四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0),A(8,0),B(4,4),C(0,4),直线l:
y=kx+b保持与四边形OABC的边交于点M、N(M在折线AOC上,N在折线ABC上)设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1,在l左上方部分的面积为S2,记S=|S1-S2|.
(1)求∠OAB的大小;
(2)当M、N重合时,求l的解析式;
(3)当b≤0时,问线段AB上是否存在点N使得S=0?
若存在,求b的值;若不存在,请说明理由;
(4)求S与b的函数关系式。
45.如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=4,AD=5,BD=3,以B点为坐标原点、AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系.将平行四边形ABCD绕B点逆时针方向旋转,使C点落在y轴正半轴上,C、D、A三点旋转后的位置分别是E、F和G三点.
(1)求证:
点D在y轴上;
(2)若直线y=kx+b经过E、F两点,求直线EF的解析式;
(3)将平行四边形EFGB沿y轴正半轴向上平移,得平行四边形E′F′G′B′.设BB′=m(0<m≤3),平行四边形E′F′G′B′与平行四边形ABCD重叠部分的面积为S,求S关于m的函数关系式.
46.已知矩形ABCD中,AB=7,AD=6,菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、