高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形43三角函数的图象与性质教师用书理苏教.docx
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高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形43三角函数的图象与性质教师用书理苏教
【2019最新】精选高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4-3三角函数的图象与性质教师用书理苏教
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
（0，0），（，1），（π，0），（，－1），（2π，0）.
余弦函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
（0，1），（，0），（π，－1），（，0），（2π，1）.
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数
y＝sinx
y＝cosx
y＝tanx
图象
定义域
R
R
{x|x∈R且x≠
＋kπ，k∈Z}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
单调性
在[－
＋2kπ，
＋2kπ]（k∈Z）上递增；
在[
＋2kπ，
＋2kπ]（k∈Z）上递减
在[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上递增；
在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上递减
在（－
＋kπ，
＋kπ）（k∈Z）上递增
最值
当x＝
＋2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
当x＝－
＋2kπ（k∈Z）时，ymin＝－1
当x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
当x＝π＋2kπ（k∈Z）时，ymin＝－1
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
对称中心
（kπ，0）（k∈Z）
（
＋kπ，0）（k∈Z）
（
，0）（k∈Z）
对称轴方程
x＝
＋kπ（k∈Z）
x＝kπ（k∈Z）
周期
2π
2π
π
【知识拓展】
1.对称与周期
（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
（2）正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.奇偶性
若f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω≠0），则
（1）f（x）为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ（k∈Z）；
（2）f（x）为奇函数的充要条件是φ＝kπ（k∈Z）.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）y＝sinx在第一、第四象限是增函数.（ × ）
（2）常数函数f（x）＝a是周期函数，它没有最小正周期.（ √ ）
（3）正切函数y＝tanx在定义域内是增函数.（ × ）
（4）已知y＝ksinx＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.（ × ）
（5）y＝sin|x|是偶函数.（ √ ）
（6）若sinx>，则x>.（ × ）
1.函数f（x）＝cos（2x－）的最小正周期是________.
答案 π
解析 最小正周期为T＝＝＝π.
2.（教材改编）函数y＝－tanx的单调递减区间是________________.
答案 （－＋kπ，＋kπ）（k∈Z）
解析 因为y＝tanx与y＝－tanx的单调性相反，
所以y＝－tanx的单调递减区间为（－＋kπ，＋kπ）（k∈Z）.
3.（教材改编）sin11°，cos10°，sin168°的大小关系为________________.
答案 sin11°＜sin168°＜cos10°
解析 sin168°＝sin（180°－12°）＝sin12°，
cos10°＝sin（90°－10°）＝sin80°，
又y＝sinx在[0°，90°]上是增函数，
∴sin11°＜sin12°＜sin80°，
即sin11°＜sin168°＜cos10°.
4.（教材改编）y＝1＋sinx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝的交点个数为________.
答案 2
解析 在同一坐标系中作出函数y＝1＋sinx，x∈[0，2π]和y＝的图象（图略），由图象可得有两个交点.
5.（教材改编）下列满足函数y＝tan的条件是________.（填序号）
①在（0，）上单调递增；
②为奇函数；
③以π为最小正周期；
④定义域为{x|x≠＋，k∈Z}.
答案 ①②
解析 ①令0∴y＝tan在（0，）上单调递增；
②tan（－）＝－tan，故为奇函数；
③T＝＝2π，故③不正确；
④令≠＋kπ（k∈Z），得x≠π＋2kπ（k∈Z），
∴定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，
∴④不正确.
题型一 三角函数的定义域和值域
例1
（1）函数f（x）＝－2tan（2x＋）的定义域是____________.
（2）（2016·苏州模拟）已知函数f（x）＝sin（x＋），其中x∈[－，a]，若f（x）的值域是[－，1]，则实数a的取值范围是________.
答案
（1）{x|x≠＋，k∈Z}
（2）[，π]
解析
（1）由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
所以f（x）的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}.
（2）∵x∈[－，a]，∴x＋∈[－，a＋]，
∵x＋∈[－，]时，f（x）的值域为[－，1]，
∴由函数的图象知≤a＋≤，∴≤a≤π.
思维升华
（1）三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
（2）三角函数值域的不同求法
①利用sinx和cosx的值域直接求；
②把所给的三角函数式变换成y＝Asin（ωx＋φ）的形式求值域；
③通过换元，转换成二次函数求值域.
（1）函数y＝lg（sinx）＋的定义域为 .
（2）函数y＝2sin（－）（0≤x≤9）的最大值与最小值的和为__________.
答案
（1）
（2）2－
解析
（1）要使函数有意义必须有
即解得
∴2kπ＜x≤＋2kπ（k∈Z），
∴函数的定义域为.
（2）∵0≤x≤9，∴－≤－≤，
∴－≤sin（－）≤1，
故－≤2sin（－）≤2.
即函数y＝2sin（－）（0≤x≤9）的最大值为2，最小值为－.
∴最大值与最小值的和为2－.
题型二 三角函数的单调性
例2
（1）函数f（x）＝tan的单调递增区间是________________.
（2）已知ω＞0，函数f（x）＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________.
答案
（1）（k∈Z）
（2）
解析
（1）由kπ－＜2x－＜kπ＋（k∈Z），
得－＜x＜＋（k∈Z），
所以函数f（x）＝tan的单调递增区间为
（k∈Z）.
（2）由＜x＜π，ω＞0，得
＋＜ωx＋＜ωπ＋，
又y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z，
所以
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－（2k＋）≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈[，].
引申探究
本例
（2）中，若已知ω>0，函数f（x）＝cos（ωx＋）在（，π）上单调递增，则ω的取值范围是____________.
答案 [，]
解析 函数y＝cosx的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，
则
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，
又由4k－－≤0，k∈Z且2k－＞0，k∈Z，
得k＝1，所以ω∈.
思维升华
（1）已知三角函数解析式求单调区间：
①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）（其中ω＞0）的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.
（2）已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
（1）函数f（x）＝sin的单调减区间为________.
（2）若函数f（x）＝sinωx（ω＞0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝________.
答案
（1），k∈Z
（2）
解析
（1）由已知函数得y＝－sin，
欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所给函数的单调减区间为（k∈Z）.
（2）∵f（x）＝sinωx（ω＞0）过原点，
∴当0≤ωx≤，即0≤x≤时，
y＝sinωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，
y＝sinωx是减函数.
由f（x）＝sinωx（ω＞0）在上单调递增，
在上单调递减，知＝，
∴ω＝.
题型三 三角函数的周期性、对称性
命题点1 周期性
例3
（1）在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为________.
（2）若函数f（x）＝2tan（kx＋）的最小正周期T满足1答案
（1）①②③
（2）2或3
解析
（1）①y＝cos|2x|＝cos2x，最小正周期为π；
②由图象知y＝|cosx|的最小正周期为π；
③y＝cos的最小正周期T＝＝π；
④y＝tan的最小正周期T＝.
（2）由题意得，1<<2，
∴k<π<2k，即又k∈Z，∴k＝2或3.
命题点2 对称性
例4 （2016·盐城模拟）当x＝时，函数f（x）＝sin（x＋φ）取得最小值，则下列关于函数y＝f（－x）的说法正确的是________.
①是奇函数且图象关于点（，0）对称；
②是偶函数且图象关于点（π，0）对称；
③是奇函数且图象关于直线x＝对称；
④是偶函数且图象关于直线x＝π对称.
答案 ③
解析 ∵当x＝时，函数f（x）取得最小值，
∴sin（＋φ）＝－1，∴φ＝2kπ－（k∈Z），
∴f（x）＝sin（x＋2kπ－）＝sin（x－），
∴y＝f（－x）＝sin（－x）＝－sinx，
∴y＝f（－x）是奇函数，且图象关于直线x＝对称.
命题点3 对称性的应用
例5
（1）已知函数y＝2sin的图象关于点P（x0，0）对称，若x0∈，则x0＝________.
（2）若函数y＝cos（ωx＋）（ω∈N*）图象的一个对称中心是（，0），则ω的最小值为________.
答案
（1）－
（2）2
解析
（1）由题意可知2x0＋＝kπ，k∈Z，
故x0＝－，k∈Z，
又x0∈，∴－≤k≤，k∈Z，
∴k＝0，则x0＝－.
（2）由题意知π＋＝kπ＋（k∈Z），
∴ω＝6k＋2（k∈Z），又ω∈N*，∴ωmin＝2.
思维升华
（1）对于函数y＝Asin（ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点（x0，0）是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f（x0）的值进行判断.
（2）求三角函数周期的方法
①利用周期函数的定义.
②利用公式：
y＝Asin（ωx＋φ）和y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx＋φ）的最小正周期为.
（1）（2016·常州模拟）已知函数f（x）＝2sin（x＋），若对任意的实数x，总有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x1－x2|的最小值是________.
（2）如果函数y＝3cos（2x＋φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为________.
答案
（1）2
（2）
解析
（1）由题意可得|x1－x2|的最小值为半个周期，
即＝＝2.
（2）由题意得3cos（2×＋φ）＝3cos（＋φ＋2π）
＝3cos（＋φ）＝0，
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.
5.三角函数的性质
考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分.
典例
（1）（2015·课标全国Ⅰ改编）函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为________________.
（2）已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）＋b对任意实数x有f（x＋）＝f（－x）成立，且f（）＝1，则实数b的值为________.
（3）已知函数f（x）＝2sinωx（ω＞0）在区间上的最小值是－2，则ω的最小值为________.
解析
（1）由图象知，周期T＝2×＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f（x）＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－（2）由f（x＋）＝f（－x）可知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）＋b关于直线x＝对称，又函数f（x）在对称轴处取得最值，故±2＋b＝1，∴b＝－1或b＝3.
（3）∵ω＞0，－≤x≤，
∴－≤ωx≤.
由已知条件知－≤－，
∴ω≥.
答案
（1），k∈Z
（2）－1或3（3）
1.若函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>0且|φ|<）在区间[，]上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f（）＝________.
答案
解析 由题意得函数f（x）的周期T＝2（－）＝π，所以ω＝2，此时f（x）＝sin（2x＋φ），将点（，1）代入上式得sin（＋φ）＝1（|φ|<），所以φ＝，
所以f（x）＝sin（2x＋），
于是f（）＝sin（＋）＝cos＝.
2.函数y＝的定义域为______________.
答案 [2kπ＋，2kπ＋π]，k∈Z
解析 由2sinx－1≥0，得sinx≥，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
3.关于函数y＝tan（2x－），下列说法正确的是________.
①是奇函数；
②在区间（0，）上单调递减；
③（，0）为其图象的一个对称中心；
④最小正周期为π.
答案 ③
解析 函数y＝tan（2x－）是非奇非偶函数，①错误；在区间（0，）上单调递增，②错误；最小正周期为，④错误.
∵当x＝时，tan（2×－）＝0，
∴（，0）为其图象的一个对称中心.
4.若函数f（x）＝－cos2x，则f（x）的一个递增区间为________.
①（－，0）②（0，）
③（，）④（，π）
答案 ②
解析 由f（x）＝－cos2x知递增区间为[kπ，kπ＋]，k∈Z，故只有②满足.
5.已知函数f（x）＝－2sin（2x＋φ）（|φ|<π），若f（）＝－2，则f（x）的一个单调递减区间是________.
①[－，]②[，]
③[－，]④[，]
答案 ③
解析 由f（）＝－2，得
f（）＝－2sin（2×＋φ）＝－2sin（＋φ）＝－2，
所以sin（＋φ）＝1.
因为|φ|<π，所以φ＝.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
当k＝0时，－≤x≤.
6.（2016·南京模拟）已知函数f（x）＝2sin（ωx－）＋1（x∈R）的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈（1，2），则函数f（x）的最小正周期为________.
答案
解析 由函数f（x）＝2sin（ωx－）＋1（x∈R）的图象的一条对称轴为x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z，∴ω＝k＋，∴ω＝，从而得函数f（x）的最小正周期为＝.
7.函数y＝sinx的图象和y＝的图象交点的个数是________.
答案 3
解析 在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图所示：
由图可知交点个数是3.
8.函数y＝cos2x＋sinx（|x|≤）的最小值为________________________________________.
答案
解析 令t＝sinx，∵|x|≤，
∴t∈.
∴y＝－t2＋t＋1＝－2＋，
∴当t＝－时，ymin＝.
9.函数y＝cos（－2x）的单调减区间为______________.
答案 [kπ＋，kπ＋]（k∈Z）
解析 由y＝cos（－2x）＝cos（2x－），
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π（k∈Z），
解得kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），
所以函数的单调减区间为[kπ＋，kπ＋]（k∈Z）.
10.用“五点法”作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
（1）观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间.
①y＞1；②y＜1.
（2）若直线y＝a与y＝1－2sinx，x∈[－π，π]有两个交点，求a的取值范围.
解 列表如下：
x
－π
－
0
π
sinx
0
－1
0
1
0
1－2sinx
1
3
1
－1
1
描点连线得：
（1）由图象可知图象在y＝1上方部分时y＞1，在y＝1下方部分时y＜1，
所以①当x∈（－π，0）时，y＞1；②当x∈（0，π）时，y＜1.
（2）如图所示，当直线y＝a与y＝1－2sinx有两个交点时，1＜a＜3或－1＜a＜1，
所以a的取值范围是{a|1＜a＜3或－1＜a＜1}.
11.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（0<φ<）的最小正周期为π.
（1）求当f（x）为偶函数时φ的值；
（2）若f（x）的图象过点（，），求f（x）的单调递增区间.
解 ∵f（x）的最小正周期为π，则T＝＝π，
∴ω＝2，∴f（x）＝sin（2x＋φ）.
（1）当f（x）为偶函数时，f（－x）＝f（x），
∴sin（2x＋φ）＝sin（－2x＋φ），
将上式展开整理得sin2xcosφ＝0，
由已知上式对∀x∈R都成立，
∴cosφ＝0，∵0<φ<，∴φ＝.
（2）f（x）的图象过点（，）时，
sin（2×＋φ）＝，即sin（＋φ）＝.
又∵0<φ<，∴<＋φ<π，
∴＋φ＝，φ＝，
∴f（x）＝sin（2x＋）.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为
[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
12.（2015·北京）已知函数f（x）＝sinx－2sin2.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最小值.
解
（1）因为f（x）＝sinx＋cosx－
＝2sin－，
所以f（x）的最小正周期为2π.
（2）因为0≤x≤，所以≤x＋≤π.
当x＋＝π，即x＝时，f（x）取得最小值.
所以f（x）在区间上的最小值为f＝－.
*13.已知a>0，函数f（x）＝－2asin＋2a＋b，当x∈时，－5≤f（x）≤1.
（1）求常数a，b的值；
（2）设g（x）＝f且lgg（x）>0，求g（x）的单调区间.
解
（1）∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]，
∴f（x）∈[b，3a＋b]，又∵－5≤f（x）≤1，
∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.
（2）由
（1）得f（x）＝－4sin－1，
g（x）＝f＝－4sin－1
＝4sin－1，
又由lgg（x）>0，得g（x）>1，
∴4sin－1>1，∴sin>，
∴2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z，
其中当2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z时，
g（x）单调递增，即kπ∴g（x）的单调增区间为，k∈Z.
又∵当2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z时，
g（x）单调递减，即kπ＋∴g（x）的单调减区间为，k∈Z.
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