高中数学 11 指数与指数幂的运算 第3课时示范教案 新人教A版必修1.docx
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高中数学11指数与指数幂的运算第3课时示范教案新人教A版必修1
第3课时指数与指数幂的运算（3）
导入新课
思路1.
同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?
回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数（有理数）,有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:
教师板书本堂课的课题（指数与指数幂的运算（3））之无理数指数幂.
思路2.
同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:
指数与指数幂的运算（3）之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.
推进新课
新知探究
提出问题
①我们知道
=1.41421356…,那么1.41,1.414,1.4142,1.41421,…,是
的什么近似值？
而1.42,1.415,1.4143,1.41422,…,是
的什么近似值？
②多媒体显示以下图表:
同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?
的过剩近似值5
5
的近似值
1.5
1.42
1.415
1.4143
1.41422
1.414214
5
的近似值
的不足近似值
9.518269694
1.4
9.672669973
1.41
9.735171039
1.414
9.738305174
1.4142
9.738461907
1.414213
9.738508928
1.414213
9.738516765
1.4142135
9.738517705
1.41421356
9.738517736
1.414213562
③你能给上述思想起个名字吗?
④一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?
如5
根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?
⑤借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?
活动：
教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:
问题①从近似值的分类来考虑,一方面从大于
的方向,另一方面从小于
的方向.
问题②对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.
问题③上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.
问题④对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.
问题⑤在③④的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.
讨论结果：
①1.41,1.414,1.4142,1.41421,…这些数都小于
称
的不足近似值,而1.42,1.415,1.4143,1.41422,…,这些数都大于
称
的过剩近似值.
的方向逼近5
.
第二个表:
从小于2的方向逼近
时,5
就从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,即小于5
的方向逼近5
.
从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面5
从51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,即小于5
的方向接近5
而另一方面5
从5
即逼近5
所以5
是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.4142,51.41421,…,和另一串有理从两个方向向表示5
的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是5
一定是一个实数,即51.4<51.41<51.414<51.4142<51.41421<…<5
<…<51.41422<51.4143<51.415<51.42<51.5.
充分表明5
是一个实数.
③逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识.
④根据②③我们可以推断5
是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数.
⑤无理数指数幂的意义:
一般地,无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数.
也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.
提出问题
（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?
（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?
是否与有理数指数幂的运算法则相通呢?
（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?
活动：
教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳.
对问题
（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.
对问题
（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂aα（a>0,α是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通.
对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.
讨论结果：
（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么aα是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂aα是一个确定的实数,就不会再造成混乱.
（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则:
①ar·as=ar+s（a>0,r,s都是无理数）.
②（ar）s=ars（a>0,r,s都是无理数）.
③（a·b）r=arbr（a>0,b>0,r是无理数）.
（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.
实数指数幂的运算性质:
对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:
①ar·as=ar+s（a>0,r,s∈R）.
②（ar）s=ars（a>0,r,s∈R）.
③（a·b）r=arbr（a>0,b>0,r∈R）.
应用示例
思路1
例1利用函数计算器计算.（精确到0.001）
（1）0.32.1;
（2）3.14-3;（3）3.1
;（4）
.
活动：
教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于
（1）,可先按底数0.3,再按
键,再按幂指数2.1,最后按
即可求得它的值；
对于
（2）,先按底数3.14,再按
键,再按负号
键,再按3,最后按
即可;
对于（3）,先按底数3.1,再按
键,再按3
4,最后按
即可;
对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按
键,再按
键,再按3,最后按
键.有时也可按
或
键,使用键上面的功能去运算.
学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.
答案：
（1）0.32.1≈0.080;
（2）3.14-3≈0.032;
（3）3.1
≈2.336;（4）
≈6.705.
点评：
熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n位,只需看第（n+1）位能否进位即可.
例2求值或化简.
（1）
（a>0,b>0）;
（2）（
）
（a>0,b>0）;
（3）
.
活动：
学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对
（1）由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对
（2）既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对（3）有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成（
）2+（
）2,22+（
）2,22+（
）2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.
解：
（1）
=
（a
b
）
=a-2ba
b
=a
b
=
.
点评：
根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.
（2）（
）
=
a
a
b
b
=
a0b0=
.
点评：
化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.
（3）
=
=
-
+2-
-2+
=0.
点评：
考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.
例3已知x=
（5
-5
）,n∈N*,求（x+
）n的值.
活动：
学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5
与5
具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.
x2=
（5
-5
）2=
（5
-2·50+5
）
=
（5
+2+5
-4）
=
（5
+5
）2-1.
这时应看到
1+x2=1+
（
-5
）2=
（5
+5
）2,
这样先算出1+x2,再算出
带入即可.
解：
将x=
（5
-5
）代入1+x2，得1+x2=1+
（5
-5
）2=
（5
+5
）n,
所以（x+
）n=［
（5
-5
）+
］n
=［
（5
-5
）+
（5
+5
）］n=（5
）n=5.
点评：
运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.
思路2
例1计算:
（1）
;
（2）125
+（
）-2+343
-（
）
;
（3）（-2x
y
）（3x
y
）；
（4）（x
-y
）÷（x
-y
）.
活动：
学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引导,对
（1）根式的运算常常化成幂的运算进行,对
（2）充分利用指数幂的运算法则来进行,对（3）则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对（4）要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价.
解：
（1）
=（
）
+（
）
+（0.0625）
+1-
=（
）2×
+（
）
+（0.5）
+
=
+
+0.5+
=5;
（2）125
+（
）-2+343
-（
）
=（53）
+（2-1）-2+（73）
-（3-3）
=5
+2-2×（-1）+7
-3
=25+4+7-3=33;
（3）（-2x
y
）（3x
y
）=（-2×3）（x
x
·y
y
）
=
=-6x
y
=
;
（4）（x
-y
）÷（x
-y
）=（（x
）2-（y
）2）÷（x
-y
）
=（x
+y
）（x
-y
）÷（x
-y
）
=x
+y
.
点评：
在指数运算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.
例2化简下列各式:
（1）
;
（
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