高二数学两条直线的交点教案 人教版.docx

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高二数学两条直线的交点教案人教版

2019-2020年高二数学两条直线的交点教案人教版

一、教学目标

（一）知识教学点

知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解，会应用这种对应关系通过方程判断两直线的位置关系，以及由已知两直线的位置关系求它们方程的系数所应满足的条件．

（二）能力训练点

通过研究两直线的位置关系与它们对应方程组的解，培养学生的数形结合能力；通过对方程组解的讨论培养学生的分类思想；求出x后直接分析出y的表达式，培养学生的抽象思维能力与类比思维能力．

（三）学科渗透点

通过学习两直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的对应关系，培养学生的转化思想．

二、教材分析

1．重点：

两条直线的位置关系与它们所对应的方程组的解的个数的对应关系，本节是从交点个数为特征对两直线位置关系的进一步讨论．

2．难点：

对方程组系数中含有未知数的两直线的位置关系的讨论．

3．疑点：

当方程组中有一个未知数的系数为零时两直线位置关系的简要说明．

三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．

四、教学过程

（一）两直线交点与方程组解的关系

设两直线的方程是

l1：

　A1x+B1y+c1=0，　l2：

　A2x+B2y+C2=0．

如果两条直线相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点．因此，两条直线是否相交，就要看这两条直线的方程所组成的方程组

是否有唯一解．

（二）对方程组的解的讨论

若A1、A2、B1、B2中有一个或两个为零，则两直线中至少有一条与坐标轴平行，很容易得到两直线的位置关系．

下面设A1、A2、B1、B2全不为零．

解这个方程组：

（1）×B2得　A1B2x+B1B2y+B2C1=0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3）

（2）×B1得　A2B1x+B1B2y+B1C2=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4）

（3）-（4）得（A1B2-A2B1）x+B2C1-B1C2=0．

下面分两种情况讨论：

将上面表达式中右边的A1、A2分别用B1、B2代入即可得

上面得到y可把方程组写成

即将x用y换，A1、A2分别与B1、B2对换后上面的方程组还原成原方程组．

综上所述，方程组有唯一解：

这时l1与l2相交，上面x和y的值就是交点的坐标．

（2）当A1B2-A2B1=0时：

①当B1C2-B2C1≠0时，这时C1、C2不能全为零（为什么？

）．设C2

②如果B1C2-B2C1=0，这时C1、C2或全为零或全不为零（当C1、

（三）统一通过解方程组研究两直线的位置关系与通过斜率研究两直线位置关系的结论

说明：

在平面几何中，我们研究两直线的位置关系时，不考虑两条直线重合的情况，而在解析几何中，由于两个不同的方程可以表示同一条直线，我们把重合也作为两直线的一种位置关系来研究．

（四）例题

例1　求下列两条直线的交点：

l1：

3x+4y-2=0，　l2：

　2x+y+2=0．

解：

解方程组∴l1与l2的交点是M（-2，2）．

例2　已知两条直线：

l1：

　x+my+6=0，l2：

　（m-2）x+3y+2m=0．

当m为何值时，l1与l2：

（1）相交，

（2）平行，（3）重合．

解：

将两直线的方程组成方程组

解得m=-1或m=3．

（2）当m=-1时，方程组为

∴方程无解，l1与l2平行．

（3）当m=3时，方程组为

两方程为同一个方程，l1与l2重合．

（五）课后小结

（1）两直线的位置关系与它们对应的方程的解的个数的对应关系．

（2）直线的三种位置关系所对应的方程特征．

（3）对方程组中系数含有字母的两直线位置关系的讨论方法．

五、布置作业

1．（教材第35页，1．9练习第2题）判断下列各对直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标：

2．（教材第35页，1．9练习第3题）A和C取什么值时，直线Ax-2y-1=0和直线6x-4y+c=0

（1）平行；

（2）重合；（3）相交．

解：

（1）A=3，C≠-2；

（2）A=3，C=-2；（3）A≠3．

3．（习题三第7题）已知两条直线：

l1：

（3+m）x+4y=5-3m，

l2：

2x+（5+m）y=8．

m为何值时，l1与l2：

（1）相交；

（2）平行；（3）重合．

解：

（1）m≠1且m≠-7；

（2）m=-7；（3）m=-1．

六、板书设计

2019-2020年高二数学两条直线的平行与垂直教案人教版

一、教学目标

（一）知识教学点

掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．

（二）能力训练点

通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．

（三）学科渗透点

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．

二、教材分析

1．重点：

两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．

2．难点：

启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．

3．疑点：

对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好这个问题．

三、活动设计提问、讨论、解答．

四、教学过程

（一）特殊情况下的两直线平行与垂直

这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．

当两条直线中有一条直线没有斜率时：

（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；

（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

（二）斜率存在时两直线的平行与垂直

设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是

l1：

　y=k1x+b1；　l2：

　y=k2x+b2．

两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．

我们首先研究两条直线平行（不重合）的情形．如果l1∥l2（图1-29），那么它们的倾斜角相等：

α1=α2．∴tgα1=tgα2．

即　k1=k2．

反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tgα1=tgα2．

由于0°≤α1＜180°，　0°≤α＜180°，∴α1=α2．∵两直线不重合，∴l1∥l2．

两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即eq\x（）

要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．

现在研究两条直线垂直的情形．

如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．

设α2＜α1（图1-30），甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有

α1=90°+α2．

因为l1、l2的斜率是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．

可以推出　α1=90°+α2．l1⊥l2．

两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即

eq\x（

）

（三）例题

例1　已知两条直线

l1：

　2x-4y+7=0，　L2：

　x-2y+5=0．

求证：

l1∥l2．

证明两直线平行，需说明两个要点：

（1）两直线斜率相等；

（2）两直线不重合．

证明：

把l1、l2的方程写成斜截式：

∴两直线不相交．

∵两直线不重合，∴l1∥l2．

例2求过点　A（1，-4），且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．

即　2x+3y+10=　0．

解法2　因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，将A（1，-4）代入有m=10，故所求直线方程为2x+3y+10=0．

例3　已知两条直线l1：

　2x-4y+7=0，　l2：

　2x+y-5=0．

求证：

l1⊥l2．

∴l1⊥l2．

例4　求过点A（2，1），且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程．

解法1　已知直线的斜率k1=-2．

∵所求直线与已知直线垂直，

根据点斜式得所求直线的方程是就是　x-2y=0．

解法2　因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A（2，1）代入方程得m=0，所求直线的方程是x-2y=0．

（四）课后小结

（1）斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；

（2）两斜率存在的直线垂直的等价条件；

（3）与已知直线平行的直线的设法；（4）与已知直线垂直的直线的设法．

五、布置作业

1．（1．7练习第1题）判断下列各对直线是否平行或垂直：

（1）y=3x+4和2x-6y+1=0；

（2）y=x与3x十3y-10=0；

（3）3x+4y=5与6x-8y=7；

解：

（1）平行；

（2）垂直；（3）不平行也不垂直；（4）垂直．

2．（1．7练习第2题）求过点A（2，3），且分别适合下列条件的直线方程：

（1）平行于直线2x+5-5=0；

（2）垂直于直线x-y-2=0；

解：

（1）2x+y-7=0；

（2）x+y-5=0．

3．（1．7练习第3题）已知两条直线l1、l2，其中一条没有斜率，这两条直线什么时候：

（1）平行；

（2）垂直．分别写出逆命题并判断逆命题是否成立．

解：

（1）另一条也没有斜率．逆命题：

两条直线，其中一条没有斜率，如果这两条直线平行，那么另一条直线也没有斜率；逆命题成立．

（2）另一条斜率为零．逆命题：

两条直线，其中一条没有斜率，如果另一条直线和这一条直线垂直，那么另一条直线的斜率为零；逆命题成立．

4．（习题三第3题）已知三角形三个顶点是A（4，0）、B（6，7）、C（0，3），求这个三角形的三条高所在的直线方程．

也就是　2x+7y-21=0．

同理可得BC边上的高所在直线方程为3x+2y-12=0．

AC边上的高所在的直线方程为4x-3y-3=0．

六、板书设计