阿氏圆.doc

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阿氏圆整理

阿氏圆基本解法：

构造相似

阿氏圆一般解题步骤：

第一步：

连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；

第二步：

计算出所连接的这两条线段OP、OD长度；

第三步：

计算这两条线段长度的比；

第四步：

在OD上取点M，使得；

第五步：

连接CM，与圆O交点即为点P．

例题讲解：

例1、如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的値；

（3）如图2，在

（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．

第28题图1

第28题图2

解：

（1）把点A（4，0）代入y＝ax2＋（a＋3）x＋3，得

16a＋4（a＋3）＋3＝0．

解得a＝－．

∴抛物线的函数表达式为：

y＝－x2＋x＋3．

把x＝0代入上式，得y＝3．

∴点B的坐标为（0，3）．

由A（4，0），B（0，3）可得直线AB的函数表达式为：

y＝－x＋3．

（2）根据题意，得

OE＝m，AE＝4－m，AB＝5，点P的坐标可表示为（m，－m2＋m＋3）．

∴PE＝－m2＋m＋3……………………………………………………①

∵△AEN∽△AOB，∴＝＝．∴＝＝．

∴AN＝（4－m），NE＝（4－m）．

∵△PMN∽△AEN，且＝，

∴＝．∴PN＝AN＝×（4－m）＝（4－m）．

∴PE＝NE＋PN＝（4－m）＋（4－m）＝（4－m）………………………...②

由①、②，得

－m2＋m＋3＝（4－m）．

解得m1＝2，m2＝4（不合题意，舍去）．

∴m的値为2．

（3）在

（2）的条件下，m的値为2，点E（2，0），OE＝2．∴OE′＝OE＝2．

如图，取点F（0，），连接FE′、AF．则OF＝，AF＝＝．

第28题答案图

∵＝＝，＝，且∠FOE′＝∠E′OB，∴△FOE′∽△E′OB．∴＝．∴FE′＝E′B．

∴E′A＋E′B＝E′A＋FE′≥AF＝．

∴E′A＋E′B的最小值为．

巩固练习：

1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB﹦90°，CB﹦4，CA﹦6，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，最小值为（）

A、B、C、D、

2、如图，在△ABC中，∠B﹦90°，AB﹦CB﹦2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是．

3、如图，菱形ABCD的边长为2，锐角大小为60°，⊙A与BC相切于点E，在⊙A上任取一点P，则的最小值为．

y

x

4、在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，2），C（4，0），D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA﹦135°，则2PD﹢PC的最小值是．

5、

（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．

（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．

（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦90°，圆B的半径为,2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．

图1图2图3

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