广东省广州市海珠区学年九年级上学期期末数学试题.docx

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广东省广州市海珠区学年九年级上学期期末数学试题

广东省广州市海珠区2020-2021学年九年级上学期期末数学

试题

学校:

姓名：

班级：

考号：

一、单选题

1.我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成.这四个图案中既是轴

对称图形，又是中心对称图形的是（）

2.如图所示，在RtZ\A8C中，。

为A8中点，DE/IBC交AC于E则△?

1£）石与

△A3C的面积比为（）.

A.1:

1B.1:

2C.1:

3D.1:

4

3.下列关于x的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）

A.x2+2x-3=0B.x2+1=0C・4x2+4x+l=0D.x2+x+3=0

4.如图，PA,必是。

。

的切线，A,8为切点，AC是O。

的直径，N1MC=15。

，则N尸的度数为（）

A.25°B.30°C.45°D.50°

5.如图，AB是。

0的一条弦，0D1AB于点C,交。

0于点D,连接0A.若AB=4,

CD=1,则。

0的半径为（）

L5

A.5B.J5C.3D.-

2

6.要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场

D.约也=15

比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（）

A.x（x-1）=15B.x（x+1）=15

7.下列4x4的正方形网格中，小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上，则

与仆ABC相似的三角形所在的网格图形是（）

8.已知二次函数y=3（x+l）2+Z的图象上有三点，A（O.5,y）,6（2,%）,C（-2,y3）

则力，为，％的大小关系为（）

A.凹,%B.必＞乃＞凹C.力＞D・

9.二次函数丁=一/一2'+机，在_3＜工42的范围内有最小值一3,则〃？

的值是（）

A.-6B.-2C.2D.5

10.已知：

A8是。

。

的直径，AO,8C是。

。

的切线，夕是。

。

上一动点，若40=10,

Q4=4,3C=16,则步。

。

的面积的最小值是（）

B

A.36B.32C.24D.10.4

二、填空题

H.如图，点A、B、。

都在上，若NAOB=72°,则NAC3的度数是

13.如图，在平面直角坐标系xQv中，以原点为位似中心线段CO与线段A8是位似

图形，若C（2,3）,0（3/），A（4,6）,则8的坐标为.

14.如图，已知圆锥的母线长为2,高所在直线与母线的夹角为30。

，则圆锥的全面积

15.如图，AODC是由AOAB绕点O顺时针旋转40。

后得到的图形，若点D恰好落

在AB上，且NAOC=105。

，则NC=

D

R

16.二次函数y=ax2+bx+c（a^O）的部分图象如图，图象过点（-1,0）,对称轴为直线x=2,下列结论：

04a+b=0；②9a+c>3b：

®8a+7b+2c>0；④当x>-l时，y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有（填序号）

三、解答题

17.解下列一元二次方程：

⑴x2+6x+5=0

（2）16（x+1）2=25

18.如图，AA3C在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（—1,5）,8（7,2）,

。

（一2⑵.

（1）将AA3C绕点。

逆时针旋转90。

后，得到"与G，请画出乂।与G：

（2）求旋转过程中点4经过的路径长（结果保留乃）

19.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,M是BC的中点，DELAM于点E.

（1）求证：

△ADEs/^MAB：

（2）求DE的长.

20.已知关于x的一元二次方程x2+6x+（2///+1）=0有实数根.

（1）求初的取值范围;

（2）如果方程的两个实数根为演,&，且2玉&一占一々之8,求〃？

的取值范围.

21.如图，已知R3ABC中，NC=90。

，月。

是N3AC的角平分线.

（1）请尺规作图：

作。

。

，使圆心。

在A8上，且A。

为。

。

的一条弦.（不写作法，

保留作图痕迹）；

（2）判断直线8C与所作。

0的位置关系，并说明理由.

22.如图，在一个的内部作一个矩形A3CQ，其中点A和点O分别在两直角

边上，8c在斜边上，EF=30c”i,FG=40cm,设=

（1）试用含x的代数式表示AO：

（2）设矩形A8CQ的面积为一当x为何值时，6的值最大，最大值是多少？

23.如图，放AACB中，以8C边上一点。

为圆心作圆，O。

与边力C、A8分别切于点C、D,。

。

与8c另一交点为£.

（1）求证：

BD・AB=OB・BC；

20

（2）若。

。

的半径为5,4。

=一，求3。

的长.3

24.已知：

抛物线），=ar2—3（a—］）x+2a—6（a:

>0）.

（1）求证：

抛物线与x轴有两个交点.

（2）设抛物线与x釉的两个交点的横坐标分别为为，占（其中%>々）・若，是关于。

的函数、且，=。

&-占，求这个函数的表达式：

（3）若4=1,将抛物线向上平移一个单位后与X轴交于点A、B.平移后如图所示,过A作直线AC,分别交的正半轴于点。

和抛物线于点C,且。

尸=1.M是线段AC上一动点，求2/W3+A/C的最小值.

25.在平面直角坐标系中，己知矩形。

43c中的点4（0,4）,抛物线x=at2+/z¥+c经过原点。

和点C，并且有最低点G（2,-l）点E,尸分别在线段OC,BC上,且5~闵、=匚5小伙"「CF=1,直线跖'的解析式为必=履+〃，其图像与抛物线在x16

轴下方的图像交于点。

.

（1）求抛物线的解析式；

（2）当％vy2Vo时，求”的取值范围:

（3）在线段上是否存在点M，使得1nOMC=NE4P,若存在，请求出点M的4

坐标，若不存在，请说明理由.

参考答案

1.B

【解析】

试题分析：

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

解：

A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故错误；

B、是轴对称图形，也是中心对称图形.故正确：

C、是轴对称图形，不是中心对称图形.故错误：

D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形.故错误.

故选B.

点睛：

掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.D

【解析】

【分析】由OE||8C得aAOEs”13。

，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可

求得结果.

【详解】因为，Z\ABC中，D为AB中点，DE〃BC

所以，DE是△ABC的中位线，

An1

所以,-=~^ADE^^ABC,

AB2

所以，△相＞石与△48C的而积比为

（1）==1:

4.

2

故选：

D

【点睛】本题考核知识点：

相似三角形.解题关键点：

根据三角形一边的平行线与另外两边相交，得到的三角形与原三角形相似.

3.C

【解析】

【分析】

根据一元二次方程根的判别式，逐一判断选项，即可.

【详解】

Vx2+2x-3=O»

：

.L=b2-4ac=22-4xlx（-3）=16>0,即方程有两个不等的实数根，

•••/+1=0，

••・b2-4«c=02-4xlxl=-4<0»即方程没有实数根，

:

4x2+4x+l=0，

，从一4〃0=42—4x4x1=0，即方程有两个相等的实数根，

•I/+x+3=0,

/.b2-4ac=12-4x3x1=-11<0,即方程没有实数根，

故选C.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程，根的判别式，理解根的判别式与一元二次方程的根的关系，是解题的关键.

4.B

【分析】

根据切线的性质和切线长的性质定理，即可求解.

【详解】

•••/%，总是O。

的切线，AC是。

。

的直径，

AZCAP=90c,PA=PB,

.*.ZPAB=ZPBA,

ABAC=15°,

：

.ZPAB=ZCAP-ZBAC=75°,

ZP=180°-75°-75°=30°.

故选B.

【点睛】

本题主要考查切线的性质和切线长的性质定理，掌握上述定理，是解题的关键.

5.D

【分析】

设。

O的半径为r,在R3ACO中，根据勾股定理列式可求出r的值.

【详解】

设。

。

的半径为r,则OA=r,OC=r-l,

VOD±AB,AB=4,

AAC=-AB=2,2

在RSACO中，OA2=AC2+OC2,

Ar2=22+（r-1）2,

5r=—,

2

故选D.

【点睛】

本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦是解题的关键.

6.C

【分析】

赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），X个球队比赛总场数=由此可得出方2

程.

【详解】

设邀请X个队，每个队都要赛（X-1）场，但两队之间只有一场比赛，

由题意得，'

（1）=15,2

故选C.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数

与球队之间的关系.

7.B

【解析】

根据勾股定理，庆8=序乒2,

BC名品X,

acTF+sL

所以△ABC的三边之比为：

2：

=1：

2：

A、三角形的三边分别为2,山2+3L杼套=3,三边之比为2：

：

3=：

：

3,故本选项错误：

B、三角形的三边分别为2,4,后还2,三边之比为2：

4：

2=1：

2：

故本选项正确;

C、三角形的三边分别为2,3,亚奇=，三边之比为2：

3：

故本选项错误：

D、三角形的三边分别为“12+2上,^22+32=»%三边之比为：

：

4,故本选项错误.故选B.

8.C

【分析】

根据二次函数丁=31+1尸+攵的图象对称轴是：

直线x=l,开口向上，可知：

抛物线上离对称轴越近的点的纵坐标越小，进而即可得到答案.

【详解】

•.•二次函数y=3（x+l）2+k的图象对称轴是：

直线x=-l,开口向上，

.•.抛物线上离对称轴越近的点的纵坐标越小，

VA（0.5,y,）,8（2,J、），。

（-2,），3）是二次函数丁=3。

+1）2+攵的图象上的三点，

：

•y2>>']>，

故选c.

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的轴对称性，是解题的关键.

9.D

【分析】

根据抛物线），=-/-2、+机的开口向下，对称轴是：

直线x=l,则抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越小，即可得到答案.

【详解】

•.•抛物线y=-/-21+〃1的开口向下，对称轴是：

直线X=1,

・•・在一3Vx«2的范围内,当x=2时，y取最小值,即：

—3=—22—2x2+，〃，解得：

m=5,

故选D.

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的轴对称性，是解题的关键.

10.B

【分析】

过点D作DQJ_BC于点Q,则四边形ABQD是矩形，进而求出0c=10,作MN〃CD与QO相切与点P，此时，点P是上所有的点中，到MN距离最小的点，即：

此时，"CD的面积的最小值二平行四边形MNCD面积的一半.过点M作MEJ_BC于点E,则AM=BE,ME=AB=8,通过切线长定理，列方程，求出BE=2,进而得到：

NC=8,求出平行四边形MNCD的面积，即可得到答案.

【详解】

.・A5是0。

的直径，AD,8C是0。

的切线，

.\AB1AD,AB1BC,

.,.AD〃BC,即：

四边形ABCD是直角梯形，

过点D作DQ_LBC于点Q,则四边形ABQD是矩形，

VAD=10.0A=4,BC=16,

:

.QC=BC-BQ=BC-AD=16-10=6,DQ=AB=2x4=8,

•*-ZX?

=x/62+82=10»

作MN〃CD与O。

相切与点P，此时，点P是上所有的点中，到MN距离最小的点，即：

此时，的面积的最小值二平行四边形MNCD面积的一半.

过点M作ME_LBC于点E,则AM=BE,ME=AB=8,

VMN=CD=10,

:

•EN=j02-G=6,

・.,MN是。

。

的切线，

，MP=MA,NP=NB,

设MP=MA=BE=x,

.\10-x=6+x,解得：

x=2,••BN=EN+BE=6+2=8,

.\NC=BC-BN=16-8=8,

二.平行四边形MNCD的面积=NCxDQ=8x8=64,

APCQ的面积的最小值=64+2=32.

故选B.

【点睛】

本题主要考查圆的切线的性质和切线长定理与四边形的综合，添加辅助线，找出“C。

的面积的最小时，点P的位置，是解题的关键.

11.36°

【分析】

根据圆周角定理，即可求解.

【详解】

VZAOB与NACB是同弧所对的圆心角和圆周角，

AZACB=-ZAOB=-x720=36。

，22

故答案是:

36。

.

【点睛】

本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键.

12.（-1,2）

【分析】

通过配方，把二次函数解析式化为顶点式，即可得到答案.

【详解】

•Iy=x2+2x+3=（x+1尸+2,

・•・二次函数y=x2+2x+3图象的顶点坐标是：

（-1,2）,

故答案是：

（—1,2）.

【点睛】

本题主要考查二次函数图象的顶点坐标，把二次函数解析式化为顶点式，是解题的关键.

13.（6,2）

【分析】

根据C（2,3）的对应点是A（4,6）,可得线段CO与线段A3的位似比是;，进而即可求出答案.

【详解】

V以原点为位似中心线段CD与线段AB是位似图形，0（2,3）的对应点是A（4,6）,

.♦•线段CO与线段A3的位似比是

2

点。

（3,1）的对应点4的坐标为：

（6,2）.

故答案是：

（6,2）.

【点睛】

本题主要考查平而直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标，根据位似图形的性质，得到位似比，是解题的关键.

14.3%

【分析】

根据圆的面积公式和扇形的而积公式，即可求解.

【详解】

•圆锥的母线长为2,高所在直线与母线的夹角为30。

底而圆的半径BO=1,

，底面而积二兀，底而周长二2几，

，侧面积二—x2^x2=2tt,

2

，圆锥的全面枳=7t+2n=3兀.

故答案是：

3

【点睛】

本题主要考查圆锥的全面积，掌握圆的面积公式和扇形的面积公式，是解题的关键.

15.45°

【分析】

先根据NAOC的度数和NBOC的度数，可得NAOB的度数，再根据AAOD中，AO=DO,可得NA的度数，进而得出aABO中NB的度数，可得NC的度数.

【详解】

解：

・.・NAOC的度数为105°,

由旋转可得NAOD=NBOC=40。

，

.,.ZAOB=105°-40°=65°,

•「△AOD中，AO=DO,

AZA=i（180°-40°）=70°,2

・••△ABO中,ZB=180°-70°-65a=45°,

由旋转可得，NC=NB=45。

，

故答案为：

45。

.

【点睛】

本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答.

16.®®

【解析】

【详解】

•抛物线的对称轴为直线x=--=2,

2a

Ab=-4a>0>即4a+b=0,所以①正确;

•••x=-3时，yVO,

.\9a-3b+c<0,即9a+cV3b,所以②错误：

•.•抛物线与x轴的一个交点为（-1,0）,

，x=-l时，a-b+c=O,

:

.a+4a+c=0,

.*•c=-5a,

8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,

而a<0,

A8a+7b+2c>0,所以③正确：

•抛物线的对称轴为直线x=2,

・•.当x<2时，函数值随x增大而增大，所以④错误.

故答案为：

①③.

【点睛】

此题考查二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象可知抛物线的对称轴为X=2,开口向下，以及抛物线与X轴交于点（-1,0）,从而可判断所给的结论.

19

17.

（1）%=-1,々=一5；

（2）X）=—,x2=--

【分析】

（1）根据一元二次方程的求根公式，即可求解：

（2）根据一元二次方程的直接开平方法，即可求解.

【详解】

（1）T。

=1,〃=6,c=5,

，△=6。

-4x1x5=16,

.-6±x/T6

••x=，

2

原方程的解是：

X]=-1,X,=-5.

25

（2）•••（x+l）2=W，

1O

5

X+1=±—，

4

5,5

••X+1=—,X+1=—，

44

19

・・%=：

，X2*

44

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法，掌握求根公式和直接开平方法，是解题的关键.

18.

（1）详见解析；

（2）后

【分析】

（1）先画出AA3C绕点。

逆时针旋转90。

后的各个顶点的对应点，再连线，即可得到答案:

（2）根据弧长公式，即可求解.

【详解】

（1）如图所示:

.・・&4e6为所求图形；

⑵〈OB二次+22二2有，

・.,=90x7x26=辰.180

答：

点3经过的路径长为：

岛.

【点睛】

本题主要考查平面直角坐标系中，图形的旋转变换和弧长公式，掌握弧长公式，是解题的关

键.

24

19.

（1）证明见解析：

（2）二.

【解析】

试题分析：

利用矩形角相等的性质证明△D4Es

试题解析：

（1）证明：

•••四边形A3CQ是矩形，

:

.AD//BC,

：

.ZDAE=ZAMBf

又,:

NOEA=/B=90。

，

：

.ADAE^AAMB,

（2）由

（1）知△D4ES/XAM8,

：

.DE：

AD=AB：

AM.

•IM是边3c的中点，BC=6,

，8M=3,

NB=90。

，

•••AM=5,

IDE：

6=4：

5,

24

：

.DE=—・

5

20.

（1）/«<4；

（2）0

【分析】

（1）根据一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，列出关于m的不等式，即可求解:

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，列出关系m的不等式，即可求解.

【详解】

（1）•••一元二次方程有实数根，

A=36-4（2/77+1）

=36—8"7—4

=32-8/77>0,

解得：

/n<4；

（2）:

内，9是方程f+6x+（2〃?

+l）=0的两个实数根，

2+占=-6,x}x2=2m+1,

•/2Mx2一%一七28，

2-（2m+1）+6>8,解得：

/?

?

>0♦

由⑴可得：

m<4.

0

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键.

21.

（1）见解析；

（2）直线8C与所作。

。

相切，理由见解析

【分析】

（1）作AD的垂直平分线交AB于点O,以OA为半径画圆即可：

（2）连接。

。

，通过等边对等角和角平分线的定义可得出NCAD=NOD4,从而有

OD//AC,NOOB=NC=90。

所以8c为00的切线

【详解】

（1）如图，。

。

为所作;

（2）直线8。

与所作。

。

相切.

理由如下：

连接如图，

•：

0A=0D,：

.ZOAD=ZODA.

YAO平分N8AC,

：

./OAD=/CAD,

:

・/CAD=/ODA,

：

.OD//AC.

VZC=90°,

；.NODB=90。

：

.OD±BC9

.♦.BC为。

。

的切线.

【点睛】

本题主要考查垂直平分线和圆的作法以及直线与圆的位置关系，掌握切线的判定方法是解题的关键.

25

22.

（1）AD—5（）x：

（2）x=12»大=300（7犷

12戢人

【分析】

（1）过点F作尸N_LEG于点N，交AQ于点M，易证AAFD〜AGFE,从而得

ADFM

—=—＞进而即可得到答案；

EGFN

（2）根据矩形的而积公式，可得s关于x的二次函数解析式，配方后，即可求解.

【详解】

（1）过点/作于点N,交A。

于点M,

•/EF=30。

〃，FG=40cm，

EG={EF2+FG'=50c7〃，

...FN=Eb'FG=24cm,EG

•••四边形ABC。

是矩形，

••.AD//BC,

^AFD〜AGFE,

•/AB=MN=xcm，：

.FM=（24-x）c〃？

，

ADFM

•_

一访一所’

AD24—x

•—••,

5024

25AD—50x：

1225

（2）由

（1）得：

AD=50---x,12

25、

As=AD-AB=x-50-一x,12）

即：

5=-1|（x-12）2+300,

••・当x=12时，S最人=3（Xk7〃2.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的判定和性质与二次函数的综合，掌握相似三角形对应边上的高之

比等于相似比，是解题的关键.

23.

（1）详见解析；

（2）BD=

120

【分析】

nr\rc

（1）连接。

。

，易证ABOO〜ABC4,从而得——=——，即可得到结论:

BCBA

（2）连接。

C,AO交于点P，连接OD,DE,根据中垂线性质定理的逆定理，可得AO

垂直平分。

C,根据面积法，求出CP,进而求出CD,再根据勾股定理，求出ED,由

BD

2DE〜岫AO,得力一空，即可得到答案.33

【详解】连接。

。

，如图1，「A3切。

。

于点

:

.ZODB=90Q=ZACB.

BDBO

BC"，BD・AB=OB・BC；

（2）连接。

C,AO交于点夕，连接OD,DE,如图2,•/AD，AC切。

。

于点。

，点C,

20

・・.AD=AC=—3

又DO=OC,

・・・HO垂直平分。

C.

-J__4一^^一4'

..DC=2CP=S.

•••石。

是。

。

的直径,

:

.ZEDC=90Q,•••DE=ylEC2-DC2=V102-82=6>

..ED//AO,

ABDE〜ABAO,

图1

【点睛】

本题主要考查圆的切线的性质定理与相似三角形的综合，添加辅助线，构

造相似三角形，是解题的关键.

14

24.

（1）详见解析；

（2）t=a-5；（3）2M8+MC的最小值=一

3

【分析】

（1）通过计算判别式的值，即可得到结论；

（2）根据一元二次方程的求根公式，用含a的代数式表示抛物线与x轴的两个交点的横坐

标七,X?

即可得到答案；

2-

点…3

（3）易得直线AC:

），=±x+l,然后联立：

，求出点C的坐标，过。

作

3y=——x+1

U3

CN_