广东省广州市海珠区学年九年级上学期期末数学试题.docx
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广东省广州市海珠区学年九年级上学期期末数学试题
广东省广州市海珠区2020-2021学年九年级上学期期末数学
试题
学校:
姓名:
班级:
考号:
一、单选题
1.我国传统文化中的“福禄寿喜”图(如图)由四个图案构成.这四个图案中既是轴
对称图形,又是中心对称图形的是()
2.如图所示,在RtZ\A8C中,。
为A8中点,DE/IBC交AC于E则△?
1£)石与
△A3C的面积比为().
A.1:
1B.1:
2C.1:
3D.1:
4
3.下列关于x的一元二次方程中,有两个相等的实数根的方程是()
A.x2+2x-3=0B.x2+1=0C・4x2+4x+l=0D.x2+x+3=0
4.如图,PA,必是。
。
的切线,A,8为切点,AC是O。
的直径,N1MC=15。
,则N尸的度数为()
A.25°B.30°C.45°D.50°
5.如图,AB是。
0的一条弦,0D1AB于点C,交。
0于点D,连接0A.若AB=4,
CD=1,则。
0的半径为()
L5
A.5B.J5C.3D.-
2
6.要组织一次篮球比赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排15场
D.约也=15
比赛,设应邀请x个球队参加比赛,根据题意可列方程为()
A.x(x-1)=15B.x(x+1)=15
7.下列4x4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则
与仆ABC相似的三角形所在的网格图形是()
8.已知二次函数y=3(x+l)2+Z的图象上有三点,A(O.5,y),6(2,%),C(-2,y3)
则力,为,%的大小关系为()
A.凹,%B.必>乃>凹C.力>D・
9.二次函数丁=一/一2'+机,在_3<工42的范围内有最小值一3,则〃?
的值是()
A.-6B.-2C.2D.5
10.已知:
A8是。
。
的直径,AO,8C是。
。
的切线,夕是。
。
上一动点,若40=10,
Q4=4,3C=16,则步。
。
的面积的最小值是()
B
A.36B.32C.24D.10.4
二、填空题
H.如图,点A、B、。
都在上,若NAOB=72°,则NAC3的度数是
13.如图,在平面直角坐标系xQv中,以原点为位似中心线段CO与线段A8是位似
图形,若C(2,3),0(3/),A(4,6),则8的坐标为.
14.如图,已知圆锥的母线长为2,高所在直线与母线的夹角为30。
,则圆锥的全面积
15.如图,AODC是由AOAB绕点O顺时针旋转40。
后得到的图形,若点D恰好落
在AB上,且NAOC=105。
,则NC=
D
R
16.二次函数y=ax2+bx+c(a^O)的部分图象如图,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:
04a+b=0;②9a+c>3b:
®8a+7b+2c>0;④当x>-l时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有(填序号)
三、解答题
17.解下列一元二次方程:
⑴x2+6x+5=0
(2)16(x+1)2=25
18.如图,AA3C在平面直角坐标系内,顶点的坐标分别为A(—1,5),8(7,2),
。
(一2⑵.
(1)将AA3C绕点。
逆时针旋转90。
后,得到"与G,请画出乂।与G:
(2)求旋转过程中点4经过的路径长(结果保留乃)
19.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,M是BC的中点,DELAM于点E.
(1)求证:
△ADEs/^MAB:
(2)求DE的长.
20.已知关于x的一元二次方程x2+6x+(2///+1)=0有实数根.
(1)求初的取值范围;
(2)如果方程的两个实数根为演,&,且2玉&一占一々之8,求〃?
的取值范围.
21.如图,已知R3ABC中,NC=90。
,月。
是N3AC的角平分线.
(1)请尺规作图:
作。
。
,使圆心。
在A8上,且A。
为。
。
的一条弦.(不写作法,
保留作图痕迹);
(2)判断直线8C与所作。
0的位置关系,并说明理由.
22.如图,在一个的内部作一个矩形A3CQ,其中点A和点O分别在两直角
边上,8c在斜边上,EF=30c”i,FG=40cm,设=
(1)试用含x的代数式表示AO:
(2)设矩形A8CQ的面积为一当x为何值时,6的值最大,最大值是多少?
23.如图,放AACB中,以8C边上一点。
为圆心作圆,O。
与边力C、A8分别切于点C、D,。
。
与8c另一交点为£.
(1)求证:
BD・AB=OB・BC;
20
(2)若。
。
的半径为5,4。
=一,求3。
的长.3
24.已知:
抛物线),=ar2—3(a—])x+2a—6(a:
>0).
(1)求证:
抛物线与x轴有两个交点.
(2)设抛物线与x釉的两个交点的横坐标分别为为,占(其中%>々)・若,是关于。
的函数、且,=。
&-占,求这个函数的表达式:
(3)若4=1,将抛物线向上平移一个单位后与X轴交于点A、B.平移后如图所示,过A作直线AC,分别交的正半轴于点。
和抛物线于点C,且。
尸=1.M是线段AC上一动点,求2/W3+A/C的最小值.
25.在平面直角坐标系中,己知矩形。
43c中的点4(0,4),抛物线x=at2+/z¥+c经过原点。
和点C,并且有最低点G(2,-l)点E,尸分别在线段OC,BC上,且5~闵、=匚5小伙"「CF=1,直线跖'的解析式为必=履+〃,其图像与抛物线在x16
轴下方的图像交于点。
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当%vy2Vo时,求”的取值范围:
(3)在线段上是否存在点M,使得1nOMC=NE4P,若存在,请求出点M的4
坐标,若不存在,请说明理由.
参考答案
1.B
【解析】
试题分析:
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.
解:
A、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故错误;
B、是轴对称图形,也是中心对称图形.故正确:
C、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误:
D、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故错误.
故选B.
点睛:
掌握中心对称图形与轴对称图形的概念:
轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.
2.D
【解析】
【分析】由OE||8C得aAOEs”13。
,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方,可
求得结果.
【详解】因为,Z\ABC中,D为AB中点,DE〃BC
所以,DE是△ABC的中位线,
An1
所以,-=~^ADE^^ABC,
AB2
所以,△相>石与△48C的而积比为
(1)==1:
4.
2
故选:
D
【点睛】本题考核知识点:
相似三角形.解题关键点:
根据三角形一边的平行线与另外两边相交,得到的三角形与原三角形相似.
3.C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式,逐一判断选项,即可.
【详解】
Vx2+2x-3=O»
:
.L=b2-4ac=22-4xlx(-3)=16>0,即方程有两个不等的实数根,
•••/+1=0,
••・b2-4«c=02-4xlxl=-4<0»即方程没有实数根,
:
4x2+4x+l=0,
,从一4〃0=42—4x4x1=0,即方程有两个相等的实数根,
•I/+x+3=0,
/.b2-4ac=12-4x3x1=-11<0,即方程没有实数根,
故选C.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程,根的判别式,理解根的判别式与一元二次方程的根的关系,是解题的关键.
4.B
【分析】
根据切线的性质和切线长的性质定理,即可求解.
【详解】
•••/%,总是O。
的切线,AC是。
。
的直径,
AZCAP=90c,PA=PB,
.*.ZPAB=ZPBA,
ABAC=15°,
:
.ZPAB=ZCAP-ZBAC=75°,
ZP=180°-75°-75°=30°.
故选B.
【点睛】
本题主要考查切线的性质和切线长的性质定理,掌握上述定理,是解题的关键.
5.D
【分析】
设。
O的半径为r,在R3ACO中,根据勾股定理列式可求出r的值.
【详解】
设。
。
的半径为r,则OA=r,OC=r-l,
VOD±AB,AB=4,
AAC=-AB=2,2
在RSACO中,OA2=AC2+OC2,
Ar2=22+(r-1)2,
5r=—,
2
故选D.
【点睛】
本题考查了垂径定理和勾股定理,熟练掌握垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦是解题的关键.
6.C
【分析】
赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),X个球队比赛总场数=由此可得出方2
程.
【详解】
设邀请X个队,每个队都要赛(X-1)场,但两队之间只有一场比赛,
由题意得,'
(1)=15,2
故选C.
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识,解决本题的关键是读懂题意,得到总场数
与球队之间的关系.
7.B
【解析】
根据勾股定理,庆8=序乒2,
BC名品X,
acTF+sL
所以△ABC的三边之比为:
2:
=1:
2:
A、三角形的三边分别为2,山2+3L杼套=3,三边之比为2:
:
3=:
:
3,故本选项错误:
B、三角形的三边分别为2,4,后还2,三边之比为2:
4:
2=1:
2:
故本选项正确;
C、三角形的三边分别为2,3,亚奇=,三边之比为2:
3:
故本选项错误:
D、三角形的三边分别为“12+2上,^22+32=»%三边之比为:
:
4,故本选项错误.故选B.
8.C
【分析】
根据二次函数丁=31+1尸+攵的图象对称轴是:
直线x=l,开口向上,可知:
抛物线上离对称轴越近的点的纵坐标越小,进而即可得到答案.
【详解】
•.•二次函数y=3(x+l)2+k的图象对称轴是:
直线x=-l,开口向上,
.•.抛物线上离对称轴越近的点的纵坐标越小,
VA(0.5,y,),8(2,J、),。
(-2,),3)是二次函数丁=3。
+1)2+攵的图象上的三点,
:
•y2>>']>,
故选c.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质,理解二次函数的轴对称性,是解题的关键.
9.D
【分析】
根据抛物线),=-/-2、+机的开口向下,对称轴是:
直线x=l,则抛物线上离对称轴越远的点的纵坐标越小,即可得到答案.
【详解】
•.•抛物线y=-/-21+〃1的开口向下,对称轴是:
直线X=1,
・•・在一3Vx«2的范围内,当x=2时,y取最小值,即:
—3=—22—2x2+,〃,解得:
m=5,
故选D.
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象和性质,理解二次函数的轴对称性,是解题的关键.
10.B
【分析】
过点D作DQJ_BC于点Q,则四边形ABQD是矩形,进而求出0c=10,作MN〃CD与QO相切与点P,此时,点P是上所有的点中,到MN距离最小的点,即:
此时,"CD的面积的最小值二平行四边形MNCD面积的一半.过点M作MEJ_BC于点E,则AM=BE,ME=AB=8,通过切线长定理,列方程,求出BE=2,进而得到:
NC=8,求出平行四边形MNCD的面积,即可得到答案.
【详解】
.・A5是0。
的直径,AD,8C是0。
的切线,
.\AB1AD,AB1BC,
.,.AD〃BC,即:
四边形ABCD是直角梯形,
过点D作DQ_LBC于点Q,则四边形ABQD是矩形,
VAD=10.0A=4,BC=16,
:
.QC=BC-BQ=BC-AD=16-10=6,DQ=AB=2x4=8,
•*-ZX?
=x/62+82=10»
作MN〃CD与O。
相切与点P,此时,点P是上所有的点中,到MN距离最小的点,即:
此时,的面积的最小值二平行四边形MNCD面积的一半.
过点M作ME_LBC于点E,则AM=BE,ME=AB=8,
VMN=CD=10,
:
•EN=j02-G=6,
・.,MN是。
。
的切线,
,MP=MA,NP=NB,
设MP=MA=BE=x,
.\10-x=6+x,解得:
x=2,••BN=EN+BE=6+2=8,
.\NC=BC-BN=16-8=8,
二.平行四边形MNCD的面积=NCxDQ=8x8=64,
APCQ的面积的最小值=64+2=32.
故选B.
【点睛】
本题主要考查圆的切线的性质和切线长定理与四边形的综合,添加辅助线,找出“C。
的面积的最小时,点P的位置,是解题的关键.
11.36°
【分析】
根据圆周角定理,即可求解.
【详解】
VZAOB与NACB是同弧所对的圆心角和圆周角,
AZACB=-ZAOB=-x720=36。
,22
故答案是:
36。
.
【点睛】
本题主要考查圆周角定理,掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半,是解题的关键.
12.(-1,2)
【分析】
通过配方,把二次函数解析式化为顶点式,即可得到答案.
【详解】
•Iy=x2+2x+3=(x+1尸+2,
・•・二次函数y=x2+2x+3图象的顶点坐标是:
(-1,2),
故答案是:
(—1,2).
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的顶点坐标,把二次函数解析式化为顶点式,是解题的关键.
13.(6,2)
【分析】
根据C(2,3)的对应点是A(4,6),可得线段CO与线段A3的位似比是;,进而即可求出答案.
【详解】
V以原点为位似中心线段CD与线段AB是位似图形,0(2,3)的对应点是A(4,6),
.♦•线段CO与线段A3的位似比是
2
点。
(3,1)的对应点4的坐标为:
(6,2).
故答案是:
(6,2).
【点睛】
本题主要考查平而直角坐标系中,以原点为位似中心的位似图形的对应点的坐标,根据位似图形的性质,得到位似比,是解题的关键.
14.3%
【分析】
根据圆的面积公式和扇形的而积公式,即可求解.
【详解】
•圆锥的母线长为2,高所在直线与母线的夹角为30。
底而圆的半径BO=1,
,底面而积二兀,底而周长二2几,
,侧面积二—x2^x2=2tt,
2
,圆锥的全面枳=7t+2n=3兀.
故答案是:
3
【点睛】
本题主要考查圆锥的全面积,掌握圆的面积公式和扇形的面积公式,是解题的关键.
15.45°
【分析】
先根据NAOC的度数和NBOC的度数,可得NAOB的度数,再根据AAOD中,AO=DO,可得NA的度数,进而得出aABO中NB的度数,可得NC的度数.
【详解】
解:
・.・NAOC的度数为105°,
由旋转可得NAOD=NBOC=40。
,
.,.ZAOB=105°-40°=65°,
•「△AOD中,AO=DO,
AZA=i(180°-40°)=70°,2
・••△ABO中,ZB=180°-70°-65a=45°,
由旋转可得,NC=NB=45。
,
故答案为:
45。
.
【点睛】
本题考查旋转的性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用旋转的性质解答.
16.®®
【解析】
【详解】
•抛物线的对称轴为直线x=--=2,
2a
Ab=-4a>0>即4a+b=0,所以①正确;
•••x=-3时,yVO,
.\9a-3b+c<0,即9a+cV3b,所以②错误:
•.•抛物线与x轴的一个交点为(-1,0),
,x=-l时,a-b+c=O,
:
.a+4a+c=0,
.*•c=-5a,
8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,
而a<0,
A8a+7b+2c>0,所以③正确:
•抛物线的对称轴为直线x=2,
・•.当x<2时,函数值随x增大而增大,所以④错误.
故答案为:
①③.
【点睛】
此题考查二次函数图象与系数的关系,根据二次函数图象可知抛物线的对称轴为X=2,开口向下,以及抛物线与X轴交于点(-1,0),从而可判断所给的结论.
19
17.
(1)%=-1,々=一5;
(2)X)=—,x2=--
【分析】
(1)根据一元二次方程的求根公式,即可求解:
(2)根据一元二次方程的直接开平方法,即可求解.
【详解】
(1)T。
=1,〃=6,c=5,
,△=6。
-4x1x5=16,
.-6±x/T6
••x=,
2
原方程的解是:
X]=-1,X,=-5.
25
(2)•••(x+l)2=W,
1O
5
X+1=±—,
4
5,5
••X+1=—,X+1=—,
44
19
・・%=:
,X2*
44
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法,掌握求根公式和直接开平方法,是解题的关键.
18.
(1)详见解析;
(2)后
【分析】
(1)先画出AA3C绕点。
逆时针旋转90。
后的各个顶点的对应点,再连线,即可得到答案:
(2)根据弧长公式,即可求解.
【详解】
(1)如图所示:
.・・&4e6为所求图形;
⑵〈OB二次+22二2有,
・.,=90x7x26=辰.180
答:
点3经过的路径长为:
岛.
【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系中,图形的旋转变换和弧长公式,掌握弧长公式,是解题的关
键.
24
19.
(1)证明见解析:
(2)二.
【解析】
试题分析:
利用矩形角相等的性质证明△D4Es
试题解析:
(1)证明:
•••四边形A3CQ是矩形,
:
.AD//BC,
:
.ZDAE=ZAMBf
又,:
NOEA=/B=90。
,
:
.ADAE^AAMB,
(2)由
(1)知△D4ES/XAM8,
:
.DE:
AD=AB:
AM.
•IM是边3c的中点,BC=6,
,8M=3,
NB=90。
,
•••AM=5,
IDE:
6=4:
5,
24
:
.DE=—・
5
20.
(1)/«<4;
(2)0【分析】
(1)根据一元二次方程根的判别式与根的情况的关系,列出关于m的不等式,即可求解:
(2)根据一元二次方程根与系数的关系,列出关系m的不等式,即可求解.
【详解】
(1)•••一元二次方程有实数根,
A=36-4(2/77+1)
=36—8"7—4
=32-8/77>0,
解得:
/n<4;
(2):
内,9是方程f+6x+(2〃?
+l)=0的两个实数根,
2+占=-6,x}x2=2m+1,
•/2Mx2一%一七28,
2-(2m+1)+6>8,解得:
/?
?
>0♦
由⑴可得:
m<4.
0
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系,掌握一元二次方程根与系数的关系,是解题的关键.
21.
(1)见解析;
(2)直线8C与所作。
。
相切,理由见解析
【分析】
(1)作AD的垂直平分线交AB于点O,以OA为半径画圆即可:
(2)连接。
。
,通过等边对等角和角平分线的定义可得出NCAD=NOD4,从而有
OD//AC,NOOB=NC=90。
所以8c为00的切线
【详解】
(1)如图,。
。
为所作;
(2)直线8。
与所作。
。
相切.
理由如下:
连接如图,
•:
0A=0D,:
.ZOAD=ZODA.
YAO平分N8AC,
:
./OAD=/CAD,
:
・/CAD=/ODA,
:
.OD//AC.
VZC=90°,
;.NODB=90。
:
.OD±BC9
.♦.BC为。
。
的切线.
【点睛】
本题主要考查垂直平分线和圆的作法以及直线与圆的位置关系,掌握切线的判定方法是解题的关键.
25
22.
(1)AD—5()x:
(2)x=12»大=300(7犷
12戢人
【分析】
(1)过点F作尸N_LEG于点N,交AQ于点M,易证AAFD〜AGFE,从而得
ADFM
—=—>进而即可得到答案;
EGFN
(2)根据矩形的而积公式,可得s关于x的二次函数解析式,配方后,即可求解.
【详解】
(1)过点/作于点N,交A。
于点M,
•/EF=30。
〃,FG=40cm,
EG={EF2+FG'=50c7〃,
...FN=Eb'FG=24cm,EG
•••四边形ABC。
是矩形,
••.AD//BC,
^AFD〜AGFE,
•/AB=MN=xcm,:
.FM=(24-x)c〃?
,
ADFM
•_
一访一所’
AD24—x
•—••,
5024
25AD—50x:
1225
(2)由
(1)得:
AD=50---x,12
25、
As=AD-AB=x-50-一x,12)
即:
5=-1|(x-12)2+300,
••・当x=12时,S最人=3(Xk7〃2.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质与二次函数的综合,掌握相似三角形对应边上的高之
比等于相似比,是解题的关键.
23.
(1)详见解析;
(2)BD=
120
【分析】
nr\rc
(1)连接。
。
,易证ABOO〜ABC4,从而得——=——,即可得到结论:
BCBA
(2)连接。
C,AO交于点P,连接OD,DE,根据中垂线性质定理的逆定理,可得AO
垂直平分。
C,根据面积法,求出CP,进而求出CD,再根据勾股定理,求出ED,由
BD
2DE〜岫AO,得力一空,即可得到答案.33
【详解】连接。
。
,如图1,「A3切。
。
于点
:
.ZODB=90Q=ZACB.
BDBO
BC",BD・AB=OB・BC;
(2)连接。
C,AO交于点夕,连接OD,DE,如图2,•/AD,AC切。
。
于点。
,点C,
20
・・.AD=AC=—3
又DO=OC,
・・・HO垂直平分。
C.
-J__4一^^一4'
..DC=2CP=S.
•••石。
是。
。
的直径,
:
.ZEDC=90Q,•••DE=ylEC2-DC2=V102-82=6>
..ED//AO,
ABDE〜ABAO,
图1
【点睛】
本题主要考查圆的切线的性质定理与相似三角形的综合,添加辅助线,构
造相似三角形,是解题的关键.
14
24.
(1)详见解析;
(2)t=a-5;(3)2M8+MC的最小值=一
3
【分析】
(1)通过计算判别式的值,即可得到结论;
(2)根据一元二次方程的求根公式,用含a的代数式表示抛物线与x轴的两个交点的横坐
标七,X?
即可得到答案;
2-
点…3
(3)易得直线AC:
),=±x+l,然后联立:
,求出点C的坐标,过。
作
3y=——x+1
U3
CN_