相交线与平行线讲义OK.docx

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相交线与平行线讲义OK

相交线与平行线讲义

【知识框图】

例题分析：

【知识点一】相交线的性质：

两条直线相交，有且只有一个交点。

例1、（河南）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（　　）

A、一定有一个锐角B、一定有一个钝角

C、一定有一个直角D、一定有一个不是钝角

例2、（绵阳）在一个平面上任意画3条直线，最多可以把平面分成的部分是（　　）

A、4个B、6个C、7个D、8个

例3、（鄂州）在同一个平面内，四条直线的交点个数不能是（　　）

A、2个B、3个C、4个D、5个

例4、（宿迁）一块长方体橡皮被刀切了3次，最多能被分成块．

例5、在一个平面内，任意四条直线相交，交点的个数最多有（　　）

A、7个B、6个C、5个D、4个

例6、平面内6条直线两两相交，但仅有3条通过同一点，则截得不重叠线段共（　　）

A、24条B、21条C、33条D、36条

例7、如右图，两条非平行的直线AB，CD被第三条直线EF所截，交点为PQ，那么这3条直线将所在平面分成（　　）

A、5个部分B、6个部分

C、7个部分D、8个部分

【知识点二】对顶角、邻补角：

对顶角定义：

两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角。

邻补角定义：

两个角有一个公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。

对顶角的性质：

对顶角相等。

邻补角的性质：

邻补角互补。

例1、（漳州）如右图，直线

相交于点

，若∠1等于40°，则∠2等于（　　）

A、50°B、60°C、140°D、160°

例2、（辽宁）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=100°，

则∠BOD的度数是（　　）

A、20°B、40°C、50°D、80°

例3、（湘西州）如图，直线AB，CD相交于O点，若∠1=30°，

则∠2，∠3的度数分别为（　　）

A、120°，60°B、130°，50°C、140°，40°D、150°，30°

例4、如右图，图中有对对顶角．

例5、

（1）延长射线OM；

（2）平角是一条射线；（3）线段、射线都是直线的一部分；（4）锐角一定小于它的余角；（5）大于直角的角是钝角；（6）一个锐角的补角与这个锐角的余角的差是90°；（7）相等的两个角是对顶角；（8）若∠A+∠B+∠C=180°，则这三个角互补；（9）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直．以上说法正确的有（　　）

A、2个B、3个C、4个D、5个

例6、命题①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短；⑤直线都相等；⑥任何数都有倒数；⑦如果

，那么

；⑧如果∠A+∠B=90°，那么∠A与∠B互余．其中真命题有（　　）

A、3个B、4个C、5个D、6个

【知识点三】垂线：

垂线的定义：

当两条直线相交所成的四个角中有一个角为90°时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。

垂线的性质一：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

垂线的性质二：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，即垂线段最短。

例1、（宁波）如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，则∠COE的度数是（　　）

A、125°B、135°C、145°D、155°

例2、（郴州）如图，直线

与

相交于点

，OM⊥

，若

=44°，则β=（　　）

A、56°B、46°C、45°D、44°

例3、（贺州）在直线AB上任取一点O，过点

作射线OC，OD，使OC⊥OD，

当∠AOC=30°时，∠BOD的度数是（　　）

A、60°B、120°C、60°或90°D、60°或120°

例5、用3根火柴棒最多能拼出（　　）

A、4个直角B、8个直角C、12个直角D、16个直角

例6、已知，OA⊥OC，且∠AOB：

∠AOC=2：

3，则∠BOC的度数为（　　）

A、30°B、150°C、30°或150°D、90°

例7、（台州）如右图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP的长不可能是（　　）

A、2.5B、3C、4D、5

例8、体育课上，老师测量跳远成绩的依据是（　　）

A、平行线间的距离相等B、两点之间，线段最短

C、垂线段最短D、两点确定一条直线

例9、如右图，要从小河引水到村庄A，请设计并作出一最佳路线，理由是．

【知识点四】点到直线的距离：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

例1、（湖南）下列说法中，正确的是（　　）

A、一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线

B、P是直线

外一点，A，B，C分别是

上的三点，已知PA=1，PB=2，PC=3，则点P到

的距离一定是1

C、相等的角是对顶角

D、钝角的补角一定是锐角

例2、（江西）在测量跳远成绩时，从落地点拉向起跳线的皮尺，应当与起跳线.

例3、如图，在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB，则图中能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（　　）

A、2条B、3条C、4条D、5条

例4、如图，在平面内，两条直线

相交于点

，对于平面内任意一点M，若p，q分别是点M到直线

的距离，则称（p，q）为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是（2，1）的点共有（　　）个．

A、1个B、2个C、3个D、4个

例5、若点A到直线

的距离为7cm，点B到直线

的距离为3cm，则线段AB的长度为（　　）

A、10cmB、4cmC、4cm或10cmD、至少4cm

【知识点五】同位角、内错角、同旁内角

同位角定义：

两条同位角都在两条被截线同一方，并在截线的同侧，这样的一对角叫做同位角。

形如字母F.

内错角定义：

两个角都在两条被截线之间，并且在截线的两侧，这样的一对角叫做内错角。

形如字母Z.

同旁内角定义：

两个角都在被截线之间，并且在截线的同侧，这样的一对角叫做同旁内角。

形如字母U.

注意：

（1）这三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况，其大小是不确定的。

（2）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的。

（3）两条直线被第三条直线截成的8个角中共有4对同位角、2对内错角、

2对同旁内角。

例1、（桂林）如图，在所标识的角中，同位角是（　　）

A、∠1和∠2B、∠1和∠3C、∠1和∠4D、∠2和∠3

例2、（梧州）有下列命题：

①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②两点之间，线段最短；③相等的角是对顶角；④两个锐角的和是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确命题的个数是（　　）

A、2个B、3个C、4个D、5个

例3、（南通）已知：

如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角是（　　）

A、∠AMFB、∠BMFC、∠ENCD、∠END

例4、（哈尔滨）下列命题中，正确的是（　　）

A、任何数的平方都是正数B、相等的角是对顶角

C、内错角相等D、直角都相等

例5、（梧州）有下列命题：

①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④两个锐角的和不一定是锐角；⑤同角或等角的补角相等．正确命题的个数是（　　）

A、2个B、3个C、4个D、5个

例6、下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　）

A、②③B、①②③C、①②④D、①④

例7、如右图所示，同位角共有（　　）

A、6对B、8对C、10对D、12对

例8、某城市有四条直线型主干道分别为

，

和

相交，

和

相互平行且与

相交成如图所示的图形，则共可得同旁内角（　　）对．

A、4B、8C、12D、16

【知识点六】平行线

平行线定义：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

注意：

（1）前提“在同一平面内”不可忽视，因为在空间图形中存在两条直线既不平行也不相交的情形；

（2）平行线指的是两条直线，而不是射线或线段，虽然有时我们也说线段或射线平行，但实际上是他们所在的直线平行；

（3）我们把相互重合的两条直线认为是同一条直线，所以在同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们一定相交；反之，在同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们一定平行。

平行线的表示方法：

如果直线AB平行于直线CD，我们可以写成：

AB∥CD.

例1、（哈尔滨）下列命题中，真命题是（　　）

A、互补两角若相等，则此两角都是直角B、直线是平角

C、不相交的两条直线叫做平行线D、和为180°的两个角叫做邻补角

例2、下列说法不正确的是（　　）

A、过任意一点可作已知直线的一条平行线

B、同一平面内两条不相交的直线是平行线

C、在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直

D、平行于同一直线的两直线平行

例3、下列语句：

①同一平面上，三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；②如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（　　）

A、①、②是正确的命题B、②、③是正确命题

C、①、③是正确命题D、以上结论皆错

例4、下列语句中：

①一条直线有且只有一条垂线；②不相等的两个角一定不是对顶角；③两条不相交的直线叫做平行线；④若两个角的一对边在同一直线上，另一对边互相平行，则这两个角相等；⑤不在同一直线上的四个点最多可画6条直线；⑥如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中错误的有（　）A、2个B、3个C、4个D、5个

例5、下列语句正确的是（　　）

A、平角是直线B、画5cm长的射线

C、平行线就是不相交的两条直线D、在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有两种：

相交或平行

例6、如右图，共有组平行线段．

【知识点七】平行公理及推论

平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

注意：

把握“有且只有”的含义，它包含两层含义：

“有”——存在性，即存在一条与已知直线平行的直线；“只有”——唯一性，即与已知直线平行的直线是惟一的。

例1、下列说法正确的是（　　）

A、同位角相等B、在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c

C、相等的角是对顶角D、在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c

例2、下列说法：

（1）两点之间的距离是两点间的线段；

（2）如果两条线段没有交点，那么这两条线段所在直线也没有交点；（3）邻补角的两条角平分线构成一个直角；（4）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（5）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中正确的是（　　）

A、1个B、2个C、3个D、4个

例3、下列说法中可能错误的是（　　）

A、过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

C、两条直线相交，有且只有一个交点

D、若两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直

例4、下列选项中正确的是（　　）

A、相等的角是对顶角B、两直线平行，同旁内角相等

C、直线外一点到这条直线的垂线段，叫点到直线的距离

D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

例5、过一点画已知直线的平行线（　　）

A、有且只有一条B、不存在C、有两条D、不存在或有且只有一条

例6、经过一点A画已知直线a的平行线，能画（　　）

A、0条B、1条C、2条D、不能确定

【知识点八】平行线的判定（5种方法）

①定义；②平行公理及其推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行。

例1、（江汉区）对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到a∥b的是（　　）

A、∠1=∠2B、∠2=∠4C、∠3=∠4D、∠1+∠4=180°

例2、（台湾）图中有直线L截两直线L1，L2后所形成的八个角．由下列哪一个选项中的条件可判断L1∥L2（　　）

A、∠2+∠4=180°B、∠3+∠8=180°

C、∠5+∠6=180°D、∠7+∠8=180°

例3、（十堰）如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（　　）

A、∠3=∠4B、∠A+∠ADC=180°C、∠1=∠2D、∠A=∠5

例4、（新疆）如图，已知∠1=70°，要使AB∥CD，则须具备另一个条件（　　）

A、∠2=70°B、∠2=100°C、∠2=110°D、∠3=110°

例5、（河北）某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相同，这两次拐弯的角度可能是（　　）

A、第一次左拐30°，第二次右拐30°

B、第一次右拐50°，第二次左拐130°

C、第一次右拐50°，第二次右拐130°

D、第一次向左拐50°，第二次向左拐120°

例6、如图，要得到a∥b，则需要条件（　　）

A、∠2=∠4B、∠1+∠3=180°

C、∠1+∠2=180°D、∠2=∠3

例7、如图，∠3=∠4，则下列条件中不能推出AB∥CD的是（　　）

A、∠1与∠2互余B、∠1=∠2C、∠1=∠3且∠2=∠4D、BM∥CN

例8、下列与垂直相交的说法：

①同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②一条直线如果它与两条平行线中的一条垂直，那么它与另一条也垂直；③同一平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直，其中说法错误的个数有（　　）

A、3个B、2个C、1个D、0个

总结：

一．余角、补角、对顶角、邻补角

1、余角：

如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.

2、补角：

如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角.

3、邻补角：

两个角有一个公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角。

4、对顶角：

如果两个角有公共顶点，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角.

5、互为余角的有关性质：

①∠1＋∠2＝90°，则∠1、∠2互余；反过来，若∠1，

∠2互余，则∠1+∠2＝90°；②同角或等角的余角相等，如果∠l十∠2＝90°，

∠1+∠3＝90°，则∠2＝∠3.

6、互为补角的有关性质：

①若∠A+∠B＝180°，则∠A、∠B互补；反过来，

若∠A、∠B互补，则∠A+∠B＝180°.②同角或等角的补角相等.如果∠A+∠C＝

180°，∠A+∠B＝180°，则∠B＝∠C.

7、邻补角性质：

邻补角互补。

8、对顶角的性质：

对顶角相等.

二．同位角、内错角、同旁内角的认识及平行线的性质

9、同一平面内两条直线的位置关系是：

相交或平行.

10、“三线八角”的识别：

三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而成的八个角.正确认识这八个角要抓住：

同位角位置相同，即“同旁”和“同侧”；内错角要抓住“内部，两旁”；同旁内角要抓住“内部、同旁”.