数学竞赛几何不等式.docx

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数学竞赛几何不等式

几何不等式

一、知识点：

1、有关线段不等的性质

公理在连接两点的所有线中线段最短

定理1在同一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边

定理2在同一个三角形中大角对大边

定理3在两个三角形中，如果有两组对应边分别相等，那么夹角大的对边较大

已知：

在ΔABC和ΔA'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，∠BAC＞∠B'A'C'．

求证：

BC＞B'C'．

分析：

将ΔA'B'C'平移到ΔABD，连接CD，则ΔADC是等腰三角形，作AE⊥CD于E，交BC于H，连接HD．由等腰三角形的轴对称性得HC＝HD，则BC＝BH＋HC＝BH＋HD＞BD＝B'C'．

从而得证．

2、有关角不等的性质

定理1三角形的任一外角大于和它不相邻的任意一个内角

定理2在同一个三角形中大边对大角

定理3在两个三角形中，如果有两组对应边分别相等，那么第三边所对的角也大

二、例题

例1、已知直线l上有依次5个点A、B、C、D、E，那么到这五个点距离和最小的点（）

A．在线段AE之外的某个点B．有无穷多个

C．只能是AE中点D．只有1个点

解：

选D

例2、如果7条线段的长都是正整数，且任取其中3条都不能组成三角形，则其中最长的线段至少长为（）

A．13B．14C．15D．21

解：

这7条线段长度依次至少为1，1，2，3，5，8，13．即最长的线段至少为13，故选A．

延伸：

介绍费波那契数列

思考：

（1）、若六边形周长等于20，各边长为整数，且以它们的任意三边为边不能构成三角形，这样的六边形（）

A、不存在B、只有一个C、有有限个但不止一个D、有无穷多个

解：

选D

（2）、有一根长150厘米的铁丝，现要将其截成n小段，每段长均为整数，且任意3段都不能构成三角形，求n的最大值并说明有哪几种不同的截法。

解：

n最大值为10，有几种不同的截法关键是看最后剩下的7厘米的铁丝有几种满足要求的不同的截法，共有7种不同的截法。

例3、在⊿ABC中，AD是中线，∠ADB的平分线交AB于点M，∠ADC的平分线交AC于点N，求证：

BM＋CN＞MN．

分析：

提供两种不同的思路：

一条是抓住中线，渗透利用旋转变换来解题的思想；另一条思路是抓住角平分线，渗透利用翻转（折叠）来解题的思想。

证明：

（抓住角平分线）在DA上取点E，使DE＝DB，连EM，EN．

则易证△DEM≌△DBM，△DEN≌△DCN．

∴EM＝BM，EN＝BN．

在△EMN中EM＋EN＞MN．即BM＋CN＞MN

问：

图中点E可能在线段MN上或下方吗？

（不可能，由于∠B＋∠C＜180°，若E点在线段MN上或下方，说明∠B＋∠C≥180°，从而得到矛盾。

）

例4、四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，已知：

OA＞OC，OB＞OD．

求证：

BC＋AD＞AB＋CD．

证明：

在OA上取点E，使OE＝OC，在OB上取点F，使OF＝OD，连BE，AF．

则由三合一定理知△BCE、△ADF都是等腰三角形．AF＝AD，BE＝BC．

易证△OEF≌△OOCD，∴EF＝CD．

题27—9

在四边形ABFE中，BE＋AF＞AB＋EF．即BC＋AD＞AB＋CD．

例5、设P是高为h的正三角形内一点，P到三边的距离分别为x、y、z（x≤y≤z），若以x、y、z为边可以组成三角形，则z应满足条件（）

A．

h≤z＜

hB．

h≤z＜

hC．

h≤z＜

hD．

h≤z＜h

解：

易证x＋y＋z＝h，x＋y＞z．故z＜

h，但由x≤y≤z，知3z≥x＋y＋z＝h，故z≥

h，选B．

思考：

1、在ΔABC中，AB≤AC≤BC，且最小的内角不小于59°，则最大内角的最大值是______度．

解：

180°－59°－59°＝62°

2、三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，且∠C≤∠B≤∠A，∠A＝2∠C，则∠B的取值范围是____________。

解：

45°≤∠B≤72°

3、用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．

解：

设各边需要的火柴分别为x，y，3x，则x＋y＋3x＝100，x≤y≤3x，x＋y＞3x．则

≤x≤20，从而x为15或16。

两组解分别为15，45，40；16，48，36。

例6、如果ΔABC内存在一点D，使得AD＝AB，那么，AB＜AC．

证明：

延长AD交BC于点E，连结BD．

∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB

∵∠ADB＞∠AEB＞∠ACB

∴∠ABD＞∠ACB

∵∠ABC＞∠ABD∠ABC＞∠ACB

∴AB＜AC

例7、已知：

P是ΔABC内任一点，

求证：

（a＋b＋c）＜PA＋PB＋PC＜a＋b＋c

证明：

延长BP交AC于E．∵AB＋AE＞BE＝BP＋PE，PE＋EC＞PC，

∴AB＋PE＋（AE＋EC）＞BP＋PE＋PC，即AB＋AC＞PB＋PC．

（1）

同理可证BA＋BC＞PC＋PA，

（2）

BC＋CA＞BP＋PA（3）

（1）＋

（2）＋（3）得2（AB＋BC＋CA）＞2（PA＋PB＋PC）

∴AB＋BC＋CA＞PA＋PB＋PC

即PA＋PB＋PC＜a＋b＋c（4）

又∵PB＋PC＞BC，PC＋PA＞CA，PA＋PB＞AB，

∴2（PA＋PB＋PC）＞AB＋BC＋CA，∴PA＋PB＋PC＞

（a＋b＋c），

即

（a＋b＋c）＜PA＋PB＋PC．（5）

由（4）（5）得

（a＋b＋c）＜PA＋PB＋PC＜a＋b＋c

例8、已知：

P为边长为L的等边ΔABC内任意一点．

求证：

1．5L＜PA＋PB＋PC＜2L．

证明：

过P点作BC边的平行线EF，分别交AB、AC于E、F．

∵ΔABC为等边三角形，∴∠AFE＝∠ABC＝60°，又∵∠APE＞∠AFE，

∴∠APE＞60°．

在ΔAEP中，

∵∠APE＞∠AEP，∴AE＞AP．

∵ΔAEF为等边三角形，∴AE＝EF＝AF．

∵AE＞AP，BE＋EP＞BP，PF＋FC＞PC，

∴AE＋（EB＋EP）＋（PF＋FC）＞AP＋PB＋PC，

即AB＋EF＋FC＞PA＋PB＋PC，

∴PA＋PB＋PC＜AB＋AC＝2L，

又PA＋PB＞AB，PB＋PC＞BC，PC＋PA＞AC，

∴2（AP＋PB＋PC）＞AB＋BC＋AC＝3L，

∴1．5L＜PA＋PB＋PC，∴1．5L＜PA＋PB＋PC＜2L．

例9、设ha、hb、hc是ΔABC三边上的高，求证：

＜

＜1．

证明：

在RtΔADC中，∵AC＞AD，∴b＞ha．

同理可证：

c＞hb，a＞hc，

∴ha＋hb＋hc＜a＋b＋c，

＜1．

（1）

设ΔABC的垂心为H点，

∵HA＋HF＞AF，HF＋HB＞FB，HB＋HD＞BD，

HD＋HC＞CD，HC＋HE＞CE，HE＋HA＞EA，

上述六个式子相加得，2（ha＋hb＋hc）＞a＋b＋c，则得，

＞

（2）

由

（1）、

（2）∴

＜

＜1．

延伸：

介绍费马点

问题：

在最大内角不大于120°的三角形内，是否存在一点P，使得点P到三角形三个顶点的距离和最短？

分析：

存在。

分别以三角形的三边为一边向三角形的形外作三个等边三角形，如图所示，在顺次连结等边三角形与原三角形相对的任意两对顶点，这两条线段的交点就是所要找的三角形内满足要求的点。

该点称为该三角形的费马点。

费马点具有以下两条基本性质：

（1）在三角形内该点到三角形三个顶点的距离和最小；

（2）AE、DC、BF三线共点。

下面利用旋转的思想利用图形来说明第一个性质：

例10、如图，ΔABC中∠BAC＝120°，P点是ΔABC内一点，

求证：

PA＋PB＋PC＞AB＋AC．

证明：

延长BA到D，使AD＝AC．连结CD

∵∠BAC＝120°，∴∠CAD＝60°．

∴ΔACD是等边三角形，即CD＝CA＝AD，

作∠DCE＝∠ACP，CE＝CP．连结DE、EP，则ΔCDE≌ΔCAP．

∴DE＝AP．

∵∠DCA＝60°，∠DCE＝∠ACP，∴∠ECP＝60°．

∴ΔCPE也是等边三角形，即CP＝EP

∵PA＋PB＋PC＝DE＋EP＋PB＞DA＋AB＝CA＋CB，

∴PA＋PB＋PC＞AB＋AC．

例11、已知：

ΔABC中，AB＝AC，AE＝CF，

求证：

EF≥

BC

证明：

过点A作AD∥BC且AD＝BC，连结DC，在CD上截取DK＝AE．连结EK、FK．

则ΔABC≌ΔCDA，ΔAEF≌ΔCFK，平且四边形AEKD是平行四边形，

∴EF＝FK，BC＝EK．

∵EF＋FK≥EK，∴2EF≥EK，即EF≥

BC．

例12、ΔABC中，∠A＞90°，AD⊥BC于D．求证：

AB＋AC＜AD＋BC．

证明：

（法一）在BC上取点E，使BE＝AB，在AC上取点F，使AF＝AD，连结AE、EF、DF．

则∠BEA＝∠BAE＝90°－

∠B．∠1＝90°－∠BEA，

∴∠1＝

∠B，又∠A＞90°，∴∠DAC＞∠B∴∠2＞∠1，

∵AD＝AF，AE＝AE

∴DE＜EF，且∠ADF＝∠AFD，∴∠EDF＞∠EFD，

∵∠ADE＝∠ADF＋∠EDF＝90°，

∴∠AFE＝∠AFD＋∠EFD＜90°，∴∠EFC＞90°．

∴在ΔEFC中，EF＞FC．即BC－AB＞AC－AD

∴AB＋AC＜AD＋BC

（法二）以A为顶点，AB为一边，作∠GAB＝90°．

∵∠A＞90°，∴AG在∠BAC内部，

∵AD⊥BC，AB⊥AG，

∴BG2＝AB2＋AG2

（1），BG·AD＝AB·AG

（2）

（1）＋

（2）×2得BG2＋2BG·AD＝（AB＋AG）2．

∴（BG＋AD）2＞（AB＋AG）2，即BG＋AD＞AB＋AG，

在ΔAGC中，GC＞AC－AG．∴BG＋AD＋GC＞AB＋AG＋AC－AG，

即AB＋AC＜AD＋BC．

例13、已知ΔABC中，AB＝AC，D是ΔABC内一点，∠ADB＞∠ADC．

求证：

∠DBC＞∠DCB．

证明：

∵AB＝AC，∴以A为中心，沿逆时针方向旋转ΔADB至ΔAD′C．则AD′＝AD，CD′＝BD，∠AD′C＝∠ADB．

∵∠ADB＞∠ADC，∴∠AD′C＞∠ADC

又∵∠AD′D＝∠ADD′，∴∠CD′D＝∠CDD′．

∴BD＝CD′＜CD．∴∠DBC＞∠DCB．

例14、在锐角三角形ABC中，AH是其最大的高，BM是AC边上的中线，且AH＝BM，

证明：

∠B≤60°．

证明：

延长BM至D，使DM＝BM，连结AD，则

ΔADM≌ΔCBM．

∴AD＝BC，∠D＝∠CBM．

∵AH是ΔABC最大的高，又三角形的一边与这条边上的高的乘积是定值，

∴BC是ΔABC最小的边．

∴BC≤AB，AD≤AB．∴∠CBM＝∠D≥∠ABM，

过点M作MN⊥BC于N，则MN∥AH．

∵AH＝BM，∴MN＝

BM．∴∠CBM＝30°．

∵∠B＝∠ABM＋∠CBM≤30°＋30°＝60°．即∠B≤60°（当三角形为等腰三角形时，等号成立）．

例15、过已知ΔABC的顶点A，球做一条直线，由点B和点C向这条直线作垂线BM、CN（M、N是垂足），使AM＋AN最大．

分析：

首先考虑将所有经过点A的直线分成两类：

穿过三角形和不穿过三角形，在分别讨论每一种情况下的最值。

对于不穿过三角形的情况如上左图所示，在直线于BC平行时取得最大值，最大值为BC，；对于直线穿过三角形的情况，要考虑直线应该是在经过线段BC的特殊点时才会有最大值，故不妨考虑经过BC的中点的情况，如上右图所示，其他的情况下的直线ΔADE均构成直角三角形，其中AD是斜边，从而找到这种情况下的最大值，只有当直线经过BC中点时取得最大值，最大值为2AD。

又考虑到在∠A＝90°时BC＝2AD即两种情况皆可，因此需要对分类讨论后得出的结论进行

进一步的分∠A≥90°和∠A＜90°来归纳，从而得出结论。

作法：

若∠A≥90°时，过点A作直线XY∥BC，则直线XY为所求．

若∠A＜90°时，过点A作BC中点D作直线XY，则直线XY为所求。

例16、求证：

由平面上的任意六点（其中任何三点都不在一条直线上）中，总能从中选出三点，使得以这三个点为顶点的三角形中至少有一个角不大于30°．

证明：

作直线a，使得点A、B、C、D、E、F都在a的同侧，且a不于任何两点的连线平行，则在这六个点中必有于直线a最近的点，不妨设其为F．

过点F作a′∥a，连结FA、FB、FC、FD、FE．A、B、C、D、E这五个点中的任何两点的连线都不于直线a平行，且在直线a′的同侧．

若∠AFB、∠BFC、∠CFD、∠DFE中有一个角不大于30°，则命题成立。

若上述的四个角都大于30°，则，连结AE．

在ΔAEF中，∵∠AFE＞120°，

∴∠EAF＋∠AEF＜60°，

∴∠EAF、∠AEF中至少有一个较小于30°，故命题成立。

例17、在ΔABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于D，ΔPQR是它的任一内接三角形．

求证：

PQ＋QR＋RP＞2AD．

证明：

作点Q关于AB、AC的对称点Q'、Q"，连PQ'，RQ"，AQ，AQ'，AQ"．

显然，PQ'＝PQ，RQ"＝RQ，AQ'＝AQ＝AQ"．

∠Q'AB＝∠QAB，∠Q"AC＝∠QAC，而∠BAC＝∠BAQ＋∠CAQ＝90°，

∴∠Q'AQ"＝2∠BAC＝180°．即Q'、A、Q"三点在一条直线上．

∴PQ＋QR＋RP＝Q'P＋PR＋RQ"≥Q'Q"＝2AQ．

∵AD⊥BC，∴AQ≥AD．故PQ＋QR＋RP＞2AD．

例18、2×3的矩形内放入两个与此矩形相似的互不重叠的小矩形．且每个矩形的边与大矩形的边平行，求两个矩形周长之和的最大值．

解：

这两个小矩形可以都竖放，或都横放，或一横一竖放．

⑴都竖放：

宽＝2×

＝

，两个矩形周长＝8＋

＝

．（图1）

⑵都横放，一个在另一个上面：

设一个矩形的宽为x，另一个为2－x，则周长＝2（x＋2－x）＋2×

×2＝10．（图2）

都横放，并排放置：

周长＝3×2＋2×2＝10，（图3）

⑶一横放一竖放，左边一个宽x，右边一个长y，则x＋y≤3，

x≤2，

y≤2．

周长＝2（

x＋

y）＝2×

（x＋y）＋2×

x≤12＋

．（图4）

即最大值为

．

练习：

1、在ΔABC中，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，已知

，角C为钝角，则a，2b，c的大小关系为_________________．

2、已知ΔABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，BC边上的高为ha，AC边上的高为hb，且有a≤ha，b≤hb，求ΔABC的三个内角的度数．

问题：

有一三角田，大斜15里，中斜14里，小斜13里，面积几何?

题27—20

秦九韶三斜求积公式:

海伦公式：

S＝

，p＝

（a＋b＋c）．

3、证明:

若a，b，c为三角形三边的长，且a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2＋4abc＜

．

4、如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝10，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若ΔPQR的周长最小，则最小的周长为_______________．

5、ΔABC中AB＝3，AC＝2，以BC为边的ΔBCP为等边三角形，求AP的最大值和最小值，并用图形表示出来。

6、试证：

锐角三角形的内接三角形中，以垂足三角形的周长最小。

证明（Fejer方法）分成几部分来证明：

1︒先在BC上任取一点D，固定D，求出以D为一个顶点⊿ABC的内接三角形中周长最小者．

作D关于AB、AC的对称点D’、D”，连D’D”交AB、AC于点F、E，连DF、D’F，DE、D”E，对于任一以DD一个顶点的⊿ABC的内接三角形XPQ，连QD’、QD，PD”、PD，于是可证

DE+EF+FD＝D’D”≤D’Q+QP+PD”＝DQ+QP+PD．

即⊿DEF为固定点D后周长最小的内接三角形．

2︒当点D的BC上运动时，对每一点D，都作出1︒中得出的周长最小三角形，再求这些三角形的周长最小值．

连AD、AD’、AD”，则AD＝AD’＝AD”，且∠D’AB＝∠DAB，∠D”AC＝∠DAC，于是∠D’AD”＝2∠A．所以D’D”＝2ADsinA．当点D在BC上运动时，以点D为BC边上高的垂足时AD最小．

3︒说明此时的最小三角形就是⊿ABC的垂足三角形．

由于D为BC边上的垂足．对于垂足三角形DEF，由∠DEC＝∠AEF，而∠DEC＝∠CED"，故点E在D’D”上，同理，F在D’D”上，即⊿DEF为所求得的周长最小三角形．

（Schwarz解法）这是一个非常奇妙的证法：

如图，⊿DEF为⊿ABC的垂足三角形，⊿PQR为⊿ABC的任一内接三角形．作⊿ABC关于AC的对称图形⊿ACB1，由∠DEC=∠FEA，故EF的关于AC的对称线段EF1应与DE共线．再作⊿ACB1关于AB1的对称三角形AB1C1，…，这样连续作五次对称三角形，就得到下图：

在此图中的DD4＝⊿DEF的周长的两倍．而折线PQR1P2Q2R3P4也等于⊿PQR的周长的两倍．

但易证∠BDE+∠B2D4F3＝180︒，于是DP∥D4P4，且DP＝D4P4，从而线段PP4＝DD4＝⊿DEF周长的两倍．显然，折线PQR1P2Q2R3P4的长>线段PP4的长．即⊿PQR的周长＞⊿DEF的周长．

备选题：

用反证法证明几何中的不等关系

1、试证平面上不存在这样的4点A、B、C、D，使得ΔABC、ΔBCD、ΔCDA、ΔDAB都是锐角三角形．

证明：

假设平面上存在这样的4点A、B、C、D，使得ΔABC、ΔBCD、ΔCDA、ΔDAB都是锐角三角形．

（1）若A、B、C、D四点能构成如图

（1）所示的凸四边形，由凸四边形中至少有一个内角不是锐角，否则其内角和小于360°，则与四边形内角和为360°矛盾．

（2）若A、B、C、D四点构成如图

（2）所示的凹四边形，在此情况下，必有一点在其它三点构成的三角形内（图中是D在ΔABC中的情况，其他类似），由于∠ADB＋∠BDC＋∠CDA＝360°，所以至少有一个角不小于120°，否则三个角都小于120°，与周角360°的性质相矛盾．

综上所述，原命题成立．

2、在凸四边形ABCD中，若AB＋BD≤AC＋CD，证明：

AB≤AC．

证明：

如图，假设AB＞AC，

（1）

∵∠ACB＞∠ABC，∠BCD＞∠ACB，∠ABC＞∠DBC，

∴∠BCD＞∠DBC，则BD＞CD．

（2）

由

（1）、

（2）得AB＋BD＞AC＋CD，这与已知条件相矛盾，故AB≤AC成立．

3、给出a1，a2，a3，a4，a5五条线段，它们中的任意三条都能构成三角形的三条边．

求证：

这些构成的三角形中至少有一个锐角三角形．

证明：

不妨设a1≤a2≤a3≤a4≤a5．

假设由这五条线段中任意三条组成的三角形中没有锐角三角形，则必都是直角或钝角（非锐角）三角形，因此由勾股定理的推广形式，得

a32≥a12＋a22，a42≥a22＋a32，a52≥a32＋a42，

三式相加得，a52≥a12＋2a22＋a32≥2（a12＋a22）≥（a1＋a2）2．

所以，a5≥a1＋a2．

依题设，五条线段中任意三条都能构成三角形的三边，应有a5＜a1＋a2，矛盾！

因此，这五条线段构成的三角形中至少有一个锐角三角形．

4、在边长为1的正方形ABCD中，E是BC上一点，如果AB＋BE＜DE，求证：

BE＜

．

证明：

假设BE＜

不成立，则可计算出CE＝1－BE≤

，根据勾股定理，得DE≤

，进而，根据已知条件，得BE＜

．与假设自相矛盾．

5、已知三边长为连续自然数，且周长不超过100的三角形中，锐角三角形共有多少个？

解：

不妨设锐角三角形三边长为k、k＋1、k＋2（k＞1），于是k2＋（k＋1）2＞（k＋2）2，即k2＋（k＋1）2－（k＋2）2＞0，由此得（k＋1）（k＋1－4）＞0，而k＋1＞0，故k＞3．

又根据题设，k＋（k＋1）＋（k＋2）≤100，即3k≤97，故k≤

，由此得3＜k≤

．可见，k的取值为4，5，6，…，32．所以锐角三角形的个数是29个．

6、已知等腰三角形三边长都是整数，且三边长的和是1996，问共有多少个不同的等腰三角形．

解：

设所求三角形的腰长是x，则底边长为1996－2x，根据三角形边长性质知1996＞2x＞1996－2x，即998＞x＞499，故x＝500，501，…，997，共997－499＝498个等腰三角形．

7、设A、B、C、D为平面上的任意四点，如果其中任何三点不在一条直线上，则ΔABC、ΔBCD、ΔACD、ΔABD中至少有一个三角形的某个内角满足（）

A．不超过15°B．不超过30°C．不超过45°D．以上答案都不对

解：

据题设，可作得以A、B、C、D为顶点的四边形．

若四边形ABCD是正方形，则上述四个三角形都是等腰直角三角形，由此可以否定选择支（A）、（B）．

又任意一个凸四边形，其中必有一个角α≤90°，所以上述四个三角形中，有两个角之和等于α，可见这两个角中必有一个角≤

，当然也≤45°了．

对于任意一个凹四边形，不妨设点D在ΔABC内，于是在ΔBCD、ΔACD、ΔABD中，必有一个角≤45°了，故选C．

8、如图，在四边形ABCD中，BC＞CD＞AD，O为AB的中点，∠AOD＝∠COB＝60°．求证：

CD＋AD＞BC．

证明：

如图，在OC上截取OE＝OD，则ΔDOE为等边三角形，且ΔAOD≌ΔBOE，AD＝BE，

又DC＞CE，BE＋CE＞BC．则CD＋AD＝BE＋CD＞BE＋CE＞BC．得证．