高二排列组合.docx
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高二排列组合
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课题
排列组合及二项式
学习目标与分析
学习重难点
学习内容与过程
教师分析与作业
排列与排列数
“排列”的定义包含两个基本内容：
一是“取出元素；二是“按一定的顺序排列。
“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，它是所有排列的个数，是一个数值。
或
（其中m≤nm,n∈Z）
例．下列各式中与排列数
相等的是（）
（A）
（B）n（n－1）（n－2）……（n－m）（C）
（D）
例．若S=
，则S的个位数字是（）
（A）0（B）3（C）5（D）8
学习内容与过程
教师分析与批改
组合与组合数
“一个组合”是指“从n个不同元素中取出m个元素合成一组”，它是一件事情，不是一个数；（隐含n≥m）
“组合数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数”，它是一个数值。
基本公式：
或
组合数公式具有的两个性质：
（1）
（3）
（由二项式定理知）
式
（1）说明从n个不同元素中取出m个元素，与从n个不同元素中取出n-m个元素是一一对应关系，即“取出的”与“留下的”是一一对应关系；
式
（2）说明从a，b，c……（n+1个元素）中取出m个元素的组合数可以分为两类：
第一类含某个有元素（
），第二类不含这个元素（
）。
例．求值:
（1）
;
（2）
例．有11名外语翻译人员，其中5名英语翻译员，6名日语翻译员，从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作，问这样的分配名单共可开出几张?
排列与组合的综合应用
1. 分组（堆）问题
分组（堆）问题的六个模型：
①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；（④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.）
处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
②若干个不同的元素局部“等分”有ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.
④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.
例有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程.共有多少种不同的发包方式？
变式：
12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有多少种？
2.插空法：
解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.（几个元素不能相邻时,先排一般元素，再让特殊元素插孔。
）
♀ ♀ ♀ ♀ ♀
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
例2.7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？
变式：
8人排成一排照相，若要求甲、乙、丙三人不相邻，有多少种不同的排法？
3.捆绑法
相邻元素的排列，可以采用“局部到整体”的排法，即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素，然后再进行整体排列.几个元素必须相邻时,先捆绑成一个元素，再与其它的进行排列
例3.6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法?
变式：
五人并排站成一排，如果
必须相邻且
在
的右边，那么不同的排法种数有多少种？
4.消序法（留空法）
几个元素顺序一定的排列问题，一般是先排列，再消去这几个元素的顺序.或者，先让其它元素选取位置排列，留下来的空位置自然就是顺序一定的了.
例4. 5个人站成一排，甲总站在乙的右侧的有多少种站法？
变式：
由数字0、1、2、3、4、5、组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）个。
（A）210（Ｂ）300（C）464（D）600
5.剪截法（隔板法）：
n个相同小球放入m（m≤n）个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
例某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.
变式：
某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种
变式：
求方程x+y+z=10的正整数解的个数。
（求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。
）
6.错位法：
编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.
特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
例编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.
7.剔除法
从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
例从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.
8..可重排列求幂法:
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地
个不同元素排在
个不同位置的排列数有
种方法.
例.把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？
变式：
5名运动员争夺3个项目的冠军（没有并列），所以可能的结果有多少种？
练习：
1、已知
，那么n的值是（）
2、从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（）
（A）
种（B）
种（C）
种（D）
种
3、把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a，b两种必须排在一起，而c，d两种不能排在一起，则不同排法共有（）
（A）12种（B）20种（C）24种（D）48种
4、一场晚会有5个唱歌节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单
（1）前4个节目中要有舞蹈，有多少种排法？
（2）3个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？
（3）3个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？
5、三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？
（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？
二项式定理
注意区分“二项式系数”与“各项系数”这两个概念！
展开式中的第r+1项公式：
二项式系数的性质：
1）对称性：
与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即
。
2）增减性与最大值：
当n是偶数时，中间一项的二项式第项取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数第，项相等，且同时取得最大值。
3）各二项式的系数和：
Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；其中Cn0+C2n+…=Cn1+C3n+…=2n-1。
例1设
则
中奇数的个数为（）
A．2B．3C．4D．5
例2若（x+
）n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的系数为（）
（A）6（B）7（C）8（D）9
例3）
展开式中的常数项为（）
A．1B．
C．
D．
例4若
的展开式中
的系数是80，则实数a的值是（）
A．-2 B.
C.
D.2
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