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必修2试题
2012年12月立体几何基本概念30练
选择题（共30小题）
1．（2012•浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面（ ）
A．
若l∥α，l∥β，则α∥β
B．
若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．
若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．
若α⊥β，l∥α，则l⊥β
2．（2011•浙江）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（ ）
A．
α内存在直线与l异面
B．
α内存在与l平行的直线
C．
α内存在唯一的直线与l平行
D．
α内的直线与l都相交
3．（2011•浙江）下列命题中错误的是（ ）
A．
如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．
如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．
如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ
D．
如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
4．（2010•浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB若l⊥α，l∥m，则m⊥αC若l∥α，m⊂α，则l∥mD若l∥α，m∥α，则l∥m
5．（2010•江西）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．
其中真命题是（ ）
A．
②③④
B．
①③④
C．
①②④
D．
①②③
6．（2008•江西）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A．
在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
B．
过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C．
与直线m垂直的直线不可能与平面α平行
D．
与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
7．（2008•湖南）设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．
若m∥α，n∥α，则m∥n
B.若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．
若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D.若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
8．（2008•湖南）已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则（ ）
A．
n⊥β
B．
n∥β，或n⊂β
C．
n⊥α
D．
n∥α，或n⊂α
9．（2008•海南）已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A．
AB∥m
B．
AC⊥m
C．
AB∥β
D．
AC⊥β
10．（2008•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．
若m∥α，m∥β，则α∥β
C
若m∥α，n∥α，则m∥n
D
若m⊥α，n⊥α，则m∥n
11．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．
若a，b与α所成的角相等，则α∥b
B．
若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．
若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥β
D．
若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b
12．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．
若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．
若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β
C．
若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ
D．
若m⊥β，m∥α，则α⊥β
13．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：
①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n
③m∥n，m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β
其中正确命题的序号是（ ）
A．
①③
B．
②④
C．
①④
D．
②③
14．平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m′和n′，给出下列四个命题：
①m′⊥n′⇒m⊥n；②m⊥n⇒m′⊥n′；③m′与n′相交⇒m与n相交或重合；④m′与n′平行⇒m与n平行或重合．
其中不正确的命题个数是（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
15．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．
m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β
B．
α∥β，m⊂α，n⊂β，⇒m∥n
C．
m⊥α，m⊥n⇒n∥α
D．
n∥m，n⊥α⇒m⊥α
16．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（ ）
A．
平行
B．
相交
C．
垂直
D．
互为异面直线
17．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行．②垂直于同一平面的两个平面互相平行．
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行．
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
18．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ ）
A．
等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．
等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．
等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．
等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
19．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α，β都平行于γ②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；
③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．
其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
20．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；④若m、n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β
其中真命题是（ ）
A．
①和②
B．
①和③
C．
③和④
D．
①和④
21．已知a、b、c是三条直线，β是平面，给出下列命题：
①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a∥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥β，b⊂β，则a∥b；④若a与b异面，且a∥β，则b与β相交；
⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直．其中真命题的个数是（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
22．已知直线m、n与平面α，β，给出下列三个命题：
①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β．
其中真命题的个数是（ ）
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3
23．不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：
①
，②
，③
，④
其中假命题有：
（ ）
A．
0个
B．
1个
C．
2个
D．
3个
24．在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ）
A．
若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α
B．
若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C．
若α∩β=m，且l⊥m，则l∥α
D．
若l⊥β，且α⊥β，则l∥α
25．（2004•湖北）如图是正方体的平面展开图．在这个正方形中，
①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．
①②③
B．
②④
C．
③④
D．
②③④
26．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
A．
①②
B．
②③
C．
③④
D．
①④
27．已知三条直线m、n、l，三个平面α、β、γ，下列四个命题中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
28．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）
A．
α、β都垂直于平面r
B．
α内存在不共线的三点到β的距离相等
C．
l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β
D．
l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
29．已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β=l，则l（ ）
A．
与m，n都相交
B．
与m，n中至少一条相交
C．
与m，n都不相交
D．
至多与m，n中的一条相交
30．已知直线l、m，平面α、β，且l⊥a，m⊥β，给出下列四个命题；
（1）若α∥β，则l⊥m．
（2）若l⊥m，则α∥β．
（3）若α⊥β，则l∥m．（4）若l∥m，则α//β．
其中正确命题的个数是（ ）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
2012年12月立体几何基本概念30练
参考答案与试题解析
一．选择题（共30小题）
1．（2012•浙江）设l是直线，α，β是两个不同的平面（ ）
A．
若l∥α，l∥β，则α∥β
B．
若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．
若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．
若α⊥β，l∥α，则l⊥β
考点：
平面与平面之间的位置关系．
专题：
证明题．
分析：
利用面面垂直的判定定理可证明B是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题
解答：
解：
A，若l∥α，l∥β，则满足题意的两平面可能相交，排除A；
B，若l∥α，l⊥β，则在平面α内存在一条直线垂直于平面β，从而两平面垂直，故B正确；
C，若α⊥β，l⊥α，则l可能在平面β内，排除C；
D，若α⊥β，l∥α，则l可能与β平行，相交，排除D
故选B
点评：
本题主要考查了空间线面、面面位置关系，空间线面、面面垂直于平行的判定和性质，简单的逻辑推理能力，空间想象能力，属基础题
2．（2011•浙江）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（ ）
A．
α内存在直线与l异面
B．
α内存在与l平行的直线
C．
α内存在唯一的直线与l平行
D．
α内的直线与l都相交
考点：
直线与平面平行的性质；平面的基本性质及推论．
专题：
阅读型．
分析：
根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l⊄α，判断出直线l与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．
解答：
解：
直线l不平行于平面α，且l⊄α，
则l与α相交
l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行
故B，C，D错误
故选A
点评：
本题考查线线、线面位置关系的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力．其中利用已知判断出直线l与α的关系是解答本题的关键．
3．（2011•浙江）下列命题中错误的是（ ）
A．
如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．
如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．
如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ
D．
如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
考点：
平面与平面垂直的性质．
专题：
常规题型．
分析：
本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：
A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可．
解答：
解：
由题意可知：
A、结合实物：
教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；
B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；
C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；
D、举反例：
教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．
故选D．
点评：
本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．
4．（2010•浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB若l⊥α，l∥m，则m⊥αC若l∥α，m⊂α，则l∥mD若l∥α，m∥α，则l∥m
考点：
直线与平面平行的判定．
分析：
根据题意，依次分析选项：
A，根据线面垂直的判定定理判断．C：
根据线面平行的判定定理判断．D：
由线线的位置关系判断．B：
由线面垂直的性质定理判断；综合可得答案．
解答：
解：
A，根据线面垂直的判定定理，要垂直平面内两条相交直线才行，不正确；
C：
l∥α，m⊂α，则l∥m或两线异面，故不正确．
D：
平行于同一平面的两直线可能平行，异面，相交，不正确．
B：
由线面垂直的性质可知：
平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．
故选B
点评：
本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题
5．（2010•江西）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．
其中真命题是（ ）
A．
②③④
B．
①③④
C．
①②④
D．
①②③
考点：
直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质．
专题：
数形结合．
分析：
点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交，①正确．
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，正确．
过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，③不正确．
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，正确．
解答：
解：
直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取C1C的中点N，则MN∥AB，且MN=AB，设BN与B1C1交于H，则点A、B、M、N、H共面，
直线HM必与AB直线相交于某点O．
所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故①正确．
过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故②正确．
过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故③不正确．
过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．
综上，①②④正确，③不正确，
故选C．
点评：
本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．
6．（2008•江西）设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）
A．
在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直
B．
过直线m有且只有一个平面与平面α垂直
C．
与直线m垂直的直线不可能与平面α平行
D．
与直线m平行的平面不可能与平面α垂直
考点：
空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：
综合题．
分析：
结合实例，依据空间中直线与平面之间的位置关系，对A、B、C、D一一判断正误，即可．
解答：
解：
A在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直，过交点与直线m垂直的直线有一条，在平面内与此直线平行的直线都与m垂直．
B过直线m有且只有一个平面与平面α垂直，在直线m上取一点做平面m的垂线，两条直线确定一个平面与平面α垂直，正确．
C与直线m垂直的直线不可能与平面α平行，显然不正确．
D与直线m平行的平面不可能与平面α垂直，是不正确的．
故选B．
点评：
本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．
7．（2008•湖南）设有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ）
A若m∥α，n∥α，则m∥nB若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
考点：
空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：
证明题．
分析：
由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断A、B、D；由面面垂直的性质定理判断C．
解答：
解：
A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；
C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；
故选D．
点评：
本题考查了线面的位置关系，主要用了面面垂直和平行的定理进行验证，属于基础题．
8．（2008•湖南）已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则（ ）
A．
n⊥β
B．
n∥β，或n⊂β
C．
n⊥α
D．
n∥α，或n⊂α
考点：
平面与平面平行的判定．
专题：
作图题；综合题．
分析：
由题意画出图形，容易判断选项．
解答：
解：
由题意结合图形易知D正确
故选D．
点评：
本题考查平面与平面平行和垂直的判定，直线与平面垂直和平行的判定，是基础题．
9．（2008•海南）已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ）
A．
AB∥m
B．
AC⊥m
C．
AB∥β
D．
AC⊥β
考点：
空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：
综合题．
分析：
利用图形可得AB∥l∥m；A对
再由AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B对
又AB∥l⇒AB∥β，C对
AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直，所以D不一定成立．
解答：
解：
如图所示AB∥l∥m；A对
AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B对
AB∥l⇒AB∥β，C对
对于D，虽然AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直；故错．
故选D．
点评：
高考考点：
线面平行、线面垂直的有关知识及应用
易错点：
对有关定理理解不到位而出错．
全品备考提示：
线面平行、线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点，要重点掌握
10．（2008•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A．
若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B．
若m∥α，m∥β，则α∥β
C
若m∥α，n∥α，则m∥n
D
若m⊥α，n⊥α，则m∥n
考点：
空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
专题：
阅读型．
分析：
用身边的事物举例，或用长方体找反例，对答案项进行验证和排除．
解答：
解：
反例把书打开直立在桌面上，α与β相交或垂直；
答案B：
α与β相交时候，m与交线平行；
答案C：
直线m与n相交，异面，平行都有可能，以长方体为载体；
答案D：
，正确
故选D．
点评：
本题考查了线面的垂直和平行关系，多用身边具体的例子进行说明，或用长方体举反例．
11．（2007•天津）设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．
若a，b与α所成的角相等，则α∥b
B．
若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．
若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥β
D．
若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b
考点：
平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：
证明题．
分析：
根据题意，依次分析选项，A、用直线的位置关系判断．B、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．C、用长方体中的线线，线面，面面关系验证．D、由a⊥α，α⊥β，可得到a⊂β或a∥β，再由b⊥β得到结论．
解答：
解：
A、直线a，b的方向相同时才平行，不正确；
B、用长方体验证．如图，设A1B1为a，平面AC为α，BC为b，平面A1C1为β，显然有a∥α，b∥β，α∥β，但得不到a∥b，不正确；
C、可设A1B1为a，平面AB1为α，CD为b，平面AC为β，满足选项C的条件却得不到α∥β，不正确；
D、∵a⊥α，α⊥β，
∴a⊂β或a∥β
又∵b⊥β
∴a⊥b
故选D
点评：
本题主要考查空间内两直线，直线与平面，平面与平面间的位置关系，综合性强，方法灵活，属中档题．
12．（2007•辽宁）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．
若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．
若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β
C．
若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ
D．
若m⊥β，m∥
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