分治算法举例.docx
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1设X[0：
n-1]和Y[0：
n-1]为两个数组，每个数组中含有n个已排序好的数。
试设计一个O（logn）时间的分治算法，找出X和Y的2n个数的中位数，并证明算法的时间复杂性为O（logn）。
注：
个数为奇数，则处于最中间位置的数；
个数为偶数，则中间两个数据的平均数。
解：
利用二分查找思想：
对于两个等长的数组，
如果数组长度为奇数，令mid为数组的最中间元素的位置，则有X[mid]，Y[mid]分别为两个数组的中位数，则存在以下情况：
（1）如果X[mid]n-1]和Y[0:
mid]中查找；
（2）如果X[mid]>Y[mid]，则两个数组合并后的中位数应该在X[0:
mid]和Y[mid:
n-1]中查找；
（3）如果X[mid]=Y[mid]，则两个数组合并后的中位数就是X[mid]或者Y[mid]
另外考虑特殊情况：
如果两个数组的长度为1，则无需比较大小，合并后数组的中位数即为两个数组元素的平均值。
如果数组的长度为偶数，令mid为数组的中间两个元素的较小元素的位置，此时数组X的中位数为x=（X[mid]+X[mid+1]）/2.0，数组Y的中位数为y=（Y[mid]+Y[mid+1]）/2.0（这里考虑到中位数不一定为整数）。
则存在以下情况：
（1）如果xn-1]和Y[0:
mid]中查找；
（2）如果x>y，则两个数组合并后的中位数应该在X[0:
mid]和Y[mid+1:
n-1]中查找；
（3）如果x=y，则两个数组合并后的中位数就是x或者y.
考虑特殊情况：
如果两个数组的长度为2，则如果其中一个数组A的元素刚好处于合并后的数组的中间位置，则最终的中位数为这个数组A的数组元素的平均数。
否则，则回到数组长度为偶数的一般情况。
具体如下：
doubleSearch_Median（int*A,intl1,intr1,int*B,intl2,intr2,intn）{
/*如果两个数组的长度为，则中位数为所有元素的平均数，其中
A,B为要查中位数的数组，
l1,r1,l2,r2分别为两个数组每次查询的起始位置和终点位置
n为两个数组每次查询时的范围（重新查询的数组长度）
*/
if（n==1）{
//数组长度为1的情况
return（A[l1]+B[l2]）/2.0;
}
if（n==2）{
//数组长度为2的情况
if（A[l1]>B[l1]&&A[r1] return（A[l1]+A[r1]）/2.0;
elseif（A[l1]B[r2]）
return（B[l2]+B[r2]）/2.0;
else;
}
//这里使用mid1,mid2分别来记录两个数组每次变化后的中间位置
intmid1=（r1+l1）/2;
intmid2=（r2+l2）/2;
//如果数组的长度为偶数，对数组进行查询
if（n%2==0）{
//这里考虑到偶数数组的中位数是中间两个数的平均数
doublex=（A[mid1]+A[mid1+1]）/2.0;
doubley=（B[mid2]+B[mid2+1]）/2.0;
if（x returnSearch_Median（A,mid1+1,r1,B,l2,mid2,n/2）;
}
elseif（x==y）
returnx;
else
returnSearch_Median（A,l1,mid1,B,mid2+1,r2,n/2）;
}
//如果数组长度为奇数，对数组查询
if（n%2==1）{
if（A[mid1]==B[mid2]）
returnA[mid1];
elseif（A[mid1] returnSearch_Median（A,mid1,r1,B,l2,mid2,n/2+1）;
else
returnSearch_Median（A,l1,mid1,B,mid2,r2,n/2+1）;
}
}
这样一来，因为采用的是二分查找的思想，数组又是已经排好序的，因此每次查找两个数组的中位数的时间复杂度为O
（1），比较的代价为O
（1），而查找过程总得需要重复logn次，因此算法的时间复杂度为O（logn）。
2有一实数序列a1,a2,…,aN,若iaj,则（ai,aj）构成了一个逆序对，请使用分治方法求整个序列中逆序对个数，并分析算法的时间复杂性。
例如：
序列（4,3,2）逆序对有（4,3），（4,2），（3,2）共3个
解：
数据输入：
a数组，n（元素个数）
采用归并排序思想：
将序列看成一个数组
假设f（i,j）为i到j的逆序对个数，取一个分割点k，假设s（i,j,k）表示以k为分割点，第一个元素在i到k中，第二个元素在k+1到j中形成的逆序对数。
那么可以形成一个递归式：
f（i,j）=f（i,k）+f（k+1,j）+s（i,j,k）.采用归并排序算法进行递归求解，如果对于A数组的i到k和k+1到j两个部分皆为有序的情况，那么对于当a[j]则可以据此得到相应算法。
首先设置一个计数器记录逆序对个数，每次归并分成分割与合并两部分，在合并部分中过程中添加计数过程，具体如下：
staticintcount=0;//定义一个计数器，记录逆序对个数
voidmerge（inta[],intp,intq,intr）{
//合并过程，其中a[]为原数组，p为数组的起始位置，q为分割位置，r为元素个数
intn1=q-p+1;
intn2=r-q;
//定义两个新数组存放数组a中的元素
int*l=newint[n1+1];
int*rl=newint[n2+1];
for（inti=0;i l[i]=a[p+i-1];
for（intj=0;j rl[j]=a[q+j];
l[n1]=65535;//将新数组的最后一个位置设为无限大作为哨兵
rl[n2]=65535;
inti=0;
intj=0;
//合并两个数组到原数组
for（intk=p-1;k if（l[i]<=rl[j]）{
a[k]=l[i];
i++;
}
else{
a[k]=rl[j];
j++;
count+=（q-i+1-p）;//存在逆序对，将逆序对数进行记录
}
}
}
voidmergeSort（inta[],intp,intr）{
//分割过程，r为元素个数
if（p {
intq=（p+r）/2;
mergeSort（a,p,q）;
mergeSort（a,q+1,r）;
merge（a,p,q,r）;
}
}
时间复杂度分析：
因为记录的过程是随着归并排序的过程处理的，仅仅在合并到原数组的过程中添加一条语句，用于记录。
因此算法的时间复杂度为O（nlogn）。
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