线段及差最值问题.docx
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线段及差最值问题
.
专题一.线段和〔差〕的最值问题
【知识依据】
1．线段公理——两点之间，线段最短；
2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；
3．三角形两边之和大于第三边；
4．三角形两边之差小于第三边；
5、垂直线段最短。
一、两个定点：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
〔1〕点A、B在直线m两侧：
AA
mm
P
B
B
〔2〕点A、B在直线同侧：
A
B
m
A、A’是关于直线m的对称点。
A
B
m
P
A'
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
〔1〕两个点都在直线外侧：
A
Amm
P'P
nn
Q'Q
BB
.
.
〔2〕一个点在内侧，一个点在外侧：
A
Amm
P
B
B
n
n
Q
B'
〔3〕两个点都在内侧：
m
A'
m
A
P
A
B
B
n
Q
n
B'
〔4〕、台球两次碰壁模型
变式一：
点A、B位于直线m,n的内侧，在直线
n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形
ADEB周长最短.
n
n
A
A'
A
B
B
D
m
m
E
B'
变式二：
点A位于直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
n
n
A'
A
A
Q
m
m
P
A"
.
.
二、一个动点，一个定点：
〔一〕动点在直线上运动：
点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小〔在图中画出点P和点B〕
1、两点在直线两侧：
n
n
B
m
m
A
P
A
2、两点在直线同侧：
n
n
B
AA
mm
P
A'
〔二〕动点在圆上运动：
点B在⊙O上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小〔在图中画出点P和点B〕
1、点与圆在直线两侧：
OOB'
B
P'
m
P
m
A
A
2、点与圆在直线同侧：
O
O
B
A
A
m
P
m
A'
.
.
三、A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。
（原理用平移知识解）
〔1〕点A、B在直线m两侧：
AAC
P
Q
m
m
P
Q
B
B
过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左移动PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
〔2〕点A、B在直线m同侧：
A
E
A
B
B
m
PQ
m
PQ
B'
四、求两线段差的最大值问题（运用三角形两边之差小于第三边）
1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
〔1〕点A、B在直线m同侧：
A
A
B
B
m
P
m
P'
〔2〕点A、B在直线m异侧：
A
A
B'
m
P'
m
P
B
B
过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
.
.
Ⅰ．专题精讲
最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和〔差〕问题，要归归于几何模型：
（1〕归于“两点之间的连线中，线段最短〞凡属于求“变动的两线段之和的最小值〞时，大都应用这一模型．
（2〕归于“三角形两边之差小于第三边〞凡属于求“变动的两线段之差的最大值〞时，大都应用这一模型．
Ⅱ．典型例题剖析
B
一．归入“两点之间的连线中，线段最短〞
A
Ⅰ．“饮马〞几何模型：
条件：
如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．
l
问题：
在直线l上确定一点
P，使PA＋PB的值最小．
模型应用：
1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．那么PB+PE的最小值是．
2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，那么PA+PC的最小值
是．
3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动
点，那么BM+MN的最小值是．
第1题第2题第3题第4题
4．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋
PD的和最小时，PB的长为__________．
5．如图，等腰梯形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，∠ABC＝60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，那么PA+PB的
最小值为．
6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，
那么PA＋PB的最小值为．
第5题第6题第7题
7．A（－2，3），B（3，1），P点在x轴上，假设PA＋PB长度最小，那么最小值为．假设PA—PB长度最大，那么最
大值为．
.
.
8．：
如下图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕设点P在该抛物线上滑动，且满足条件
S△PAB＝1的点P有几个？
并求出所有点
P的坐标；
〔3〕设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点
M，使得△MAC的周长最小？
假设存在，求出点
M的坐
标；假设不存在，请说明理由．
Ⅱ．台球两次碰壁模型
点A位于直线m，n的内侧，在直线m、n分别上求点P、Q点，使PA+PQ+QA周长最短.
变式：
点A、B位于直线m，n的内侧，在直线m、n分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
模型应用：
1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
2．如图，平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A（2，－3〕，B（4，－1〕
设M，N分别为x轴和y轴上的动点，请问：
是否存在这样的点M（m，0〕，N（0，n）,使四边形ABMN的周长最短？
假设
存在，请求出m＝______，n＝______〔不必写解答过程〕；假设不存在，请说明理由．
.
.
中考赏析：
1．著名的恩施大峡谷〔A〕和世界级自然保护区星斗山〔
B〕位于笔直的沪渝高速公路
X同侧，AB=50km、B到直线X
的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一效劳区
P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，
图〔1〕是方案一的示意图〔AP与直线X垂直，垂足为
P〕，P到A、B的距离之和S1＝PA＋PB，图〔2〕是方案二的
示意图〔点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P〕，P到A、B的距离之和S2＝PA＋PB．
（1〕求S1、S2，并比拟它们的大小；
（2〕请你说明S2＝PA＋PB的值为最小；
〔3〕拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图〔3〕所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为
30km，请你在X旁和Y旁各修建一效劳区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
3
2
18
x＋3和y轴的交点为A，M为OA
的中点，假设有一动点
P，自M点处出发，沿直线运动到
2．如图，抛物线y＝
x－
5
5
x轴上的某点〔设为点E〕，再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点
〔设为点F〕，
最后又沿直线运动到点
A，求使点P运动的总路程最短的点
E，点F的坐标，
并求出这个最短路程的长．
.
.
Ⅲ．A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小．（原理用平移知识解）
〔1〕点A、B在直线m两侧：
〔2〕点A、B在直线m同侧：
模型应用：
1
2
－x错误!
未指定书签。
＋2的顶点为A，与y轴交于点B．
1.如图，抛物线
y＝－4x
（1）求点A、点B的坐标；
（2）假设点P是x轴上任意一点，求证：
PA－PB≤AB；
（3）当PA－PB最大时，求点P的坐标.
2.如图，直线
y＝
1
x＋1与y轴交于点A，与x轴交于点D，
2
抛物线y＝1x2＋bx＋c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．2
.
.
〔1〕求该抛物线的解析式；
〔3〕在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标．
y
E
y
A
DOBCx
3.如图，直线y＝－3x＋2与x轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，⊙A经过点B和点O，直线BC交⊙A于点D．
〔1〕求点D的坐标；
〔2〕过O，C，D三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使线段PO与PD之差的值最大？
假设存在，请
求出这个最大值和点P的坐标．假设不存在，请说明理由．
4.：
如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC＝3，BC＝2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．
〔1〕试直接写出点D的坐标；
〔2〕点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连
接OP．假设以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；
.
.
〔3〕试问在〔2〕抛物线的对称轴上是否存在一点
T，使得|TO－TB|的值最大？
假设存在，那么求出点
T点的坐标；假设不
存在，那么说明理由．
一．归入“三角形两边之差小于第三边〞
1.直线2x-y-4=0上有一点P，它与两定点A〔4，-1〕、B〔3，4〕的距离之差最大，那么P点的坐标是.
2.A、B两个村庄的坐标分别为〔2，2〕，〔7，4〕，一辆汽车〔看成点P〕在x轴上行驶．试确定以下情况下汽车〔点P〕的位置：
〔1〕求直线AB的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大？
〔2〕汽车行驶到什么点时，到A、B两村距离相等？
好题赏析：
原型：
：
P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
.
.
例题：
如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD〔不含B点〕上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1〕求证：
△AMB≌△ENB；
（2〕①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
〔3〕当AM＋BM＋CM的最小值为3＋1时，求正方形的边长．
变式：
如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60，△ABE是等边三角形，M为对角线BD〔不含B点〕上任意一点，
将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，那么以下五个结论中正确的选项是〔〕
①假设菱形ABCD的边长为1，那么AM＋CM的最小值1；
②△AMB≌△ENB；
③S四边形AMBE=S四边形ADCM；④连接AN，那么AN⊥BE；
⑤当AM＋BM＋CM的最小值为23时，菱形ABCD的边长为2．
A．①②③B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤
.
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