1高中数学数列练习题与解析.docx
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1高中数学数列练习题与解析
数列练习题
一．选择题（共
16小题）
1．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且
bn=an+1﹣an（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（
）
A．0
B．3
C．8
D．11
2．在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+
），则an=（
）
A．2+lnn
B．2+（n﹣1）lnn
C．2+nlnn
D．1+n+lnn
3．已知数列{an}的前n项和Sn=n
2﹣9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于（
）
A．9
B．8
C．7
D．6
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=（
）
A．2n﹣1
B．
C．
D．
5．已知数列{an}满足a1=1，且
，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为（
）
A．
an=
B．n
C．n
D．n
n
a=
a=n+2
a=（n+2）3
6．已知数列{an}中，a1=2，an+1﹣2an=0，bn=log2an，那么数列{bn}的前10项和等于（
）
A．130
B．120
C．55
D．50
7．在数列
an中，若a1
1,an1
2an
3（n1），则该数列的通项
an（
）
A．2n
3
B．2n13
C．2n
3
D．2n1
3
8．在数列{an}中，若a1=1，a2=
，
=
+
（n∈N
*），则该数列的通项公式为（
）
A．n
B．n
C．n
D．n
a=
a=
a=
a=
9．已知数列{an}满足an+1=an﹣an﹣1（n≥2），a1=1，a2=3，记Sn=a1+a2+⋯+an，则下列结论正确的是（
）
A．a
B．
a=﹣3，S
=5
100=﹣1，S100=5
100
100
C．a100=﹣3，S100=2
D．a100=﹣1，S100=2
10．已知数列{a
}中，a=3，a=2a+1，则a=（
）
n
1
n+1
n
3
A．3
B．7
C．15
D．18
11．已知数列
{an}，满足
an+1=
，若
a1=
，则
a2014=（
）
A．
B．2
C．﹣1
D．1
12．已知数列
an中，a1
5
an1
1an
（1）n1，，则an=（
）
6
3
2
A．3
（1）n
2
（1）n
B．3
（1）n1
2
（1）n1
C．2
（1）n
3
（1）n
D．2
（1）n1
3
（1）n1
2
3
2
3
2
3
2
3
13．已知数列
an
中，a1
1；数列bn
中，b10。
当n
2时，an
1（2an1bn1）,bn
1（an12bn1），求an,bn.
3
3
（
）
14．已知：
数列{an}满足a1=16，an+1﹣an=2n，则
的最小值为（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
15．已知数列{an}中，a1=2，nan+1=（n+1）an+2，n∈N+，则a11=（
）
A．36
B．38
C．40
D．42
16．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，an+2Sn﹣1=n，则S2015的值为（
）
A．2015
B．2013
C．1008
D．1007
二．填空题（共
8小题）
17．已知无穷数列{an}前n项和
，则数列{an}的各项和为
18．若数列{an}中，a1=3，且an+1=an
2（n∈N*），则数列的通项an=
．
19．数列{an}满足a1=3，
﹣
=5（n∈N+），则an=
．
20．已知数列{an}的前n项和Sn=n
2﹣2n+2，则数列的通项
an=
．
21．已知数列{an}中，
，则a16=
．
22．已知数列{a
}的通项公式a=
，若它的前n项和为10，则项数n为
．
n
n
23．数列{a
n
}的前60项和为
．
}满足a+（﹣1）a=2n﹣1，则{a
n
n+1
n
n
24．已知数列{an}，{bn}满足a1=，an+bn=1，bn+1=
（n∈N*），则b2012=
．
三．解答题（共
6小题）
25．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*．已知a1=1，a2=
，a3=，且当a≥2时，4Sn+2+5Sn=8Sn+1+Sn﹣1．
（1）求a4的值；
（2）证明：
{an+1﹣an}为等比数列；
（3）求数列{an}的通项公式．
26．数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2．
（Ⅰ）设bn=an+1﹣an，证明{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求{an}的通项公式．
27．在数列{an}中，a1=1，an+1=（1+）an+．
（1）设bn=，求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn．
28．（2015?
琼海校级模拟）已知正项数列满足4Sn=（an+1）2．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．
29．已知{an}是等差数列，公差为
d，首项a1=3，前n项和为Sn．令
，{cn}的前20项
n﹣2n﹣1
，a∈R．
和T20=330．数列{bn}满足bn=2（a﹣2）d+2
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn+1≤bn，n∈N*，求a的取值范围．
30．已知数列{an}中，a1=3，前n和Sn=（n+1）（an+1）﹣1．
①求证：
数列{an}是等差数列
②求数列{an}的通项公式
③设数列{}的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得Tn≤M对一切正整数n都成立？
若存在，求M的最小值，
若不存在，试说明理由．
2015年08月23日1384186492的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共
16小题）
1．（2014?
湖北模拟）数列
{an}的首项为
3，{bn}为等差数列且
bn=an+1﹣an（n∈N*），若
b3=﹣2，b10=12，则
a8=（
）
A．0
B．3
C．8
D．11
（累加）
考点：
数列递推式．
专题：
计算题．
分析：
先利用等差数列的通项公式分别表示出
b3和
b10，联立方程求得
b1和d，进而利用叠加法求得
b1+b2+⋯+bn=an+1
﹣a1，最后利用等差数列的求和公式求得答案．
解答：
解：
依题意可知求得b1=﹣6，d=2
∵bn=an+1﹣an，
∴b1+b2+⋯+bn=an+1﹣a1，
∴a8=b1+b2+⋯+b7+3=+3=3
故选B．
点评：
本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．
2．（2008?
江西）在数列
{an}中，a1=2，an+1=an+ln（1+
），则an=（
）
A．2+lnn
B．2+（n﹣1）lnn
C．2+nlnn
D．1+n+lnn
（累加）
考点：
数列的概念及简单表示法．
专题：
点列、递归数列与数学归纳法．
分析：
把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成
，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．
解答：
解：
∵
，
，
⋯
∴
=
故选：
A．
点评：
数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n﹣1等，这种办
法通常称迭代或递推．解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．
3．（2007?
广东）已知数列
{an}的前n项和Sn=n
2﹣9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于（
）
A．9
B．8
C．7
D．6
考点：
数列递推式．
专题：
计算题．
分析：
先利用公式an=求出an，再由第k项满足5＜ak＜8，求出k．
解答：
解：
an=
=
∵n=1时适合an=2n﹣10，∴an=2n﹣10．
∵5＜ak＜8，∴5＜2k﹣10＜8，
∴＜k＜9，又∵k∈N+，∴k=8，
故选B．
点评：
本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式an=的合理运用．
4．（2015?
房山区一模）已知数列
{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn=（
）
A．2n﹣1
B．
C．
D．
考点：
数列递推式；等差数列的通项公式；等差数列的前
n项和．
专题：
计算题．
分析：
直接利用已知条件求出
a2，通过Sn=2an+1，推出数列是等比数列，然后求出Sn．
解答：
解：
因为数列{an
n，a1
n
n+1，a2
=
}的前n项和为S
=1，S=2a
所以Sn﹣1=2an，n≥2，可得an=2an+1﹣2an，即：
，
所以数列{an}从第2项起，是等比数列，所以Sn=1+=，n∈N+．
故选：
B．
点评：
本题考查数列的递推关系式的应用，前n项和的求法，考查计算能力．
5．（2015?
衡水四模）已知数列
{an}满足a1=1，且
，且n∈N*），则数列{an}的通项公式为
（
）
A．an=
B．an=
C．an=n+2
D．an=（n+2）3
n
考点：
数列递推式．
分析：
由题意及足a1=1，且
，且n∈N*），则构造新的等差数列进而求解．
解答：
，且n∈N*）?
解：
因为
，
即，则数列{bn}为首项，公差为1的等差数列，
所以bn=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，
故答案为：
B
点评：
此题考查了构造新的等差数列，等差数列的通项公式．
6．（2015?
江西一模）已知数列
{an}中，a1=2，an+1﹣2an=0，bn=log2an，那么数列{bn}的前10项和等于（
）
A．130
B．120
C．55
D．50
考点：
数列递推式；数列的求和．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
由题意可得，可得数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得到
an，利用对数的运算法则即可得到bn，再利用等差数列的前n项公式即可得出．
解答：
解：
在数列{an}中，a1=2，an+1﹣2an=0，即，
∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴=2n．
∴=n．
∴数列{bn}的前10项和=1+2+⋯+10=
=55．
故选C．
点评：
熟练掌握等比数列的定义、等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的前n项公式即可得出．
7．在数列
an中，若a1
1,an12an3（n
1），则该数列的通项
an（
）
A．2n
3
B．2n13
C．2n
3
D．2n1
3
8．（2015?
遵义校级二模）在数列
{an}中，若a1=1，a2=
，
=+
（n∈N*），则该数列的通项公式为（
）
A．n
B．n
C．n
D．n
a=
a=
a=
a=
考点：
数列递推式．
专题：
计算题；等差数列与等比数列．
分析：
由=+，确定数列{}是等差数列，即可求出数列的通项公式．
解答：
解：
∵=+，
∴数列{}是等差数列，
∵a1=1，a2=，
∴=n，
∴an=，
故选：
A．
点评：
本题考查数列递推式，考查数列的通项公式，确定数列{}是等差数列是关键．
﹣a﹣（n≥2），a
，记Sn=a1+a2+⋯+an
，则下列结论正确的是（
）
9．（2015?
锦州一模）已知数列{an}满足an+1=ann1
1=1，a2=3
A．a100=﹣1，S100=5
B．a100=﹣3，S100=5
C．a100=﹣3，S100=2
D．a100=﹣1，S100=2
考点：
数列递推式；数列的求和．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
由an+1=an﹣an﹣1（n≥2）可推得该数列的周期为
6，易求该数列的前
6项，由此可求得答案．
解答：
解：
由
an+1=an﹣an﹣1（n≥2），得
an+6=an+5﹣an+4=an+4﹣an+3﹣an+4=﹣an+3=﹣（an+2﹣an+1）=﹣（an+1﹣an﹣an+1）=an，
所以6为数列{an}的周期，
又a3=a2﹣a1=3﹣1=2，a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1，a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3，a6=a5﹣a4=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，
所以a100=a96+4=a4=﹣1，
S100=16（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+a1+a2+a3+a4=16×0+1+3+2﹣1=5，
故选A．
点评：
本题考查数列递推式、数列求和，考查学生分析解决问题的能力．
10．（2015春?
沧州期末）已知数列{a
}中，a=3，a
=2a
+1，则a=（
）
n
1n+1
n
3
A．3
B．7
C．15
D．18
考点：
数列的概念及简单表示法．
专题：
点列、递归数列与数学归纳法．
分析：
根据数列的递推关系即可得到结论．
解答：
解：
∵a1=3，an+1=2an+1，
∴
a2=2a1+1=2×3+1=7，
a3=2a2+1=2×7+1=15，
故选：
C．
点评：
本题主要考查数列的计算，利用数列的递推公式是解决本题的关键，比较基础．
11．（2015春?
巴中校级期末）已知数列
{an}，满足
an+1=
，若
a1=
，则
a2014=（
）
A．B．2C．﹣1D．1
考点：
数列递推式．
专题：
等差数列与等比数列．
分析：
由已知条件，分别令
n=1，2，3，4，利用递推思想依次求出数列的前
5项，由此得到数列{an}是周期为
3的周
期数列，由此能求出
a2014．
解答：
解：
∵数列{an}，满足an+1=
，a1=，
∴a2==2，
a3==﹣1，
a4==，
，
∴数列{an}是周期为3的周期数列，
∵2014÷3=671⋯1，
∴a2014=a1=．
故选：
A．
点评：
本题考查数列的第2014项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．
12．已知数列
an中，a1
5
an1
1an
（1）n1，，则an=（
）
6
3
2
A．3
（1）n
2
（1）n
B．3
（1）n1
2
（1）n1
C．2
（1）n
3
（1）n
D．2
（1）n1
3
（1）n1
2
3
2
3
2
3
2
3
13．已知数列
an中，a1
1；数列bn中，b10。
当n
2时，an
1
bn1）,bn
1
（2an1
（an12bn1），求an,bn.
3
3
（
）
A．an
1[1
（1）n1]bn
1[1
（1）n1]B．an
1[1
（1）n1]bn
1[1
（1）n1]
C．
2
3
2
3
2
3
2
3
解：
因an
bn
1（2an
1
bn
1）
1（an1
2bn1）
an1
bn1
3
3
所以an
bn
an1bn1
an2
bn2
a2
b2
a1
b11
即an
bn
1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（
1）
又因为an
bn
1（2an
1
bn
1）
1（an1
2bn1）
1（an1
bn1）
3
3
3
所以an
bn
1（an1
bn1）
（1）2an2
bn2）⋯⋯
（1）n1（a1
b1）
3
3
3
（1）n1
.即an
bn
（1）n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（
2）
3
3
由
（1）、
（2）得：
an
1[1
（1）n1]，bn
1[1
（1）n1]
2
3
2
3
14．（2014?
通州区二模）已知：
数列
{an}满足a1=16，an+1﹣an=2n，则
的最小值为（
）
A．8
B．7
C．6
D．5
考点：
数列递推式．
专题：
计算题；压
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