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湍流的数值模拟方法进展Word版
《高等计算流体力学》课程作业
湍流的数值模拟方法进展
1概述
自然环境和工程装置中的流动常常是湍流，模拟任何实际过程首先遇到的就是湍流问题，而湍流问题本身乂是流体力学理论上的难题。
对于某些简单的均匀时均流场，如果湍流脉动是各向均匀及各向同性的，可以用经典的统讣理论来分析，但实际上的湍流往往是不均匀的，给理论分析带来了极大困难。
湍流是空间上不规则和时间上无秩序的一种非线性的流体运动，表现出非常复杂的流动状态，主要表现在湍流流动的随机性、有旋性、统汁性。
传统il•算流体力学中描述湍流的基础是Navier-Stokes（N-S）方程，根据N-S方程中对湍流处理尺度的不同，湍流数值模拟方法主要分为：
直接数值模拟（DNS）、雷诺平均方法（RANS）和大涡模拟（LES）。
直接数值模拟可以获得湍流场的精确信息，是研究湍流机理的有效手段，但现有的计算资源往往难以满足对高雷诺数流动模拟的需要，从而限制了它的应用范圉。
雷诺平均方法可以讣算高雷诺数的复杂流动，但给出的是平均运动结果，不能反映流场脉动的细节信息。
大涡模拟基于湍动能传输机制，直接计算大尺度涡的运动，小尺度涡运动对大尺度涡的影响则通过建立模型体现出来，既可以得到比雷诺平均方法更多的诸如大尺度涡结构和性质等的动态信息，乂比直接数值模拟节省计算量，从而得到了越来越广泛的发展和应用。
2雷诺平均方法（RANS）
雷诺平均模拟（RANS）即应用湍流统计理论，将非定常的N-S方程对时间作平均，求解工程中需要的时均量。
利用湍流模式理论，对Reynolds应力做出各种假设，即假设各种经验的和半经验的本构关系，从而使湍流的平均Reynolds方程封闭。
2.1控制方程
对非定常的N-S方程作时间演算，并采用Boussinesp假设，得到Reynolds
方程
du：
—du：
—1dpd2Uf加//
一+u—=乙一+V一—
dtdxtpdxfdxpx）dxj
£
dxi
式中，附加应力可记为%=_puMj,称为雷诺应力。
这种方法只计算大尺度平均流动，而所有湍流脉动对平均流动的影响，体现到雷诺应力％中。
曲于雷诺应力在控制方程中的出现，造成了方程不封闭，为使方程组封闭，必须建立湍流模型。
2.2湍流模型
LI前丄程计算中常用的湍流模型从对模式处理的出发点不同，可以将湍流模式理论分类成两大类：
一类引入二阶脉动项的控制方程而形成二阶矩封闭模型，或称为雷诺应力模型，另一类是基于Boussinesq的涡粘性假设的涡粘性封闭模式，如零方程模型，一方程模型和二方程模型。
2.2.1雷诺应力模型
雷诺应力模型（RSM）从Reynolds应力满足的方程出发，直接建立以《弘丿为因变量的偏微分方程，将方程右端未知的项（生成项，扩散项，耗散项等）用平均流动的物理量和湍流的特征尺度表示出来，并通过模化封闭。
封闭LI标是雷诺应力输运方程：
du^u—du\u.du：
—du
+IL=-UIL—-一UU.—1-+观+£）,.-
&k%1k筑Jkdxk咒yy（7）
式中血散项。
是雷诺应力再分配项，Dtj是雷诺应力扩散项，旬是雷诺应力耗
典型的平均流动的变量是平均速度和平均温度的空间导数。
这种模式理论,由于保留了Reynolds应力所满足的方程，如果模拟的好，可以较好地反映Reynolds应力随空间和时间的变化规律，因而可以较好地反映湍流运动规律。
因此，二阶矩模式是一种较高级的模式，但是，由于保留了Reynolds应力的方程,加上平均运动的方程整个方程组总计15个方程，应用这样一个庞大的方程组来解决实际工程问题，计算量很大，极大地限制了二阶矩模式的应用。
2.2.2涡粘性模型
涡粘性模型在工程湍流问题中得到广泛应用。
这是山Boussinesq仿照分子粘性的思路提出的，即设Reynolds应力为，
——22
=~v7Pj+Uji+-u3ij）+-k%
1——
k=—
这里2是湍动能，冬称为涡粘性系数，这是最早提岀的基准涡粘性模式.即假设
雷诺应力与平均速度应变率成线性关系，当平均速度应变率确圧后，六个雷诺应力只需要通过确左一个涡粘性系数”7•就可完全确肚，且涡粘性系数各向同性，可以通过附加的湍流量来模化，比如湍动能k,耗散率比耗散率w以及其它湍流^T=k/£,l=k3,2/S,q=4k，根据引入的湍流星的不同，可以得到不同的涡粘性模式，比如常见的kY,k-w模式，以及后来不断得到发展的k-T,q-w,k-l等模式，涡粘性系数可以分别表示为vT=C^CIs
rk
Vt=C—
co
VT=C“好
匚
coyT=c应i
雷诺平均方法的优点为
（1）对计算机的要求较低，同时可以得到符合工程要求的计算结果。
（2）—旦给定合理的Reynolds应力模型，可以很容易地从RANS方程解出湍流的统计量，所需要的计算资源小。
（3）儿乎能对所有雷诺数范围的匸程问题求解，并得出一些有用的结果。
其不足之处在于：
（1）对不同类型的湍流，需要采用不同的Reynolds应力模型，甚至对于同一类型的问题，对应于不同的边界条件需要修改模型的常数。
（2）由于不区分旋涡的大小和方向性，对旋涡的运动学和动力学问题考虑不足，不能用来对流体流动的机理进行描述。
（3）对于非定常流动、大分离流动、逆压力梯度数值模拟等问题，受湍流模型条件的限制，很难得到满意的讣算结果。
（4）严重依赖流场形状和边界条件，普适性差，计算很大程度上依赖于经验。
2.3常用的湍流模型
常用的湍流模型有：
零方程模型：
C-S模型，由Cebeci-Smith给出；B-L模型,illBaldwin-Lomax给出。
一方程模型：
来源由两种，一种从经验和量纲分析出发，针对简单流动逐步发展起来，如Spalart-AlImaras（S-A）模型；另一种山二方程模型简化而来，如Baldwin-Barth（B-B）模型。
二方程模型:
应用比较广泛的两方程模型有Jones与Launder提出的标准k-e模型，以及k-omega模型。
1、零方程模型
上世纪30年代发展的一系列湍流的半经验理论，如Prandtl的混合长度理论、Taylor的涡量输运理论、vonKarman的相似性理论等，本质上即是零方程湍流模型。
零方程模型直接建立雳诺应力与平均速度之间的代数关系，山于不涉及代数关系故称为零方程模型：
du
~PliV=P£.n—
其中刍称为涡粘系数，与分子的运动粘性系数V有相同的量级。
对于一般的三维的情况，上式可写为：
2
~Pll.vj=2£,爲一
K为单位质量的湍流脉动动能。
为了发展上述方法，需要建立召与平均速度之间的关系。
1925年，普朗特提出混合长度理论，认为存在这样的长度/,在此长度内流体质点运动是自由的，/称为混合长度。
由于湍流漩涡的作用，到达新位置后他会低于当地周圉的平均速度，此即流向脉动速度（/（儿），显然,此速度差取决于当地的平均速度梯度6（7/勿与微团沿y向跳动的距离/,即：
6y
此/表示在此距离内微团沿y向脉动时基本不丧失其原有速度。
实际测量表明，虽然一般情况下流向的脉动速度的均方根值大于法向值，但他们有相同的量级,因此有：
・8U
va/
ay
所以有:
山此可算岀涡粘性系数为:
山此可见，若假设/不随速度变化，则可得出湍流切应力与平均速度平方成比例,这与实验结果是一致的。
混合长度理论已成功用于研究多种湍流剪切流，如流管、边界层和各种湍流剪切流。
U询应用最广泛的零方程模型是Baldwim-Lomax模型，该模型对湍流边界层的内层和外层采用不同的混合长度假设，在流体分离不严重的流场计算中结果较好。
但是实际上，零方程湍流模型仅适用于局部平衡状态的湍流流动。
2,、一方程模型
一方程模型一般求解湍流动能或涡粘性系数的输运方程，精度较好，鲁棒性也比较好，B-B模型和S-A模型是典型的单方程模型。
特别是S-A模型，从经验和量纲分析出发得岀了涡粘性系数的输运方程，采用大量的实验结果标定模型系数，具有良好的鲁棒性和讣算准确性，U前已经被集成在各种商业软件和科学计算的代码中，在航空航天领域的空气动力学计算中得到了十分广泛的应用。
S-A模型常被认为介于B-L代数模型和两方程模型之间。
由于其容错功能好,处理复杂流动的能力强，已得到广泛应用。
与B-L模型相比，其湍流涡粘场是连续的。
且容错性好，讣算量少。
该湍流的原理是建立在一个附加的涡粘输运方程的解决上。
方程中包含对流项，扩散项和源项，以非守恒形式建立。
S-A模型不同于其他一些单方程模型，是直接根据经验和量纲分析，从简单流动开始，直接得到最终的控制方程。
该模型具有一些很好的特点，相对于两方程模型讣算量小和稳定性好，同时乂有较高的精度。
山于模型方程的因变量函数在对数律区内与到壁面的距离成线性关系，所以可以使用相对与低雷诺数模型较粗的网格。
另外，模型是非当地型的，方程中没有诸如y+这类当地型的项在内，所以在有多个物理面的复杂流场中不需要特殊处理，使用方便。
3、两方程模型
上世纪70年代，Launder发展的k-s模型被称为标准k-g模型，它求解湍流动能k及湍流动能耗散率£的输运方程,能够反映一定的湍流物理量的输运特性,是两方程湍流模型的先驱性工作。
之后研究人员乂发展了重整化群k-s（RNGk-w）模型、可实现性k弋模型等，进一步强化了k-w系列模型的计算性能。
另外一个系列的两方程模型为So模型系列，其中比较有代表性的有标准k-e模型和SSTS"模型。
一般来说，k-g模型对高Re数充分发展的湍流模拟结果较好,而£-0模型改进了k-g模型对受壁面影响湍流模拟的缺陷，对壁面附近的湍流模拟精度较高。
（1）k-g模型
kt模型是分别引入关于湍动能k和耗散率£的方程：
6（來）6fdueok
^+—（p^）=—（_—）+GX,+Gh_^
d（ps）az6比&k、w（-
二r+瓦e沪忘（石玩）+於也一
其中:
二“[2（<）2+2
（二）2+（巴+空）
oxcyoyox
/<=//+/
£
模型中各通用常数据计算经验可取为:
C/z=0.09,q=1・44心=192、=Lb《=1.3
标准Ky模型的特点：
可用于边界层型流动和分离流；近壁需修正或在汁算边界上用壁函数（半经验公式）作边界条件；属于涡粘模型；£方程模化不确定因素多，可靠性差；模型常数通用性差；不能模拟强各向异性流（如矩形槽道中的二次流）；不能计•入涡量的影响。
除此之外还有各种改进的&Y模型，比较著名的是RNGkY模型和带旋流修正的k-s模型。
（2）k-co模型
标准模型是基于WilcoxSo模型，它是为考虑低雷诺数、可压缩性和剪切流传播而修改的。
WilcoxSe模型预测了自山剪切流传播速率，像尾流、混合流动、平板绕流、圆柱绕流和放射状喷射，因而可以应用于墙壁束缚流动和自由剪切流动。
标准k-£模型的一个变形是SSTk-co模型。
SSTk-co模型由Menter发展，以便使得在广泛的领域中可以独立于模型，使得在近壁自山流中「少模型有广泛的应用范用和精度。
为了达到此LI的,
模型变成了k-3公式。
SST&P模型和标准模型相似，但有以下改进:
（1）SSTk-co模型是由标准的模型和变形的模型分别乘上一个混合函数相加得到的，在近壁面混合函数将为1,此时启用标准「少模型，在远壁面，混合函数将为0,此时启用变形的So模型。
（2）SST—q模型合并了来源于方程中的交义扩散。
（3）湍流粘度考虑到了湍流剪应力的传播。
（4）模型常量不同。
这些改进使得SSTZr-e模型比标准模型在在广泛的流动中有更高的精度和可信性。
SSTks模型的方程为：
6dddk
~（來）+L（pku）=——）+Gk-Yk
otdXjdXjdXj
acc
—（QQ）+L（P311）=-7—（r4-）+Go-Y0+Do
otdXidXjoxj
式中：
Gk——山层流速度梯度而产生的湍流动能；
匚和匸少——K和。
的扩散率；
I；和r\,——k和①的扩散率；
h和/——K和0的发散项；
%——正交发散项。
4、其他模型
其他形式的湍流模型涡粘系数输运（SA）模型（3方程），雷诺应力模型（2阶矩模型）、雷诺应力模型方程（7方程模型）。
一阶矩模型在工程湍流计算中获得了很大的成功，但它们存在一些本质上的缺陷，即这些模型均是基于Boussinesq线性各向同性的假设，导致雷诺正应力在三个方向上的分量相等，这与很多实际的湍流流动矛盾。
因此，一阶矩模型对强逆压梯度下的流动、强分离流动、二次流、存在旋转和曲率效应的复杂湍流等预测精度较差，需要进行相应的修正。
二阶矩模型，即雳诺应力输运模型，通过求解雷诺应力各个分量的输运方程来封闭雷诺应力项，可以考虑湍流的各向异性及历史效应，理论上具有一阶矩所不能及的模拟复杂流动的能力。
我国周培源教授首次建立了雷诺应力的输运方程组，1951年Rotta在这个基础上发展了完整的雷诺应力模型。
他们的工作是最早的奠基性工作。
Launder、Reece和Rodi对二阶矩模型进行了标定，建立了著名的LRR二阶矩封闭模型。
后来很多研究者乂提出了多种形式的二阶矩模型。
不同二阶矩模型之间的区别在于扩散性、压力.应变率关联项和耗散项的具体模化形式，其中最关键的是压力。
应变率关联项的模化，但到口前为止对这一项的模化还是不成熟。
尽管二阶矩模型模拟复杂湍流流动理论上具有较大的优势，但它需要求解6个雷诺应力的强非线性方程及附加的湍流动能耗散率的方程，鲁棒性较差，计算量较大，而且实际流场中的计算精度并不不尽如意，因此在很大程度上限制了二阶矩模型在工程中的应用。
后来Rodi提出把雷诺应力输运方程简化为代数应力模型（AlgebraicStressModel,ASM）的思想。
假设雷诺应力的输运正比于湍流动能k的输运，带入压力.应变率关联项和湍流动能耗散率的模型，从而得到代数应力模型。
ASM模型不考虑雷诺应力的时间和空间导数，比较合理地对二阶矩模型进行了简化。
介于一般意义上的一阶矩和二阶矩模型之间，另外重要的一类湍流模型即为非线性涡粘性湍流模型。
尽管它的推导过程与代数应力模型不同，但在表达形式上完全相同。
Pope指出虽然非线性涡粘性模型和代数应力模型在推导时所基于的出发点不同，但他们在数学上是等价的。
非线性涡粘湍流模型的基本思想是改进Bousincsq假设的线性应力.应变本构关系，采用非线性的多阶表达式。
早在20世纪70年代，Lumley和Pope就已经给出雷诺应力的通用非线性表达形式。
非线性模型的二阶项可以反映雳诺应力的各向异性，三
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阶项可以反映流线弯曲及旋转效应等。
2.4各种湍流模型的特点
各类模型基于粗略的假设、类比、量纲分析，无可靠物理基础，因此需引进经验系数。
1、零方程模型不能反映输运效应，计算量最小，一般适用于边界层型流动,引进各种修正可扩大适用范围；
2、K方程模型特征长度不易确定，应用较少；
3、£方程模化不确定因素多，可靠性差；
4、标准K—£模型近壁需修正，且不能模拟二次流；
5、非线性K—£模型能反映各向异性，璧面£的仍有奇异；
6、涡粘模型不能反应各向异性和松弛效应；
7、二阶矩模型适用范围较广，计算量较大，模型常数的通用性仍差；
8、SA（3）模型近壁无奇异性，可模拟流场变化较剧烈和曲率较大湍流，但仍具有涡粘模型特点。
多数模型不能完全满足真实性条件，需要改进。
脉动结构信息多的模型，应用面较广，但模拟的对象越多，不确定的因素就越多，计算量越大。
现在还没有一个模型能满意预测所有湍流，所以，选模型时应综合考虑流动类型、计算量与精度等因素。
3大涡模拟（LES）
湍流大涡数值模拟（LES）是有别于直接数值模拟和雷诺平均模式的一种数值模拟手段。
利用次网格尺度模型模拟小尺度湍流运动对大尺度湍流运动的影响即直接数值模拟大尺度湍流运动，将N-S方程在一个小空间域内进行平均（或称之为滤波），以使从流场中去掉小尺度涡，导出大涡所满足的方程。
3.1基本思想
湍流运动是由许多尺度不同的旋涡组成的。
那些大旋涡对于平均流动有比较明显的影响，而那些小旋涡通过非线性作用对大尺度运动产生影响。
大量的质量、热量、动量、能量交换是通过大涡实现的，而小涡的作用表现为耗散。
流场的形状，阻碍物的存在，对大旋涡有比较大的影响，使它具有更明显的各向异性。
小旋涡则不然，它们有更多的共性，更接近各向同性，因而较易于建立有普遍意义
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的模型。
基于上述物理基础，
LES把包括脉动运动在内的湍流瞬时运动量通过滤波分解成大尺度运动和小尺度运动两部分。
大尺度通过数值求解运动微分方程直接计算出来，小尺度运动对大尺度运动的影响在运动方程中表现为类似于雷诺应力一样的应力项，该应力称为亚格子雷诺应力，通过建立模型来模拟。
即实现大涡数值模拟，首先要把小尺度脉动过滤掉，然后再导出大尺度运动的控制方程和小尺度运动的封闭方程。
3.2滤波函数
大涡模拟首先要流动变量划分成大尺度量和小尺度量，这一过程称之为滤波。
滤波运算相当于在一定区间内按一定条件对函数进行加权平均，其U的是滤掉高波数而只保留低波数，截断波数的最大波长山滤波函数的特征尺度决定。
U前较为常用的滤波函数主要有以下三种：
Deardorff的盒式（BOX）滤波函数、富氏截断滤波函数和高斯（Gauss）滤波函数。
不可压常粘性系数的湍流运动控制方程为N-S方程：
du,diijU-1dP旳•2S訂
+=—+
dtdx-pdxtdv•
式中：
S拉伸率张量,表达式为：
爲=（列/函+%/羽）/2；7分子粘性系数；Q流体密度。
设将变量©分解为方程（11）中兀和次网格变量（模化变量）J,即u；=iii+ui,兀可以采用Leonard提出的算式表示为：
（11）
ui（x）=JG（x—jv'M（x'）cbc'
式中G（x-V）称为过滤函数，显然G（x）满足
|G（x）dx=1
J—8
3.3控制方程
将过滤函数作用与N-S方程的各项，得到过滤后的湍流控制方程组：
ou,6（莎）16Pa（y-2S~）:
—=1:
—dtdXjpdxidxf
山于无法同时求解出变量兀和11,11,»所以将％"丿分解成/化•=11,•",+©,
©即称为次网格剪切应力张量（亦称为亚格子应力）。
由此动量方程又可写成：
影响。
3.4常用的亚格子模型
LI前，在大涡模拟中经常广泛采用的亚格子模型有标准的Smagorinsky模型、动态涡粘性模型、动态混合模型、尺度相似模型、梯度模型、选择函数模型等。
其中Smagorinsky模型被广泛应用。
3.4.1亚格子涡粘和涡扩散模型
不可圧缩湍流的亚格子涡粘和涡扩散模型采用分子粘性和分子热扩散形式，即
以上公式中匕和兀分别称为亚格子涡粘系数和亚格子涡扩散系数：
瓦=（1/2）・［（亦/朗）+@石/%•）］是可接尺度的变形率张量。
式（14）第2项是为了满足不可圧缩的连续方程，当S~收缩时（S~二0）等式两边可以相等。
将亚格子应力的涡粘模型公式（14）代入到（13）式中，变形得
3.4.2Smagorinsky模型
Smagorinsky模型是山Smagorinsky于1963年提出来的，该模型是第一个亚格子模型。
广泛用于大涡模拟中的涡粘模型认为亚格子应力的表达式如下：
1—
Ttj~~gSk=一2也S”
式中®=（l/2）・[（0气+@竹•/&川是可接尺度的变形率张量，巾是涡粘系数。
1963年Smagorinsky定义了涡粘系数:
）vr=（C5A）2|5|
式中同=（2石阳）"2是变形率张量的大小，△是过滤尺度，Cs无量纲参数，称为Smagorinsky系数。
3.4.3动态亚格子模式
1991年，Gemiano提出了动态亚格子模式，该模式以Smagorinsky模式为基本模型，但克服了Smagorinsky模式的部分缺陷。
动力模型实际上是动态确定亚格子涡粘模型的系数。
动力模型需要对湍流场做两次过滤，一次是细过滤，细过滤后再做一次粗过滤。
通过在网格尺度和检验滤波器尺度条件下计算得到的应力差来确定应力模型系数，使模型系数成为空间和时间的函数，从而避免了在模拟过程中对系数进行调节。
因此比Smagorinsky模式所采用的固定系数值更加合理。
3.4.4相似性模式
1980年Bardina提出了尺度相似模式。
该模式假定从大尺度脉动到小尺度脉动的动量输运主要III大尺度脉动中的最小尺度脉动来产生，并且过滤后的最小尺度脉度速度和过滤掉的小尺度脉动速度相似。
通过二次过滤和相似性假定可以导出亚格子应力表达式。
采用这种模式能正确预测墙壁面附近的渐近特性，但预测各向不均匀的室内空气复杂流动准确性较差。
3.4.5混合模式
混合模式是将尺度相似模式和Smagorinsky模式叠加来确定亚格子应力。
这种模式既有和实际亚格子应力良好的相关性，乂有足够的湍动能耗散。
3.5大涡模拟的特点
（1）能够描述小尺度湍流流动，但是计算量远小于DNS,在科学研究和工程应用上都显示出良好的发展前景。
（2）用非均匀网格能够使网格数达到最少，节省计算资源，同时乂能够保证足够的讣算精度。
（3）网格尺度比湍流尺度大，可以模拟湍流发展过程的一些细节。
（4）相较于RANS方法，LES可以模拟更多的湍流大尺度运动，LES所用的湍流亚网格应力模型受边界的儿何形状和流动类别的影响小，比RANS方法所用的Reynolds应力更具普适性。
其不足之处在于：
（1）小涡模型网格节点的划分极密集，需要庞大的汁算机存储能力；
（2）大量数据处理和非线性偏微分方程的求解需要高速数值处理能力；
（3）仅用于比较简单的剪切流运动及管流。
（4）山于实际湍流极其复杂，数值模拟仍需要非常可观的讣算时间和实验经费。
4直接数值模拟（DNS）
湍流直接数值模拟（DNS）就是不用任何湍流模型，直接求解完整的三维非定常的N-S方程组，计算包括脉动在内的湍流所有瞬时运动量在三维流场中的时间演变。
4.1控制方程
用非定常的N-S方程对湍流进行直接计算，控制方程以张量形式给出：
du：
du：
“1dp
—+w.―=力+v
dtdxfpdxtOxpXj
4.2常用数值方法
山于最小尺度的涡在时间与空间上都变化很快，为能模拟湍流中的小尺度结构，具有非常高精度的数值方法是必不可少的。
4.2.1谱方法或伪谱方法
谱方法或伪谱方法是口前直接数值模拟用得最多的方法，其主要思路为，将所有未知函数在空间上用特征函数展开，成为以下形式：
V（S=工为耳％⑴几（西）％（x>）zp（%）⑶
其中必，久与Q,，都是已知昭定女莞备的特征函数族。
在具有周期性或统计均匀性的空间方向一般都采用Fourier级数展开，这
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