完整版初一实数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析.docx

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完整版初一实数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析

初一实数所有知识点总结和常考题

知识点：

一、实数的概念及分类

1、实数的分类

正有理数

有理数零有限小数和无限循环小数

实数负有理数

正无理数

无理数无限不循环小数

负无理数

整数包括正整数、零、负整数。

正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4.实数与数轴上点的关系：

每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，

数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，

实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。

三、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根

（1）平方根的定义：

如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a的平方根．即：

如果，那么x叫做a的平方根．

（2）开平方的定义：

求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。

（3）平方与开平方互为逆运算：

3的平方等于9，9的平方根是3

（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；

一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算

（5）符号：

正数a的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根；

正数a的负的平方根可用-表示．

（6）<—>

a是x的平方x的平方是a

x是a的平方根a的平方根是x

2、算术平方根

（1）算术平方根的定义：

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．

规定：

0的算术平方根是0.

也就是，在等式（x≥0）中，规定。

（2）的结果有两种情况：

当a是完全平方数时，是一个有限数；

当a不是一个完全平方数时，是一个无限不循环小数。

（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；

当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。

（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小

（5）（x≥0）<—>

a是x的平方x的平方是a

x是a的算术平方根a的算术平方根是x

（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

（0）

；注意的双重非负性：

-（<0）0

（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：

区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；

联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。

3、立方根

（1）立方根的定义：

如果一个数x的立方等于，这个数叫做的立方根（也叫做三次方根），即如果，那么叫做的立方根

（2）一个数的立方根，记作，读作：

“三次根号”，

其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。

（3）一个正数有一个正的立方根；

0有一个立方根，是它本身；

一个负数有一个负的立方根；

任何数都有唯一的立方根。

（4）利用开立方和立方互为逆运算关系，求一个数的立方根，就可以利用这种互逆关系，检验其正确性，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，再取其相反数，即。

（5）<—>

a是x的立方x的立方是a

x是a的立方根a的立方根是x

（6），这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、科学记数法和近似数

1、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法

把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。

五、实数大小的比较

1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：

设a、b是实数，

（3）求商比较法：

设a、b是两正实数，

（4）绝对值比较法：

设a、b是两负实数，则。

（5）平方法：

设a、b是两负实数，则。

六、实数的运算

1、加法交换律

2、加法结合律

3、乘法交换律

4、乘法结合律

5、乘法对加法的分配律

6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？

实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二能为运算，乘方为三级运算。

同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。

7、有理数除法运算法则就什么？

两有理数除法运算法则可用两种方式来表述：

第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

零除以任何一个不为零的数，商都是零。

8、什么叫有理数的乘方？

幂？

底数？

指数？

相同因数相乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。

记作:

an

9、有理数乘方运算的法则是什么？

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

正数的任何次幂都是正数。

零的任何正整数幂都是零。

10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？

去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。

常考题：

一．选择题（共13小题）

1．9的平方根为（　　）

A．3B．﹣3C．±3D．

2．的算术平方根是（　　）

A．2B．±2C．D．±

3．下列各组数中，互为相反数的一组是（　　）

A．﹣2与B．﹣2与C．﹣2与﹣D．|﹣2|与2

4．如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，则下列结论正确的是（　　）

A．a+b＞0B．ab＞0C．a﹣b＞0D．|a|﹣|b|＞0

5．估算﹣2的值（　　）

A．在1到2之间B．在2到3之间C．在3到4之间D．在4到5之间

6．估计的值（　　）

A．在3到4之间B．在4到5之间C．在5到6之间D．在6到7之间

7．估计+3的值（　　）

A．在5和6之间B．在6和7之间C．在7和8之间D．在8和9之间

8．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　）

A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间

9．如图，在数轴上表示实数的点可能是（　　）

A．点PB．点QC．点MD．点N

10．数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（　　）

A．﹣1B．1﹣C．2﹣D．﹣2

11．下列说法不正确的是（　　）

A．1的平方根是±1B．﹣1的立方根是﹣1

C．是2的平方根D．﹣3是的平方根

12．下列各数中，3.14159，，0.131131113…（相邻两个3之间1的个数逐次加1个），﹣π，，，无理数的个数有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

13．实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　）

A．ac＞bcB．|a﹣b|=a﹣bC．﹣a＜﹣b＜cD．﹣a﹣c＞﹣b﹣c

二．填空题（共13小题）

14．的平方根是　　．

15．﹣8的立方根是　　．

16．的算术平方根是　　．

17．﹣（）2=　　．

18．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b=　　．

19．已知一个正数的平方根是3x﹣2和5x+6，则这个数是　　．

20．若实数a、b满足|a+2|，则=　　．

21．比较大小：

﹣3　　﹣2．

22．=　　．

23．5﹣的小数部分是　　．

24．比较大小：

　　（填“＞”“＜”“=”）．

25．若x，y为实数，且，则（x+y）2010的值为　　．

26．若将三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是　　．

三．解答题（共14小题）

27．计算：

（﹣2）2+（﹣3）×2﹣．

28．计算：

（﹣2）2+|﹣1|﹣．

29．求值：

+（）2+（﹣1）2015．

30．阅读下面的文字，解答问题：

大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？

事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．

又例如：

∵，即，

∴的整数部分为2，小数部分为．

请解答：

（1）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；

（2）已知：

，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．

31．已知：

x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．

32．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，求的值．

33．设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x﹣1的算术平方根．

34．计算：

（﹣2）2﹣（3﹣5）﹣+2×（﹣3）

35．

（1）有这样一个问题：

与下列哪些数相乘，结果是有理数？

A、；B、；C、；D、；E、0，问题的答案是（只需填字母）：

　　；

（2）如果一个数与相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示）．

36．求值：

已知y=x2﹣5，且y的算术平方根是2，求x的值．

37．画一条数轴，把﹣1，，2各数和它们的相反数在数轴上表示出来，并比较它们的大小，用“＜”号连接．

38．求x的值：

（1）4x2=25；

（2）（x﹣0.7）3=0.027．

39．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的算术平方根是4，求12a+2b的立方根．

40．已知M=是m+3的算术平方根，N=是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值．

初一实数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）

参考答案与试题解析

一．选择题（共13小题）

1．（2017•武汉模拟）9的平方根为（　　）

A．3B．﹣3C．±3D．

【分析】根据平方根的定义求解即可，注意一个正数的平方根有两个．

【解答】解：

9的平方根有：

=±3．

故选C．

【点评】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．

2．（2015•日照）的算术平方根是（　　）

A．2B．±2C．D．±

【分析】先求得的值，再继续求所求数的算术平方根即可．

【解答】解：

∵=2，

而2的算术平方根是，

∴的算术平方根是，

故选：

C．

【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，解