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数学建模论文
一、问题的重述
近日，中国商用飞机公司销售经理陈进接受中国官方《ChinaDaily》采访时说:
“国产大飞机与同类机型相比具有非常明显的竞争优势。
”他说，在燃油消耗方面中国C919将比目前所有机型减少12-15%。
最具有杀伤力的是中国大飞机上市时定价将会非常便宜，会大大低于波音和空客同类产品的定价。
他透露说，C919上市时定价会低于5000万美元/架！
在放手开发研制一种新飞机时，除了技术细节外，还有很多经济问题需要回答。
其中最重要的是飞机制造商需要知道他的原始投资是否能够收回来，多久才能收回来。
这就要预测一下飞机的上市价格和市场前景。
波音747有600万的零部件，而它的价格绝不是600万零部件的综合！
毕竟对于飞机这样庞然大物的高科技商品，高投入，也高风险，周期还长，其销售价格除了和制造商的制造成本、航空公司的运营成本有关外，还和同类型飞机的市场前景、竞争格局等其它因素有关。
而飞机的技术数据往往能够一定程度上反映其中的一些因素。
试查找相关资料，完成以下三个问题：
（1）假如你是中国商用飞机公司销售经理，请你对比同类客机B737-800，以航空公司的角度，结合飞机运营成本，评估一下国产大飞机C919未来的市场潜力；
（2）假如你是飞机制造商，请你建立一合理的数学模型为将新开发的商用飞机预测一个较合理的价格，并结合你的模型对C919的价格进行预测；
（3）以你所建立的模型，结合相关数据，计算当前A380-800和B737-800两种商用飞机的价格，并说明所建价格预测模型的优缺点；
二．模型的假设
假设1飞机的市场潜力是估测飞机市场前景的量化方式。
假设2飞机的座位数，最大起飞重量，最大着陆重量，空重，满载航程，巡航速度，最大载油量，机长，翼展，机高，为飞机性能评估的主要参考点。
假设3对飞机的促销方式，飞机的售后，各飞机制造企业之间的竞争对飞机的市场潜力影响并不大。
假设4近几年的飞机需求量相对稳定，并无过大波动。
三．符号及文字说明
F
市场潜力
飞机价格
对比技术参量
飞机相关技术参数
各因素的权重
四．问题分析
由题意知道研究飞机的市场前景、市场价格、飞机各种性能参数之间存在相互关系，因此我们需要建立评价市场前景的多元影响模型和市场价格的预测模型。
在第一问中考虑市场前景和飞机制造成本、飞机运营成本以及飞机同类竞争能力和飞机各类性能参数之间的层次影响模型，找到飞机市场前景和其他歌因素之间的相互影响关系。
然后针对第二问，需要针对实际数据和模型等，并结合第一问中的层次分析模型中对于市场前景的分析，综合上述信息，我们着重于分析市场前景和价格的关系，进而可以通过插值和拟合的方法进行飞机价格的预测。
在第三问中对于上述两个模型进行分析，并且对于各种参数进行考虑，主要考虑价格预测模型中误差的产生。
图表1层次关系图
4.1飞机市场潜力与飞机技术数据的关系分析
飞机的技术数据有很多因素，它涉及到机高等飞机技术因素，这里我们利用SPSS软件进行数据处理然后用模糊数学找出相对重要的因素进行分析。
它们都制约着飞机的市场潜力，从而可以根据数据关系计算找它们的函数关系。
4.2飞机市场潜力与价格的关系分析
飞机的价格与飞机的生产成本，市场需求，广告促销等多方面因素有关，而其中的主要因素由市场潜力来体现，所以市场潜力和价格存在着函数关系。
4.3问题1的分析
针对问题1站在中国商用飞机公司销售经理的角度类比客机B737-800评估国产大飞机市场潜力的问题。
我们首先要明确市场潜力的相关决定因素，经过对其他相关型号飞机的分析，我们在经过查询相关资料，我们可以采用相对重要因素来讨论他们与市场潜力的关系，利用这些因素确定出他们与市场潜力的关系。
得到这些因素与市场潜力的关系之后，我们便可以利用查询相关资料得到的数据解出C919的市场潜力。
再进行B737-800与C919的相关信息的对比，如下表：
型号
客座数
最大起重（kg）
最大航程（km）
最大速度（M）
每座商载（kg）
翼展（m）
C919
156
72500
4077
0.83
102
33
B737-800
160
79016
5665
0.82
95
34.31
型号
机长（m）
机高（m）
最大着重（kg）
进场速度（kts）
起飞场长（m）
着陆场长（m）
C919
38
12
66600
135
2200
1600
B737-800
39.5
12.55
65310
138
2400
1600
图表2两型号飞机技术数据对比
通过该表我们可以清晰看出由于中外市场与技术方面的问题，中国的C919飞机与波音B737-800存在着在最大起飞重量，最大航程，每座商载等方面的不同，我们还要对它们在不同方面进行分析，最终得到对C919全面而综合的评价。
然后结合相关的信息，对我们得到的C919的市场潜力进行修正，得到一个相对准确的市场潜力的分析结果。
4.4问题2的分析
在得到问题1的解之后，我们便得到了各种相关型号飞机的市场潜力的相关信息，通过查询相关信息我们可以得到这些型号飞机的市场价格。
我们可以认为飞机的市场价格和它的市场潜力存在相互制约的关系，利用这些数据我们便可以利用模糊数学得到市场潜力与市场价格的函数关系，得到了他们的函数关系之后，由于我们在第一题中已经计算出C919飞机的市场潜力的相关数据，将我们计算出C919飞机市场潜力的相关数据代入我们得到的函数关系之中，便可以很容易得到C919飞机的预测市场价格。
4.5问题3的分析
在问题1和2中我们已经建立了飞机技术数据和飞机市场潜力之间关系的相关模型，并且利用这两个模型进行了C919飞机的市场潜力和市场价格的运算。
下面就要检验建立的模型，利用这个两个模型计算A380-800和B737-800的市场价格。
根据得出结果和实际的市场价格进行对比，再结合市场需求量，经济背景等一些客观的因素进行分析，最终分析出实际市场价格与通过模型计算得出的市场价格，再通过数据对我们所建立的模型进行评价。
五．数学模型的建立
5.1问题1数学模型的建立
由问题数关1的分析，我们将飞机技术因素作为影响飞机市场潜力的主要影响因素，他们与飞机的市场潜力存在着函系。
这里我们建立数学模型如下：
··················
（1）
其中
，
代表各相关技术数据各自的权重，
分别代表各个技术数据，F便是飞机的市场潜力。
下面再利用SPSS进行数据分析，计算出影响市场潜力的主成分。
Component
1
2
3
最大着重
.989
-.111
-.002
翼展
.982
.145
.001
机长
.980
-.060
-.099
最大载油
.980
-.120
.033
最大起飞重量
.979
-.140
.103
空重
.974
-.200
.050
机高
.943
.194
-.095
座位数
.907
-.360
-.045
巡航速度量
.899
.341
-.242
满载航程
.880
.356
.300
图表3系数相关矩阵
此表表达出的是主成分矩阵，可以看到三个因子可以代替十个原始变量，并且可以概括出其中的大部分信息。
图表4特征值的碎石图
此图为表现各成分特征值的碎石图，从中可以看到三个因子可以概括其中的大部分信息。
图表5总方差分解图
Component
InitialEigenvalues
ExtractionSumsofSquaredLoadings
RotationSumsofSquaredLoadings
Total
%ofVariance
Cumulative%
Total
%ofVariance
Cumulative%
Total
%ofVariance
Cumulative%
1
9.063
90.628
90.628
9.063
90.628
90.628
4.904
49.043
49.043
2
.521
5.209
95.838
.521
5.209
95.838
2.922
29.224
78.267
3
.183
1.830
97.668
.183
1.830
97.668
1.940
19.401
97.668
4
.103
1.028
98.696
5
.079
.786
99.482
6
.029
.285
99.767
7
.012
.120
99.888
8
.007
.070
99.958
9
.003
.025
99.983
10
.002
.017
100.000
其中用InitialEigenvalues来确定哪些因子应该保留，并且从Total值可以看出前三个因子的特征值之和已经达到97.668%。
也就确定了三个主因子，总结这三个因子，可以将他们概括为：
外形，内设和航行能力。
然后再用模糊数学最主因子进行分析，最终得到各型号飞机的市场潜力。
建立因素集
U={
}其中u分别代表技术因素。
然后进行单因素评价得到隶属度模糊关系矩阵。
··············
（2）
之后进行复合运算，其模型为：
···（3）
最后由加权平均数求出飞机的市场潜力。
问题2数学模型的建立
由收集的信息我们可以看到飞机的市场潜力与飞机的价格是相互制约的，也就是他们之间存在着函数关系，我们利用最小二乘法建立数学模型。
线性最小二乘法：
先选定一组多项式
其中
是待定系数。
使n个点
的距离
的平方和最小。
记
········（4）
问题归结为，求
使
最小。
即
···（5）
其中
利用MATLAB求
（代码见附录），得数学关系式。
作出函数图像，对函数关系式进行修正。
问题3的模型建立
综合考虑飞机的技术数据对飞机市场潜力的影响，市场潜力与价格的相互影响，从而可以根据前面建立的数学模型求解出其他型号飞机的市场价格。
并与其真实价格进行比较，对模型进行评价。
上面模型研究了客座数、最大起飞重量、最大降落重量、空载重量、满载航程、载油量、巡航速率等对于飞机的制造成本、运营成本和竞争能力等的影响模型。
并且对于该模型进行了相关的分析和验证，认为本模型可以综合飞机的参数和各种性能指标进行评价飞机的市场潜力。
针对问题3的分析，我们可以建立一套评价模型如下：
六．模型的求解
6.1问题1模型的求解
我们将其他类似型号飞机的相关信息带入其中，利用SPSS进行归一化处理，然后用模糊数学建立隶属函数，将相关型号飞机的技术数据和C919进行量化分析，形成统一对比度，然后将对比数据代入此函数求的其他型号飞机对C919飞机技术对比参量：
B。
在其中分析C919飞机与B737-800的对比。
我们得到的各因素的不同隶属度如下表：
机型
座位比
起重比
着重比
B737-600
0.96
0.91
0.82
B737-700
0.96
0.97
0.88
B737-800
1.21
1.09
1.00
B737-900ER
1.38
1.17
1.00
B747-400
2.67
5.47
4.29
B747-8
2.99
6.10
4.64
B767-300ER
2.25
2.58
2.18
B777-200ER
2.82
4.10
3.20
B777-200LR
2.82
4.79
3.35
B777-300ER
3.53
4.85
3.77
B787-3
2.03
2.34
2.42
B787-8
1.55
3.14
2.58
B787-9
1.79
3.41
2.90
A318
0.69
0.94
0.86
A319
0.86
1.04
0.94
A320
1.05
1.08
0.99
A321
1.28
1.29
1.17
A330-200
1.88
3.21
2.73
A330-300
2.15
3.21
2.81
A340-300
2.15
3.81
2.79
A340-500
2.30
5.13
3.60
A340-600
2.69
5.08
3.84
A350-800
2.00
3.38
2.78
A350-900
2.35
3.66
3.08
A380
5.47
7.85
5.87
图表6各因素隶属度
这样就确定了模糊关系矩阵：
根据专家评测，诸项目在决策中占的权重为A=（0.9,0.07,0.03）
于是我们得到了C919对其他型号飞机的对比参量为：
B=AR=（0.95230.95831.19531.35392.91463.25722.27102.92102.97383.62962.06341.69221.93670.71260.87501.05031.27741.99862.24402.28542.53712.89182.12002.46365.6486）
由上面的对比参量可以看到B737-800的技术参量为1.1953，而C919为1。
所以在技术方面B737-800比C919要更体现技术价值，可能会拥有更大的市场潜力。
为了更加全面，更加合理地对比这两个型号的飞机之间优劣，从而得到C919更合理的市场潜力的估测。
下面再对B737-800型号飞机与C919型号飞机关于其客座数，每座商载等方面信息通过柱形图进行对比，如下：
图表7每座商载对比图
图表8座位数对比图
图表9最大起、着重最比图
图表10起飞、着陆场长对比图
通过上述对比，我们可以清楚看到C919型号飞机比B737-800型号飞机的优越性主要体现在起飞场长短每座商载比较大，而不足主要体现在座位少，最大起重少。
但是C919采用先进技术使它的耗油量与同型号飞机相比降低了许多，并且噪音、污染性空气排放量都有了明显降低。
再加上它采用先进客舱综合设计技术，提高客舱舒适性，采用先进的维修理论、技术和方法，降低维修成本。
从而也在这些方面比B737-800有了一定优势。
但是由于一些隐形因素（如：
各地区市场需求，宣传作用等）的影响，市场潜力的实际值与计算值难免会有误差，但是我们采用综合分析法和重点分析法相结合的方法进行修正，再参考其他各型号飞机截止到现在的订购架数进行分析，最终得到一个相对准确的市场潜力的范围。
综合上述解答信息，我们可以得到C919型号飞机的市场潜力为：
2500架。
6.2问题2的求解
根据问题1的解答与建立的模型分析，我们可以利用拟合原理将技术相对参数与飞机的市场价格进行拟合。
利用MATLAB求得各系数为
=3.9246
=-46.7174
=171.2078
=81.2251
···（6）
利用MATLAB的作图函数作出拟合曲线的图形：
观察拟合曲线图像可知：
在B的
区间拟合效果较好，在
区间拟合较差。
因此需对其进行修正。
利用MATLAB对其进行非线性二乘法进行拟合。
得：
·······（7）
并作出下图的结果。
从图像中可以看出曲线在前一部分拟合较好，后半部分拟合较差。
综上所述飞机价格P与飞机相对技术参量B之间关系为：
利用C919的相对技术参量，我们便得到C919的估测价格为61.6453（百万）。
为了更全面地分析C919的估测价格，我们通过一些非定量因素进行数据修正。
考虑到C919飞机为了占据商用飞机领域的一席之地，并且由于各商业飞机厂家的竞争，它的初期上市价格必定会低于预测价格，但是在C919上市之后一段时间之后机型成熟后并占有一定的市场，价格会趋近于61.6453（百万）。
因此，我们估测C919的市场价格会为61.6453（百万）。
6.3问题3的求解
我们已经得到市场潜力与价格的数学函数和飞机技术数据与市场潜力的数学函数，从而便可以利用A380-800和B737-800的相关的技术数据信息计算出其相应价格。
在前面问题中，我们经过计算得到B737-800的技术参量分别为：
=1.1953；
所以代入非线性最小二乘法得到的方程，可得：
=75.6171（百万）
=4.4327；
，所以代入线性最小二乘法得到的方程，可得：
=270.0374（百万）
查资料得
的实际价格为72.5—81.0（百万），预测到的结果与实际价格相符。
查资料得
的实际价格为290.2（百万），预测价格与实际价格接近，可以认为预测正确。
七．模型的评价
1.模型的优点：
（1）价格模型简单。
利用三个主成分变量因素代替了数据变量中的全部变量，是计算更加简单，但是并没有影响计算的准确度。
（2）模型预测价格较为准确。
利用两种相差较大型号的飞机数据验证后结果都相对准确。
（3）模型模式比较清晰。
模型先把技术数据和市场潜力联系起来，再将市场潜力和价格进行联系，结构比较清晰。
2.模型的缺点：
（1）在建立技术数据和市场潜力模型的时候，我们只采用了十个技术点，难免会有不全面的地方。
（2）技术数据和市场潜力模型中只是数据的量化，在评定市场潜力的时候考虑不可量化因素时只分析了当时的市场需求和企业的声誉等问题，其他的隐性因素也会左右市场潜力，但是并不能依次考虑。
（3）在建立飞机市场潜力和价格关系模型时，我们只利用了价格对市场潜力的相互作用。
销售量只进行了参考分析，可能会单纯化了他们之间的相互作用。
【参考文献】
[1]航空学报（第三期）；
[2]阳明盛，MATLAB基础及数学软件，大连，大连理工出版社，2003；
[3]姜启源，数学建模（第三版），北京，清华大学出版社，2008
附录一：
各型号飞机原始技术数据
型号
满载航程/海里
巡航速度/马赫
最大载油量/美式加仑
机长
机高
翼展
B737-600
3050
0.780
6875
31.2
12.6
34.3
B737-700
3365
0.780
6875
33.6
12.5
34.3
B737-800
3060
0.780
6875
39.5
12.55
34.31
B737-900ER
2700
0.780
6875
42.1
12.5
35.7
B747-400
7260
0.850
57285
70.7
19.41
64.4
B747-8
8000
0.855
64225
76.4
19.4
68.5
B767-300ER
5975
0.800
24140
54.9
15.8
47.6
B777-200ER
7700
0.840
45220
63.7
18.5
60.9
B777-200LR
9380
0.840
47890
63.7
18.6
64.8
B777-300ER
7930
0.840
47890
73.9
18.6
64.8
B787-3
3050
0.850
33528
57
16.92
52
B787-8
8200
0.850
33528
57
16.92
60
B787-9
8500
0.850
36693
63
17
63
A318
3100
0.780
6300
31.45
11.76
34.1
A319
3600
0.780
7885
33.84
11.76
34.1
A320
3200
0.780
7842
37.57
11.76
34.09
A321
3000
0.780
7842
44.51
11.76
34.09
A330-200
6750
0.820
36700
59
17.4
60.3
A330-300
5650
0.820
25670
63.6
16.85
60.3
A340-300
7400
0.820
37153
63.6
16.7
60.3
A340-500
8670
0.830
56750
67.9
17.1
63.6
A340-600
7750
0.830
51750
60.5
17.3
64
A340-800
8560
0.850
34100
66.8
17.2
64
A340-900
8100
0.850
36500
73.8
17.2
64
A380
8200
0.850
85472
73
24.1
79.8
附录二：
MATLAB原始数据
Columns10through18
3.53002.03001.55001.79000.69000.86001.05001.28001.8800
4.85002.34003.14003.41000.94001.04001.08001.29003.2100
3.77002.42002.58002.90000.86000.94000.99001.17002.7300
Columns19through25
2.15002.15002.30002.69002.00002.35005.4700
3.21003.81005.13005.08003.38003.66007.8500
2.81002.79003.60003.84002.78003.08005.8700
A=[0.90.070.03];
B=A*R
P=[55.0064.0076.7581.50250.25300.50153.00218.25250.50271.75152.75166.25199.7559.1070.3076.9090.30180.90200.80215.50237.10249.40208.70240.60327.40];
plot（B,P,'o'）
[t,s]=polyfit（B,P,4）;
ts
x=0:
0.05:
5;
y4=polyval（t,x）;
plot（B,P,'ko',x,y4,'m-'）
非线性最小二乘法M文件：
clear
B=[0.95230.95831.19531.35392.91463.25722.27102.92102
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