扑克牌中的数学游戏.docx

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扑克牌中的数学游戏

学科：

奥数

教学内容：

扑克牌中的数学游戏

  巧算24点”是一种数学游戏，正如象棋、围棋一样是一种人们喜闻乐见的娱乐活动。

   它始于何年何月已无从考究，但它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受。

这种游戏方式简单易学，能健脑益智，是一项极为有益的活动。

   “巧算24点”的游戏内容如下：

一副牌中抽去大小王剩下52张，（如果初练也可只用1～10这40张牌）任意抽取4张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24。

每张牌必须用一次且只能用一次，如抽出的牌是3、8、8、9，那么算式为（9—8）×8×3或3×8＋（9—8）或（9—8÷8）×3等。

   “算24点”作为一种扑克牌智力游戏，还应注意计算中的技巧问题。

计算时，我们不可能把牌面上的4个数的不同组合形式——去试，更不能瞎碰乱凑。

这里向大家介绍几种常用的、便于学习掌握的方法：

1．利用3×8＝24、4×6＝24求解。

把牌面上的四个数想办法凑成3和8、4和6，再相乘求解。

如3、3、6、10可组成（10—6÷3）×3＝24等。

又如2、3、3、7可组成（7＋3—2）×3＝24等。

实践证明，这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法。

2．利用0、11的运算特性求解。

如3、4、4、8可组成3×8＋4—4＝24等。

又如4、5、J、K可组成11×（5—4）＋13＝24等。

3．在有解的牌组中，用得最为广泛的是以下六种解法：

（我们用a、b、c、d表示牌面上的四个数）

①（a—b）×（c＋d）

如（10—4）×（2＋2）＝24等。

②（a＋b）÷c×d

如（10＋2）÷2×4＝24等。

③（a－b÷c）×d

如（3—2÷2）×12＝24等。

④（a＋b－c）×d

如（9＋5—2）×2＝24等。

⑤a×b＋c—d

如11×3＋l—10＝24等。

⑥（a－b）×c＋d

如（4—l）×6＋6＝24等。

   游戏时，同学们不妨按照上述方法试一试。

   需要说明的是：

经计算机准确计算，一副牌（52张）中，任意抽取4张可有1820种不同组合，其中有458个牌组算不出24点，如A、A、A、5。

   不难看出，“巧算24点”能极大限度地调动眼、脑、手、口、耳多种感官的协调活动，对于培养我们快捷的心算能力和反应能力很有帮助。

   小朋友们，你也来试试“巧算24点”吧，相信你会很快喜欢上它的。

有一种叫“24点”的游戏曾经风靡美国、日本等许多国家，深受青少年朋友的喜爱。

这种游戏将两张王牌去掉，把A、J、Q、K分别看作1点，11点、12点、13点，或者将它们均看1点，其余牌面是几点，就是几点。

玩的规则不尽相同，其中有一种方法是：

（1）四个人每人抓到13张牌，每人每次从手中任意抽取一张牌。

（2）参加游戏者对这四张牌所代表的数值进行＋、－、×、÷、（）运算，使结果为24。

（3）谁先列出，谁就得1分，牌入底；若四人均无法列出，则无人得分，牌也入底。

（4）再次每人任意抽取一张牌，再次按

（2）（3）规则进行。

（5）重复

（2）、（3）、（4），直至每人手中13张牌全部用完为一局，得分多者为胜。

例如，抽出的四张牌为3、4、7、11，可以这样计算：

（7－4）×（11－3）＝3×8＝24，或（7＋11）÷3×4＝18÷3×4＝6×4＝24

这是一种非常有趣的游戏，下面我们一起来试一试：

例1抽出下面四组牌：

（A，J，Q，K分别为1点，11点，12点，13点）

（1）2，3，4，5

（2）3，4，5，10

（3）K，7，9，5（4）J，6，Q，5

你能算出24点吗？

分别：

要想比赛获胜，必须有一些技巧。

那就是要非常清楚24可以由怎样的两个数求得，如2×12＝24，4×6＝24，3×8＝24，18＋6＝24，30－6＝24……这样就可以把问题转化成怎样使用4个数，凑出两个数的问题，其中有一点值得大家注意，就是四个数的顺序可以依据需要任意安排。

解：

（1）依据2×12＝24，可得2×（3＋4＋5）＝24，

（2）依据3×8＝12，可得3×（10÷5×4）＝24，

（3）依据4×6＝24，可得（13－7）×（9－5）＝24，

（4）依据18＋6＝24，可得（11－5）＋（6＋12）＝24

说明：

上面各题的解法并不一定是唯一的，如依据4×6＝24，也可得第

（2）组为4×（10×3÷5）＝24，可是，就因为这样，才非常激烈、刺激。

例2如果恰巧四个人抽出的扑克牌是“1～9”中的同一数字的牌，请你帮忙想一想哪种情况可以算出“24”？

怎样算？

分析：

四人抽出同一数字的牌有9种情况，4个1，4个3，4个4……4个8，4个9，现在的问题转化为如何使四个相同的数字（1~9中的一个）填加运算符号，得“24”的问题。

由于4个数字相同，用乘法关系最后求得“24”就不太容易，应考虑＋、－关系，27－3＝24，25－1＝24，20＋4＝24，12＋12＝24……经过尝试，我们发现，4个1，4个2，由于数太小，无法算出“24”，而4个7，4个8，4个9由于太大，也无法算出。

其余可以实现。

解：

依据27－3＝24，可得3×3×3－3＝24，

依据20＋4＝24，可得4×4＋4＋4＝24，

依据25－1＝24，可得5×5－5÷5＝24，

依据12＋12＝24，可得（6＋6）＋（6＋6）＝24，

说明：

有些不能算出24，可能是由于我们知识水平的限制，而并非真的不能，如请同学们想一想4个10，4个11，4个12，4个13你能求解吗？

由上面的例子，我们可以很自然地想到这种游戏可以发展成一类专门的数学的问题，下面我们就来研究。

例3填上适当的运算符号，使算式成立

（1）4444＝5

（2）4444＝6

（3）4444＝7

（4）4444＝8

（5）4444＝9

（6）4444＝10

分析：

（1）4444＝5，最后一个4前面是三个4，如可凑出1，1＋4＝5，如可凑出20，20÷4＝5，4×4＋4＝20，因此可求解。

（2）4444＝6，最后一个4前面是三个4，如可凑出2，2＋4＝6；即（4＋4）÷4＝2，因此可求解。

（3）4444＝7，前面两个4＋4＝8，后面两个4得1即可求解，4÷4＝1刚刚好。

（4）和（6）可利用（3）的思路稍加变化就可以求解。

（5）4444＝10，最后一个4，前面如是6，6＋4＝10可求解，但不易做到。

如前面是40，40÷4＝10也可以求解，44－4＝40，数字连用在这类题目中是常用的一种技巧。

（题目中没有限制，当然是可以这样做的）。

解：

（1）（4×4＋4）÷4＝5

（2）（4＋4）÷4＋4＝6

（3）（4＋4）－4÷4＝7

（4）（4＋4）×4÷4＝8

（5）（4＋4）+4÷4＝9

（6）（44－4）÷4＝10

说明：

（1），

（2），（6）中的解题思路是一种倒推的方法，这是一种常用的，行之有效的方法同学们加以掌握。

（4），（5）中解题思路是依据数字的特点，这种方法，依赖于良好的数感，需要大家经过一段时间的训练才能获得。

例4不用（），且运算符号不超过三次，添在适当位置，使下面的算式成立。

999999999=1000

分析：

不使用（），运算顺序只能从左往右，先×、÷后＋、－；运算符号不超过三次，就会得到一些多位数。

首先选一个多位数尽可能接近1000，可选999，1000－999＝1，后面6个9要得到“1”，就很简单了999÷999，问题可求解；还可以用另一种方法接近1000，9999÷9＝1111，1111－1000＝111，后面9999想办法等于111，999÷9＝111，问题也可解出。

解：

999＋999÷999＝1000

9999÷9－999÷9＝1000

说明：

先靠近所求数，再进行适当调整，这是一种非常行之有效的方法，在数字比较多时常常用到。

当然此题还有其它方法，同学们

可以用上面的思路再试一试。

例5填入适当运算符号，使下式成立。

987654321＝1000

分析：

此题中9~1九个数字各不相同，位置固定，初看与前面的例题有很大不同，但是经仔细读题，认真分析，我们可以发现，做此题时，＋、－、×、÷（）均可使用，运算符号用多少次没有限制，数字可以连用，也可以分开，条件很宽松。

由于1000数比较大，我们也采用例4中靠近结果，再凑较小数的方法解决。

可以用987＋6＝993，再用54321凑成7即可，这个方法就很多了。

还可以取前边987和后边的21相加得1008，中间的6543凑成8就行了。

解：

987＋6＋5－4＋3×2×1＝1000

987＋6＋5＋4－3+2－1＝1000

987＋6＋（5－4）×（3×2＋1）＝1000

987＋6＋5＋（4－3）×2×1＝1000

987－（6－5＋4＋3）＋21＝1000

说明：

此题还有许多解决，但不论哪种方法，都遵循先靠近结果，再凑较少数的原则，大家可以再想想，你还能想到什么方法？

例6在下列算式中合适的地方，填上括号，使算式成立。

（1）4＋5×6＋8÷4－2＝30

（2）4＋5×6＋8÷4－2＝39

（3）4＋5×6＋8÷4－2＝21

（4）4＋5×6＋8÷4－2＝140

分析：

（1）从最后一步逆推，减2前面的式子得32，还从后面入手，这就需要4＋5×6＋8，填上适当的括号得128，尝试发现括号的填法有两种（4＋5）×6＋8，4＋5×（6＋8），分别得128，74，因此括号的填法为[（4＋5）×6＋8]÷4－2＝30

（2）从最后一步逆推，减号前面的式子要得41，还从后面入手要求4＋5×6＋8＝41×4这是无法实现的。

从前面入手考虑，就应设法使5×6＋8÷4－2＝35，还从前面想这就需要6＋8÷4－2＝7，可从这样实现（6＋8）÷（4－2）。

因此括号的填法为4＋5×（6＋8）÷（4－2）＝39

（3）从后面减2前面的式子得23才能有解，可4＋5×6＋8÷4无论如何填加括号，都不可能现实。

把4－2放在一个括号里等于2，i除号前面的式子就要得42，通过观察容易发现，4＋5×6＋8按顺序计算就可得42，所以此题括号的填法是（4＋5×6＋8）÷（4－2）＝21

（4）140比较大，应充分发挥“×”的作用，使“×”左右两侧的因数尽可能大，即（4×5）×（6＋8）＝280，再缩小2倍，就是所求结果，正好“÷”后面4－2＝2，所以此题括号的填法是（4×5）×（6＋8）÷（4－2）＝140

解：

（1）[（4＋5）×6＋8]÷4－2＝30

（2）4＋5×（6＋8）÷（4－2）＝39

（3）（4＋5×6＋8）÷（4－2）＝21

（4）（4×5）×（6＋8）÷（4－2）＝140

说明：

填括号时既可以用“（）”，也可以根据需要用“[]”，从一端想起经过尝试，淘汰，最终可以找到解题方法。

阅读材料

数学符号的起源

数学除了记数以外，还需要一套数学符号来表示数和数、数和形的相互关系。

数学符号的发明和使用比数字晚，但数量多得多。

现在常用的200多个，初中数学书里就不下20多种。

他们都有一段有趣的经历。

例如：

（1）加号曾经有好几种，现在通用“+”号。

“+”号是由拉丁文“et”（“和”的意思）演变而来的。

也有人说，卖酒的商人用“-”表示酒桶里的酒卖了多少。

以后，当把新酒灌入大桶的时候，就在“-”上加一竖，意思是把原线条勾销。

这样就成了个“+”号。

到了十五世纪，德国数学家魏德美正式确定：

“+”用作加号，“-”号用作减号。

（2）乘号曾经用过十几种，现在通用两种。

一个是“×”，最早是英国数学家奥屈特1631年提出的；一个是“•”，最早是英国数学家赫锐奥特首创的。

德国数学家莱布尼茨认为：

“×”向拉丁字母“X”，加以反对，而赞成用“•”号。

到了十八世纪，美国数学家欧德莱确定，把“×”作为乘号，他认为“×”是“+”斜起来写，是另一种表示增加的符号。

（3）“÷”最初作为减号，在欧洲大陆长期流行。

直到1631年英国数学家奥屈特用“：

”表示除或比，另外有人用“－”（除线）表示除。

后来瑞士数学家拉哈在他所著的《代数学》里，才根据群众创造，正式将“÷”作为除号。

（4）十六世纪法国数学家维叶特用“=”表示两个量的差别。

可是英国牛津大学数学、修辞学教授列考尔德觉得：

用两条平行而又相等的直线来表示两数量相等是最合适不过的了，于是等于符号“=”就从1540年开始使用起来。

1591年，法国数学家韦达大量使用这个符号，才逐渐为人们接受。

练习题

1．在“24”点游戏中提出了下面几组牌，你能很快求出“24”吗？

（1）1，3，5，7

（2）2，5，7，9

（3）1，3，9，10（4）10，4，10，4

（5）K，Q，J，J（6）Q，10，Q，1

分析：

（4）10×10＝100是4的25倍，100－4＝96，正好是4的24倍，所以可以这样做（10×10－4）÷4＝24

（5）K，Q，J，J即13，12，11，11，依据25－1＝24可得13＋12－11÷11＝24

（6）Q，10，Q，1即12，10，12，1，依据12×2＝24可得12×（12－10）×1＝24

解：

（1）（5＋7）×（3－1）＝24

（2）5×7－9－2＝24

（3）（1＋10）×3－9＝24（4）（10×10－4）÷4＝24

（5）13＋12－11÷11＝24（6）12×（12－10）×1＝24

2．在“24”点游戏中，抽出了下面两组牌，你能求出“24”吗？

（1）3，3，7，7

（2）1，5，5，5

分析：

（1）用常用的方法无论怎么求都不能得出“24”，是否就没有办法了呢？

当然不是，用乘法分配律的方法就可以求解

（3＋3÷7）×7

＝3×7＋3÷7×7

＝24

（2）用同样的方法求解

（5－1÷5）×5

＝5×5－1÷5×5

＝24

解：

（1）（3＋3÷7）×7＝24

（2）（5－1÷5）×5＝24

说明：

熟练地掌握运算定律可以把题目化难为易，这里安排这两个题是为了开阔同学们的眼界，拓宽同学们的思路。

3．抽的四张牌恰好是“1～9”中从大到小连续排列的四张，这样的牌能算出“24”吗？

分析：

符合要求的组合有六组：

即9，8，7，6；8，7，6，5；6，5，4；6，5，4，3；5，4，3，2；4，3，2，1不难发现它们均可求出24点。

解：

（1）依据4×6＝24得8÷（9－7）×6＝24

（2）依据2×12＝24得（7＋5）×（8－6）＝24

（3）依据2×12＝24得（5＋7）×（6－4）＝24

（4）依据4×6＝24得2×（3＋4＋5）＝24

（5）依据4×6＝24得1×2×3×4＝24

说明：

这个例子告诉我们不论从大到小，还是从小到大，连续取“1~9”中任意四个数均可凑成“24”。

4．添上适当的运算符号，使算式成立。

（1）6666＝1

（2）6666＝2

（3）6666＝3（4）6666＝4

（5）6666＝5（6）6666＝6

分析：

（1）根据A÷A＝1，可得许多种解，如（6＋6）÷（6＋6）＝1或（6×6）÷（6×6）＝1……

（2）根据1＋1＝2，可得6÷6＋6÷6＝2

（3）根据18÷6＝3，可得（6＋6＋6）÷6＝3

（4）根据6－2＝4，可得6－[（6＋6）÷6]＝4

（5）根据30÷6＝5，可得（6×6－6）＝5

（6）根据0＋6＝6，可得6×（6－6）＋6＝6或（6－6）×6＋6＝0……

解：

（1）（6＋6）÷（6＋6）＝1

（2）（6÷6）＋（6÷6）＝2

（3）（6＋6＋6）÷6＝3（4）6－［（6＋6）÷6］＝4

（5）（6×6－6）÷6＝5（6）（6－6）×6＋6＝0

5．用7个7组成4个数，并使运算结果为100

7，7，7，7，7，7，7＝100

分析：

首先要使一部分接近100，777÷7＝111，111－100＝11，后面的777凑成11就可以了77÷7＝11，所以可以这样解：

777÷7－77÷7＝100

6．在9个9之间填适当的运算符号，使下面算式成立。

999999999＝2008

分析：

先要想办法使一部分靠近“2000”，999＋999＝1998，2008－1998＝10，后面的三个9凑成10即可。

解：

999＋999＋9÷9＋9＝2008

说明：

前六个数也可以用其他方法求得1998，如999×[（9＋9）÷9]＝1998这种题目往往不只一种解法。

7．填上适当的运算符号，使算式成立。

987654321＝2007

分析：

结果较大，先用一部分凑出与2007相接近的数，即654×3＝1962而2007－1962＝45，现在我们要办法使9，8，7，2，1凑成45，而45－21＝24，9＋8＋7＝24。

解：

9＋8＋7＋654×3＋21＝2007

8．在11～15之间，选择恰当位置，填上适合的运算符号，使算式结果为100。

1112131415=100

分析：

原题的意思是使下式成立：

1112131415＝100

取121靠近100，11＋121－31＝101，415凑成“1”即可有解，（4＋1）÷5＝1。

还可以取111靠近100，111－21＝90，31415凑成10即可有解，3－1＋4－1＋５＝10此题还有许多方法，请同学们自己试一试。

解：

11＋121－31－（4＋1）÷5＝100或111－21＋3－1＋4－1＋5＝100

9．现有的牌为1～10，请从中选牌，每张牌只用一次，使下列“24”点游戏成立。

（1）□＋□×６＋11＝24

（2）（□＋5）×2＋□＝24

（3）（□×10－□）÷4＋11＝24

（4）□×3－□÷2＝24

（5）□×5－4÷4＝24

（6）13＋□×3－10＝24

分析：

观察这六个算式，我们发现（5），（6）很好确定所选牌是5和7。

再观察余下的四个算式，（4）□×3－□÷2＝24，□×3>24，□可取9，10，取10时，□÷2的方块在1~10中无值可取，所以□×3只能取9，另一个□中可以取6。

再来观察（3）（□×10－□）÷4＝2424×4＝96，所以□×10－□＝96，□×10≥100，1~10中，只能取10，另一个方□中就只能取4。

接下来看

（1）□+□×6+11＝24，24－11＝13，□+□×6＝13，□×6<13的方格中可取1和2；取1时有7＋1×6＝13，7在（6）中已经用过，所以□×6的方格中只能取2，另一个□中取1。

最后观察

（2）式，现在只剩下3、8，（□＋5）×2为偶数，24为偶数，所以第二个□只能取8，第一个方面中取3。

解：

（1）

×６＋11＝24

（2）（

＋5）×2＋

＝24

（3）（

×10－

）÷4＝24（4）

×3－

÷2＝24

（5）

×5－4÷4＝24（6）13＋□×3－10＝24

10．在适当的位置中，填上括号，使下列算式成立。

（1）9＋60÷3＋2×4－1＝30

（2）9＋60÷3＋2×4－1＝56

（3）9＋60÷3＋2×4－1＝15

（4）9＋60÷3＋2×4－1＝45

分析：

（1）题中只有÷3，－1两处可以使数值变小，特别值得注意的是“－”后面只有1，所以要想办法使算式中数靠近30，又要小于30，（9＋60）÷3＝23，再使后面得7即可，2×4－1正好得7。

（2）56是个较大的数，我们还要先靠近56，再凑小数，在中间的÷、×之间想办法，60÷（3＋2）×4＝48，再加8就得结果了，9－1＝8。

（3）从前端想15－9＝6，想办法使后面部分得6，60÷10＝6，3＋2×4－1正好得10。

（4）从前端想45－9＝36，36＝12×3＝9×4，60÷（3＋2）＝12，4－1＝3，可求解。

解：

（1）（9＋60）÷3＋2×4－1＝30

（2）9＋60÷（3＋2）×4－1＝56

（3）9＋60÷（3＋2×4－1）＝15

（4）9＋60÷（3＋2）×（4－1）＝45

算24点（游戏）

两只金丝猴拿着一副扑克牌做算24点游戏。

游戏规则是：

把正令、副令去掉，J、Q、K分别看作11、12、13点；每次任意抽出四张牌，把这四张牌分别表示的点数通过加、减、乘、除运算（可加括号），谁先列出等于24的算式谁就胜。

第一局，金丝猴甲抽出4、4、10、10四张牌。

金丝猴乙想了一下，先列出算式（10×10－4）÷4=24。

第二局，金丝猴抽出1、3、9、10四张牌。

金丝猴甲很快列出算式：

（10＋1）×3-9=24。

小朋友，如果抽出几组牌分别是（2、3、6、9）、（3、7、8、8）、（2、5、6、10）、（1、3、5、9）、（2、2、8、8），你能很快列出得数是24的算式吗？

●算24点

（2、3、6、9）

（2＋6）×（9÷3）

=8×3

=24

（3、7、8、8）

（7－3）×8－8

=4×8－8

=32－8

=24

（2、5、6、10）

（10÷5＋2）×6

=（2＋2）×6

=4×6

=24

（1、3、5、9）

1×3×5＋9

=15＋9

=24

（2、2、8、8）

8×（2＋2）－8

=8×4－8

=32－8

=24

“巧算24点”的游戏内容如下：

一副牌中抽去大小王剩下52张，（如果初练也可只用1～10这40张牌）任意抽取4张牌（称牌组），用加、减、乘、除（可加括号）把牌面上的数算成24。

每张牌必须用一次且只能用一次，如抽出的牌是3、8、8、9，那么算式为（9—8）×8×3或3×8＋（9—8）或（9—8÷8）×3等。

   “算24点”作为一种扑克牌智力游戏，还应注意计算中的技巧问题。

计算时，我们不可能把牌面上的4个数的不同组合形式——去试，更不能瞎碰乱凑。

这里向大家介绍几种常用的、便于学习掌握的方法：

1．利用3×8＝24、4×6＝24求解。

把牌面上的四个数想办法凑成3和8、4和6，再相乘求解。

如3、3、6、10可组成（10—6÷3）×3＝24等。

又如2、3、3、7可组成（7＋3—2）×3＝24等。

实践证明，这种方法是利用率最大、命中率最高的一种方法。

2．利用0、11的运算特性求解。

如3、4、4、8可组成3×8＋4—4＝24等。

又如4、5、J、K可组成11×（5—4）＋13＝24等。

3．在有解的牌组中，用得最为广泛的是以下六种解法：

（我们用a、b、c、d表示牌面上的四个数）

①（a—b）×（c＋d）

如（10—4）×（2＋2）＝24等。

②（a＋b）÷c×d

如（10＋2）÷2×4＝24等。

③（a－b÷c）×d

如（3—2÷2）×12＝24等。

④（a＋b－c）×d

如（9＋5—2）×2＝24等。

⑤a×b＋c—d

如11×3＋l—10＝24等。

⑥（a－b）×c＋d

如（4—l）×6＋6＝24等。

   游戏时，同学们不妨按照上述方法试一试。

   需要说明的是：

经计算机准确计算，一副牌（52张）中，任意抽取4张可有1820种不同组合，其中有458个牌组算不出24点，如A、A、A、5。

   不难看出，“巧算24点”能极大限度地调动眼、脑、手、口、耳多种感官的协调活动，对于培养我们快捷的心算能力和反应能力很有帮助。