课时提升作业二十 25.docx

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课时提升作业二十25

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课时提升作业（二十）

从力做的功到向量的数量积

一、选择题（每小题3分,共18分）

1.（2014·黄山高一检测）已知|b|=3,a在b方向上的投影是,则a·b为　（　　）

A.　　　　B.　　　　C.3　　　　D.2

【解析】选D.设a与b的夹角为θ,则a在b方向上的射影|a|cosθ=,所以a·b=|a||b|cosθ=×3=2.

2.（2014·西安高一检测）已知|a|=3,|b|=5,且a·b=12,则向量a在向量b上的投影为　（　　）

A.B.3C.4D.5

【解析】选A.设向量a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影为

|a|cosθ=|a|==.

【举一反三】在本题的条件下,试求向量b在向量a方向上的投影.

【解析】设向量a与向量b的夹角为θ,则cosθ===,向量b在向量a方向上的投影为|b|cosθ=5×=4.

3.（2014·郑州高一检测）下列命题中,正确的是　（　　）

A.若a·b=0,则a=0或b=0

B.若a·b=0,则a∥b

C.若a⊥b,则a·b=（a·b）2

D.若|a|>|b|,则a>b

【解析】选C.对A,a·b=0,a与b有可能为非零的垂直向量,故A错误.

对B,a·b=0,则a⊥b,故B错误.

对C,若a⊥b,则a·b=0,所以a·b=（a·b）2,故C正确.

对D,|a|>|b|,由于a与b为向量,不是数量,不能比较大小,故D错误.

4.设e1和e2是夹角为60°的单位向量,且a=3e1+2e2,b=-3e1+4e2,则a·b等于　

（　　）

A.-2B.-1C.1D.2

【解题指南】先求e1·e2,再计算a·b.

【解析】选D.因为|e1|=|e2|=1,

e1·e2=|e1||e2|cos60°=1×1×=,

所以a·b=（3e1+2e2）·（-3e1+4e2）=-9|e1|2+

8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×=2.

5.已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|等于　（　　）

A.23B.35C.D.

【解析】选C.|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b

=22+52+2×（-3）=23.

所以|a+b|=,应选C.

【误区警示】求a+b的模时,需先求|a+b|2=（a+b）2,再开方.求解时,易忘记开方,而误选A.

6.（2013·宜春高一检测）关于菱形ABCD的下列说法中,不正确的是　（　　）

A.∥

B.（+）⊥（+）

C.（-）·（-）=0

D.·=·

【解析】选D.如图所示,对于选项A,∥正确,

对于选项B,+=,+=,由菱形对角线互相垂直知（+）⊥（+）.

对于选项C,因为-=,-=,

又因为⊥,所以（-）·（-）=0,

所以C正确.显然D不正确,因此选D.

二、填空题（每小题4分,共12分）

7.（2014·平顶山高一检测）已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,那么|a-3b|等于　　　　.

【解析】|a-3b|=

==4.

答案:

4

8.向量a,b满足（a-b）·（2a+b）=-4,且|a|=2,|b|=4,则a与b的夹角等于　　　　　.

【解析】设a与b的夹角为θ,因为|a|=2,|b|=4,（a-b）·（2a+b）=-4,

所以2|a|2-|a||b|cosθ-|b|2=-4,

即8-8cosθ-16=-4,

所以cosθ=-.

又θ∈[0,π],所以θ=π.

答案:

π

9.（2014·宝鸡高一检测）已知非零向量a与b的夹角为120°,若向量c=a+b,且c⊥a,则的值为　　　　.

【解析】因为c=a+b,又c⊥a,所以c·a=0,

即（a+b）·a=0,所以a2+a·b=0,

|a|2+|a||b|cos120°=0,

所以|a|-|b|=0,所以=.

答案:

三、解答题（每小题10分,共20分）

10.（2014·合肥高一检测）已知a,b是非零向量,且满足（a-2b）⊥a,（b-2a）⊥b,求a与b的夹角.

【解析】设a与b的夹角为θ,

由（a-2b）⊥a,得（a-2b）·a=0,即a2-2a·b=0,

由（b-2a）⊥b,得（b-2a）·b=0,即b2-2a·b=0,

所以a2=b2,即|a|=|b|,a·b=a2,

cosθ===,

又因为θ∈[0,π],则得θ=.

【变式训练】已知a⊥b,且|a|=2,|b|=1,若对两个不同时为零的实数k,t,使得a+（t-3）b与-ka+tb垂直,试求k的最小值.

【解析】因为a⊥b,所以a·b=0,

又由已知得[a+（t-3）b]·（-ka+tb）=0,

所以-ka2+t（t-3）b2=0,

因为|a|=2,|b|=1,

所以-4k+t（t-3）=0,

所以k=（t2-3t）=-（t≠0）.

故当t=时,k取最小值-.

11.（2013·南昌高一检测）已知非零向量a,b满足|a|=1,且（a-b）·（a+b）=.

（1）求|b|.

（2）当a·b=-时,求向量a与a+2b的夹角θ的值.

【解析】

（1）因为（a-b）·（a+b）=,

即a2-b2=.

所以|b|2=|a|2-=,

所以|b|=.

（2）因为|a+2b|2=（a+2b）2

=|a|2+4a·b+|2b|2

=1-1+1=1.

所以|a+2b|=1.

又因为a·（a+2b）=|a|2+2a·b=1-=,

所以cosθ==,

又0°≤θ≤180°,

所以θ=60°.

一、选择题（每小题4分,共16分）

1.（2014·咸阳高一检测）若a为非零向量,a·b=0,则满足此条件的向量b有　

（　　）

A.1个B.2个C.有限个D.无限个

【解析】选D.由已知a·b=0,又a≠0,则满足条件的向量b除0外,还有无限个,与a垂直均符合要求,故选D.

【误区警示】本题易忽视a·b=0⇒a⊥b,

而误认为只有b=0,而误选A.

2.（2014·榆林高一检测）已知|a|=3,|b|=4,（a+b）·（a+3b）=33,则a与b的夹角为　（　　）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解析】选C.因为（a+b）·（a+3b）=a2+4a·b+3b2

=57+4a·b=33,

所以a·b=-6.

设a与b的夹角为α,

则cosα===-,

又0°≤α≤180°,所以α=120°.

【变式训练】若向量a,b满足|a|=|b|=1,且（a+3b）·（a+5b）=20,则向量a,b的夹角为　（　　）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解析】选C.因为（a+3b）·（a+5b）=a2+15b2+8a·b

=16+8a·b=20.

所以a·b=.设向量a,b的夹角为α,

则a·b=|a||b|cosα=,

所以cosα=,所以α=60°.

3.（2014·天津高考）已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ=　（　　）

A.B.C.D.

【解析】选C.因为∠BAD=120°,所以·=··cos120°=-2.

因为BE=λBC,DF=μDC,所以=+λ,=μ+.

因为·=1,

所以·=1,

即2λ+2μ-λμ=　①

同理可得λμ-λ-μ=-　②,①+②得λ+μ=.

4.（2014·阜阳高一检测）在△ABC中,若=a,=b,=c,且a·b=b·c=c·a,则△ABC的形状是　（　　）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.以上都不对

【解析】选C.由a+b+c=++=0,

得a+b=-c,（a+b）2=c2,

即a2+b2+2a·b=c2…①,同理可得b2+c2+2b·c=a2…②

①-②得a2=c2,所以|a|=|c|,

同理可得|a|=|b|,

故△ABC为等边三角形.

二、填空题（每小题5分,共10分）

5.（2013·江西高考）设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为.若a=e1+3e2,b=2e1,则向量a在b方向上的投影为　　　　.

【解题指南】向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=,进而问题转化为求向量a,b的数量积与向量b的模.

【解析】设a,b的夹角为θ,则向量a在b方向上的投影为|a|cosθ=|a|=,而a·b=（e1+3e2）·2e1=2+6cos=5,|b|=2,所以所求为.

答案:

6.（2014·汉中高一检测）如图,A,B是函数y=3sin（2x+θ）的图象与x轴两相邻交点,C是图象上A,B间的最低点,则·=　　　　.

【解析】设,的夹角为α,由已知可得||=,

·=||·||cosα=||·||

=||·=.

答案:

三、解答题（每小题12分,共24分）

7.（2014·安庆高一检测）已知|a|=4,|b|=3,（2a-3b）·（2a+b）=61,

（1）求a·b的值.

（2）求|a+b|的值.

【解析】

（1）由（2a-3b）·（2a+b）=61得

4a2-4a·b-3b2=61.

又由|a|=4,|b|=3得a2=16,b2=9,

代入上式得64-4a·b-27=61,

所以a·b=-6.

（2）|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×（-6）+9=13,

故|a+b|=.

【变式训练】已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a-b|=2.

（1）求a·b的值.

（2）求|a+b|的值.

【解析】

（1）由|a-b|=2,得a2-2a·b+b2=4,

因为|a|=2,|b|=1,

所以a·b=.

（2）|a+b|2=a2+2a·b+b2=6,

所以|a+b|=.

8.（2014·西安高一检测）已知|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60°,向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,求实数t的取值范围.

【解析】因为（2ta+7b）·（a+tb）

=2ta2+（2t2+7）a·b+7tb2

=2t|a|2+（2t2+7）|a||b|cos60°+7t|b|2

=8t+（2t2+7）+7t=2t2+15t+7.

由2t2+15t+7<0⇒（2t+1）（t+7）<0,

所以-7

因为λ<0,所以t=-.

所以当t=-时,2ta+7b与a+tb的夹角为π.

故t的取值范围是∪.

【误区警示】解答本题时,易忽视2ta+7b与a+tb的夹角为π的情况,而得到t的范围是的错误.

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