傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用.docx

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傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用

本科生毕业论文

（申请学士学位）

论文题目傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用

学生：

（签字）

学号：

**********

论文答辩日期：

2014年x月xx日

指导教师：

（签字）

傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用

摘要：

傅里叶级数是对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。

除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。

傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。

很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。

在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。

傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。

关键词：

傅里叶级数；傅里叶变换；周期性

FourierseriesAndFourierTransforms

Abstract:

Fourierseriesismademathematicalanalysistocyclicalphenomenon,andFouriertransformcanbeseenasthelimitformofFourierseries,italsocanberegardedasamathematicalanalysisofcyclephenomenon.Inaddition,theFouriertransformisakindofveryimportantinthefieldofsignalprocessingalgorithms.

Fouriertransformisamethodofsignalanalysis,itcananalyzesignalcomponent,alsocanusetheseingredientssyntheticsignal.Manywaveformcanbeusedasasignalofingredients,suchascosinewave,squarewave,sawtoothwave,etc.,theFouriertransformasasignalofcomposition.Inelectronicsdisciplines,physics,signalprocessingdisciplinesetcmanyfieldshaveawiderangeofapplications.

Fourierseriesisforperiodicfunction,Fouriertransformforisaperiodicfunction,theyareinessenceakindofpaperssaidthesignalintoacomplexsignalsuperposition,similarfeatures.

Keywords:

Fourierseries;FourierTransform;Periodic

1绪论

傅里叶级数是法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出来的，从而极大的推动了偏微分方程理论的发展，在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

积分变换起源于19世纪的运算危机，英国著名的无线电工程师海维赛德（O.Heaviside）在用它求解电工学、物理学领域中的线性微分方程的过程中逐步形成一种所谓的符号法，后来符号法又演变成今天的积分变化法。

所谓积分变换，就是把某函数类A中的函数乘上一个确定的二元函数，然后计算积分，即

这样变成了另一个函数类B中的函数，这里的二元函数是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核，称为象原函数，称为的象函数，当选取不同的积分域和核函数，就得到不同名称的积分变换。

傅里叶级数对周期性现象做数学上的分析，而傅里叶变换则可以看作傅里叶级数的极限形式，它也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。

除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。

要想了解傅里叶变换算法的内涵，首先要了解傅里叶原理的内涵。

傅里叶原理表明：

对于任何连续测量的数字信号，都可以用不同频率的正弦波信号的无限叠加来表示。

傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。

很多波形可以作为信号的成分，例如余弦波，方波，锯齿波等等，傅里叶变换作为信号的成分。

在电子类学科，物理学科，信号处理学科等众多领域都有着广泛的应用。

傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加，存在相似的特性。

2傅里叶级数的概念

2.1周期函数

我们把凡是满足以下关系式：

（T为常数）（2.1.1）

的函数，都称为周期函数。

周期定义：

（1）满足式（1.1.1）的T值中的最小正数，即为该函数的周期；

（2）一个常数以任何正数为周期。

基本三角函数系：

按某一规律确定的函数序列称为函数系。

如下形式的函数系：

1，，，，，…，，，…（2.1.2）

称为基本三角函数系。

所有这些函数具有各自的周期，例如和的周期为，但它们的共有周期为（即所有周期的最小公倍数）。

通常这个周期命名为函数系的周期。

所以式（1.1.2）的三角函数系的周期为。

2.2傅里叶级数的定义

傅里叶级数是一类特殊的函数项级数，对周期性现象进行数学上的分析，其在理论和应用上都有重要价值。

2.2.1三角级数、三角函数及其正交性

在物理学中，我们知道，简谐振动是一种简单的周期运动，而在简谐振动中，一种标准而简单的简谐振动可由下面函数描述

，

（1）

我们不难看出，更一般的简谐振动

，

可通过适当的变换为

（1），将无穷多个如

（1）式那样的简谐振动叠加，便得到函数项级数

（2）

如果

（2）式收敛到函数,即

（3）

则易见是周期为的函数，从的角度看，如果（3）式成立（），则我们便将更一般或更复杂的周期为的函数分解为简单标准的简谐振动的叠加，这对研究的各种性质带来了很大的方便。

于是，我们自然提出以下问题：

什么条件下我们可以将一个周期为的函数表示成如

（1）式那样简单，标准的简谐振动的叠加?

即什么条件下（3）式成立?

更一般地，什么条件下可以将一个周期为T的函数表示成简谐振动的叠加？

设g（t）周期为T，则只要令,就有

则周期为，所以我们只要讨论前一个问题就行了。

为了数学推导和理论研究方便，我们将级数

（2）作如下变形

=

令

则

=

称级数

（4）

为三角级数，称级数（4）的部分和

（5）

为三角多项式，后面我们将看到，将常数项记为的形式，是为了使有统一的表达式。

我们通过简单的计算可知，三角函数系

（6）

具有以下性质

（7）

（8）

（9）

（10）

即三角函数系（6）中任何两个不同函数的乘积在上积分为0，我们称这一性质为三角函数系

（1）的正交性。

也称（6）为正三角函数系。

从后面的推导我们也看到，三角函数系（6）的正交性在三角级数研究中扮演了重要的角色。

另外，我们还有

（11）

2.2.2周期为的函数的傅里叶级数

设函数能够表示成三角级数（4），即

（12）

并且（12）式右边级数在上一致收敛，则有如下关系式：

n=0,1,2,…（13a）

n=0,1,2,…（13b）

证明：

由定理条件，对（12）式逐项积分可得：

=

由关系式知，上式右边括号内的积分都等于零，所以

即得

现以乘（12）式两边（t为正整数），得

（14）

由级数（12）一致收敛，可以推出级数（14）也一致收敛。

现在对级数（14）逐项求积，有

=

由三角函数的正交性，右边除了以为系数的那一项积分外，其他各项积分都等于零，于是得出

即

同理，（12）式两边乘以，并逐项求积，可得

一般的说，若是以为周期且在上可积分的函数，则按公式（13）计算出的和叫做函数的傅里叶级数，记作

这里的“~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数。

2.2.3周期为的函数的傅里叶级数

设是以2为周期的函数，通过变量置换

可以把变成以为周期的t的函数.若在上可积，则在上也可积，这时函数的傅里叶级数展开式是

（1）

其中

n=0,1,2…

（2）

n=1,2…

因为，所以。

于是由

（1）与

（2）式分别得

（3）

与

n=0,1,2…

（4）

n=1,2…

这里（4）式是以为周期的函数的傅里叶级数，（3）式是的傅里叶级数.

2.2.4傅里叶级数的性质

1、收敛性

定理傅里叶级数的收敛准则——狄利克雷（Dirichlet）定理

若

（1）在上或者连续，或者只有有限个间断点，在间断处函数的左、右极限都存在；

（2）在上只有有限个极大值点与极小值点；

（3）在外是周期函数，其周期为2，则级数

（1）

证明

=

=

=

因为

及

所以

证毕

例：

试将锯齿波在区间上展开为傅里叶级数。

解：

我们要将在之外视作是2的周期函数，由傅里叶级数公式可得：

（=0,1,2,…）

及

=（=1,2,3，…）

因此，所求级数为

（2）

由于=0是的连续点，所以上式两边可划等号。

事实上，也正是如此，可代入数字验证。

而=是间断点，由定义可知

按收敛准则，傅里叶级数在间断点处应收敛到

事实上，以=代入级数

（2），得级数和为零。

必须注意，狄利克雷定理中加在上的条件

（1）和

（2）是充分的，但不是必要的。

在实际中这些条件通常是满足的，目前还不知道傅里叶级数收敛的必要且充分的条件是什么。

值得注意的是，单从的连续性考虑还不能保证傅里叶级数收敛。

2、积分

定理2如果在区间上分段连续，其傅里叶级数为

则

F（3）

证明

（4）

利用公式

（2），得

（5）

上式代入式（4），即得所证。

如果原级数中，只要用代替公式（4）中的即可。

3微分

定理3若在上连续，又绝对可积，则有

（6）

其中。

利用求系数公式及分部积分，可以证明

（=0,1,2，…）

（=1,2,3，…）

如果，则的傅里叶级数可通过对的傅里叶级数进行逐项求导而得，即

（7）

微分与积分大不相同，例如考虑下列函数（锯齿波）：

的傅里叶级数为

（9.3.7）

对上式逐项微分得

于是得到不收敛的级数

其次，再考虑三角波

它的傅里叶级数

是一个收敛得相当快的级数，且在上一致收敛。

对上式逐项微分得

上式正是方波

的傅里叶级数。

事实上，三角波得导数正数方波。

从上面的例子可知，与积分相反，微分之后每一个系数前却添加了一个增长因子，这就降低了收敛程度。

所以上面第一个例子微分后得一发散级数。

事实上，第一个例子中的级数在区间上一致收敛。

一般来说，微分使级数的收敛程度降低。

有时将可以逐项微分的条件表示成如下形式：

（8）

此外，函数的光滑程度可以从该函数的傅里叶级数的系数上反映出来。

一般而言，一个满足狄利克雷条件的周期函数。

其傅里叶级数中的系数和随着趋