河南省六市届高三第一次联考一模数学理试题Word版含答案.docx

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河南省六市届高三第一次联考一模数学理试题Word版含答案

河南省六市2019届高三第一次联考（一模）

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，集合，则（）

A．B．C．D．

2．已知为虚数单位，若，则（）

A．0B．1C．D．2

3．现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（）

A．B．C．D．

4．汽车以作变速运动时，在第1s至2s之间的1s内经过的路程是（）

A．B．C．D．

5．为考察两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：

根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）

A．药物的预防效果优于药物的预防效果

B．药物的预防效果优于药物的预防效果

C．药物、对该疾病均有显著的预防效果

D．药物、对该疾病均没有预防效果

6．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）

A．B．C．2D．4

7．已知数列满足：

，则其前100项和为（）

A．250B．200C．150D．100

8．已知锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

9．设是数列的一个排列，观察如图所示的程序框图，则输出的的值为（）

A．2015B．2016C．2017D．2018

10．在三棱锥中，，，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球半径是（）

A．1B．2C．3D．4

11．椭圆与函数的图象交于点，若函数的图象在处的切线过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率是（）

A．B．C．D．

12．若关于的方程有3个不相等的实数解，且，其中，，则的值为（）

A．1B．C．D．

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知，，则.

14．已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（用数字作答）.

15．已知是双曲线：

右支上一点，直线是双曲线的一条渐近线，在上的射影为，是双曲线的左焦点，则的最小值是.

16．已知动点满足，则的最小值是.

三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．已知数列中，，其前项的和为，且满足.

（1）求证：

数列是等差数列；

（2）证明：

当时，.

18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程.某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布制作成如下图表：

（1）若采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？

（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；

（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：

①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；

②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；

③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元.

利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算.（单位：

亿元，结果保留两位小数）

19．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，为与的交点，为上任意一点.

（1）证明：

平面平面；

（2）若平面，并且二面角的大小为，求的值.

20．已知抛物线：

的焦点为，过的直线交抛物线于点，当直线的倾斜角是时，的中垂线交轴于点.

（1）求的值；

（2）以为直径的圆交轴于点，记劣弧的长度为，当直线绕点旋转时，求的最大值.

21．已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，且，证明：

.

请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.

22．选修4-4：

坐标系与参数方程

以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程与圆的执直角坐标方程；

（2）设曲线与直线交于两点，若点的直角坐标为，求的值.

23．选修4-5：

不等式选讲

已知关于的不等式有解.

（1）求实数的取值范围；

（2）已知，证明：

.

河南省六市2019届高三第一次联考（一模）

数学（理）试题答案

一、选择题

1-5：

CBCDB6-10：

BDCDC11-12：

BA

二、填空题

13．514．1015．16．

三、解答题

17．解：

（1）当时，，

，从而构成以1为首项，2为公差的等差数列.

（2）由

（1）可知，，∴

∴当时，

从而.

18．解：

（1）数据整理如下表：

从图表中知采用分层抽样的方法从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：

人，80岁以下应抽取：

人

（2）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：

用样本估计总体，80岁及以上长者为：

万，

80岁及以上长者占户籍人口的百分比为.

（3）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为元，

，，，

，，

则随机变量的分布列为：

全市老人的总预算为元

政府执行此计划的年度预算约为2.22亿元.

19.解：

（1）因为平面，∴，

又是菱形，∴，故平面

∴平面平面.

（2）解：

连结，因为平面，

所以，所以平面，

又是的中点，故此时为的中点，

以为坐标原点，射线分别为轴建立空间直角坐标系

设，则，

向量为平面的一个法向量

设平面的一个法向量为，

则且

即且，

取，则，，则

∴，解得

故.

20.

（1），当的倾斜角为时，的方程为，

设，

得

，得的中点为

中垂线为

代入得

∴

（2）设的方程为，代入得

中点为

令（弧度），

∴

∴到轴的距离

∴

当时，取最小值，的最大值为

故的最大值为.

21．

（1），

所以

（1）当时，，所以在上单调递增

（2）当时，令，

当即时，恒成立，即恒成立

所以在上单调递增

当，即时，

，两根

所以，

，

故当时，在上单调递增

当时，在和上单调递增

在上单调递减.

（2）

由

（1）知时，上单调递增，此时无极值

当时，

由得

，设两根，则，

其中

在上递增，在上递减，在上递增

令

，所以在上单调递减，且

故.

22.解：

（1）直线的普通方程为，

，

所以

所以曲线的直角坐标方程为.

（2）点在直线上，且在圆内，由已知直线的参数方程是（为参数）

代入，

得，设两个实根为，则，即异号

所以.

23.解：

（1），故

（2）由题知，故，

∴.