银度差之比1:
1
重量出1；1
所以蒸发了100X1/2=50升水。
3【解】此题的关键是抓住不变量：
差不变。
这样原来两桶水差13-8=5升，往两个桶中加进同样多
的水后，后来还是差5升，所以后来一桶为5-（7-5）X5=12.5，所以加入水量为4.5升。
4【解】从甲堆运12吨给乙堆两堆煤就一样重说明甲堆比乙堆原来重12X2=24吨，这样乙堆运12
吨给甲堆，说明现在甲乙相差就是24+24=48吨，而甲堆煤就是乙堆煤的2倍，说明相差1份，所以现
在甲重48X2=96吨，总共重量为48X3=144吨。
5【解】第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由2:
1（=10:
5）变为1:
5，而其中白棋的数
目是不变的，这样我们就知道白棋由原来的10份变成现在的1份，减少了9份。
这样原来黑棋=45-9X
10=50,白棋=45-9X5+15=40。
第九讲小升初专项训练比例百分数篇
这一讲主要涉及比例的意义和性质，按比例分配，正反比例等几个知识。
在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关•在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断.
成正比或反比的量中都有两种相关联的量.一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变
化.与这两个量联系着，有一个不变的量（记为k）。
在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要
紧紧抓住这个不变量k.如：
果不变量k是变量卩与盪的商，即在嗟变化时”与惡的商不麥［二k,那么y与只
x
成正比例；如果k是y与x的积，即在x变化时，y与x的积不变：
xy=k，那么y与x成反比例.如果这两个关系式都不成立，那么y与x不成（正和反）比例.
经济浓度问题
这一节的内容与生活实际联系很紧密，在浓度问题中要理解好溶剂、溶质、溶液、浓度这几个量之间的关系。
而经济问题中，则要恰当处理好成本、售价、利润、禾U润率这几个量的关系。
四、典型例题解析O
1分数百分数应用题
【例1】（★★）某班有学生48人，女生占全班的37.5%，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40%，问转来几名女生？
【解】这是一道变换单位“1”的分数应用题，需抓住男生人数这个不变量，如果按浓度问题做，就简
浓度差之比1:
24
46人3T5%
100%是女生可理解为100%）
2./
40%
瞰度靈之出1:
24
赳；1
4S-e-24Xl=?
A
重量之比24:
1
48-24X1=2人
单多了。
方法二：
男生原来有48X（1-37.5%）=30,来了女生后男生的人数书不变的，所以后来全班的总人数就是30-（1-40%）=50,所以增加的2人就是转来的女生人数。
20%，另一边增加2米，得到一个长方形.它与原来的正方
【例2】（★★）把一个正方形的一边减少形面积相等•问正方形的面积是多少？
20%，另一边将增
【解】设正方形的边长是“1”.因为长方形与原来的正方形面积相等，一边减少了加
所以正方形的边长是2十25%=8（米）.
正方形的面积是8X8=64（平方米）.
【例3】（★★★）学校男生人数占45%，会游泳的学生占54%。
男生中会游泳的占72%，问在全体学
生中不会游泳的女生占百分之几？
【解1】在全体学生中，不会游泳的女生占33.4%.
在全体学生中，会游泳的男生占45%X72%=32.4%.
在会游泳的学生中，男生占32.4%-54%X100%=60%
在全体学生中，不会游泳的女生占（100%-45%）-54%X（1-60%）=33.4%.
【解2】画一个图非常清楚。
不会
男
32.曲
451
立
21.6%
33.4*
55S
【例4】某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的1/3与原二班的1/4组成新一班,将原一班的1/4与原二班的1/3组成新二班，余下的30人组成新三班。
如果新一班的人数比新二班的
人数多10%那么原一班有多少人？
【解】：
原一班的1/3与原二班的1/4+原一班的1/4与原二班的1/3=7/12总人数，
余下1-7/12=5/12，是30人，所以总人数=30/（5/12）=72人；72-30=42人，新一班与新二班的人数和为42人，新一班的人数比新二班的人数多10%新一班人数：
新二班人数=11:
10,即原一班的（1/3-1/4）
=1/12比原二班的1/12多2人，原一班比原二班共多12X2=24人，所以，原一班有24+（72-24）/2=48
答：
原一班有48人。
2比和比例
【例5】（★★★）一个长方形长与宽的比是14:
5,如果长减少
182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？
画出图便于解题：
13厘米，宽增加
13厘米,则面
则面积增加
人。
【解1】：
BC的长：
182-13=14（厘米），
BD的长：
14+13=27（厘米），
从图中看出AB长就是原长方形的宽，AD与AB的比是14:
5,
AB与BD的比是5：
（14-5）=5:
9,
AB的长是27^-=15（厘氷）f
AD的长是15-^^=42（厘米）f
原长方形面积是42X15=630（平方厘米）。
答：
原长方形面积是630平方厘米。
【解2】：
设原长方形长为14x，宽为5x•由图分析得方程
（14x—13）X13-5xX13=182,
9x=27,
x=3。
则原长方形面积
（14X3）X（5X3）=630（平方厘米）。
【拓展】已知长方形的周长为346米，若边长分别增加2米，则面积增加多少平方米？
设两边长分别为a、b，这样增加的面积我们可以分为一个2X2的正方形，一个2Xa的长方形，一个2
Xb的长方形，所以增加的面积就是2X（a+b）+2X2=350平方米。
【例6]（★★★）有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为2:
5。
现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长方形纸板做侧面（左下图），横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面（右下图），那么做成的竖式纸盒与横式纸盒个数之比是多少？
【解]4：
3。
设竖式纸盒有a个，横式纸盒有b个，则共用长方形纸板（4a+3b）块，正方形纸板（a+2b）块。
根据题意有：
（a+2b）：
（4a+3b）=2:
5,即卩5（a+2b）=2（4a+3b）,解得a:
b=4:
3。
【例7]（★★★）某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4:
3•结果录取91人，其中男生与
女生人数之比是8:
5•未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3:
4.问报考的共有多少人？
【解1]报考人数是119人，
8
录取学生中男生：
91X=56人，女：
91-56=35（人）.
58
44
先将未录取的人数之比3:
4变成4:
4X，又有56X=42（人）
33
每份人数是（42-35）-（4X^3）=$（人）
未录取男生4X3=12（人），女生16（人）。
报考人数是（56+12）+（35+16）=119（人）。
【解2】
男
立
录取
5&
35
91
未录职
3w
41
4®
3®
（56+3x）:
（35+4x）=4:
3得：
X=4
（56+12）+（35+16）=119（人）。
【例8］（★★★）幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生。
已知大班男生数与女生数的比为5:
3,
中班中男生数与女生数的比为2:
1，那么大班有女生多少名？
【解］［方法一］:
鸡兔同笼［思路］:
由于男女生有比例关系，而且知道总数，所以我们可以用鸡兔同笼。
解：
假设18名女生全部是大班，则
大班男生数：
女生数=5:
3=30:
18,即男生应有30人，实际男生有32人，32-30=2，相差2个人；中班男生数：
女生数=2:
1=6:
3,
以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加1个男生，需要换2组；
所以，大班女生有18-3X2=12个。
答：
大班有女生12名。
［方法二］:
份数
［思路］:
可以把中班女生数看作“1”份，那么中班男生数为2份•从而大班中的男生数为32—2份,大班里的女生人数是18—1份•根据题意有（32—2份）:
（18—1份）=5:
3，只要求出1份的数目即可。
解：
设中班女生数看作“1”，（32—2份）：
（18—1份）=5:
3，求出一份是6人
所以大班的女生则有18—6=12人.
答：
大班有女生12名。
3经济浓度问题
【例9】（*★）某商店进了一批笔记本，按30%的利润定价•当售出这批笔记本的80%后，为了尽
早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售•问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？
【解】设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1X（1+30%）=1.3.其中
80%的卖价是1.3X80%,
20%的卖价是1.3十2X20%.
因此全部卖价是1.3X80%+1.3十2X20%=1.17.
实际获得利润的百分数是1.17—1=0.17=17%.
【例10】（★★★）A,B,C三个试管中各盛有10克、20克、30克水。
把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出10克倒入C中。
现在C中盐水浓度是0.5%。
问最早倒入A中的盐水浓度是多少？
【解】最早倒入A中的盐水浓度为12%。
B中盐水的浓度是（30+10）X0.5%-10X100%=2%。
现在A中盐水的浓度是（20+10）X%-10X100%=6%。
最早倒入A中的盐水浓度为（10+10）X5%十10=12%。
【解】浓度倒三角的妙用：
红笔按85%优惠，黑笔按80%优惠，结果少付18%，相当于按82%优惠，可按浓度问题进行配比。
与其他题不同的地方在于红、黑两种笔的单价不同，要把这个因素考虑进去。
然后就可以按比例分配这
66支笔了。
红黒
85SSOS
毎義、
芫M3、/支勺兀
82驚
報度差之比S:
&
MZtt6:
5
【例12】制鞋厂生产的皮鞋按质量共分
元。
每提高一个档次，每双皮鞋利润增加
66X=36（支）
10个档次，生产最低档次（即第1档次）的皮鞋每双利润为24
6元。
最低档次的皮鞋每天可生产180双，提高一个档次每天
将少生产9双皮鞋。
按天计算，生产哪个档次的皮鞋所获利润最大？
最大利润是多少元?
【解】第9档次；7776元。
由题意，生产第n（n=1,2,…，10）档次的皮鞋，每天生产的双数为189—9n=9X（21—n）双，每双
利润为18+6n=6X（3+n）（元），所以每天获利润］6X（3+n）］X［9X［（21-n）］=54X（3+n）x（21—n）元。
两个数的和一定时，这两个数越接近，这两个数的乘积越大。
上式中，因为（3+n）与（21—n）的和
是24,而n=9时，（3+门）与（21—n）都等于12,所以每天生产第9档次的皮鞋所获利润最大，最大利润是54X（3+9）X（21—9）=7776（元）。
小结
本讲主要接触到以下几种典型题型：
1）分数百分数应用题参见例1,2,3,4
2）比和比例参见例5,6,乙8
3）经济浓度问题参见例9,10,11,12
（注：
作业题--例题类型对照表，供参考）
题1—类型1;题2,4,5,6,8—类型4;题3,7—类型5
1、（★★★）某中学，上年度高中男、女生共290人•这一年度高中男生增加4%，女生增加5%，共增
加13人•本年度该校有男、女生各多少人？
【解】男生156人，女生147人。
如果女生也是增加4%，这样增加的人数是290X4%=11.6（人）•比13人少1.4人.因此上年度是1.4-（5%-4%）=140（人）•本年度女生有
2、（★★★）在下图中点上，求三角形ADE
AC重合，B点落在E
【解】1:
4.三角形
140X（1+5%）=147（人）.
AB,AC的长度是15,BC的长度是9.把BC折过去与与三角形ABC面积之比.
ADE与三角形EDC面积之比是（15-9）：
9.
3、（★★★）成本0.25元的练习本1200本，按40%的利润定价出售。
当销掉80%后，剩下的练习本
打折扣出售，结果获得的利润是预定的86%，问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？
【解】打了8折.
先销掉80%，可以获得利润0.25X40%X1200X80%=96.按86%获得利润0.25X40%X1200X86%=103.2.因此，出售剩下的20%，要获得利润
103.2-96=7.2（元），
每本需要获得利润
7.2-（1200X20%）=0.03（元）。
现在售价是0.25+0.03=0.28（元），定价是
0.25X（1+40%）=0.35（元）。
售价是定价的0.28-0.35=80%。
1
4、（★★★）甲乙两人各有一些书，甲比乙多的数量恰好是两人总数的4，如果甲给乙20本，那么乙
1
比甲多的数量恰好是两人总数的。
那么他们共有多少本书？
6
1
【解】甲比乙多的数量恰好是两人总数的；，把差1份，和4份，用和差问题来算一下，大数
4
为:
（4+1）/2=2.5,小数:
（4-1）/2=1.5,,得甲是2.5份,乙是1.5份,甲与乙的比是5:
3.
同理，甲给乙20本后，甲与乙的比是5:
乙思考一下为什么是5:
7,不要把前后项颠倒了。
因为甲给乙
20本书，甲减少多少，乙就增加多少，甲乙两人共有书的总数不变，我们就把和的份数统一一下，在这里8与12的最小公倍数是24份：
5:
3=15:
9
5:
7=10:
14
观察比较甲从15份变为10份，是因为少了20本书，因此每份是4本，共有书就为4X（15+9）=96本。
5、（★★★）甲、乙、丙三位同学共有图书108本.乙比甲多18本，乙与丙的图书数之比是5:
4.求甲、
乙、丙三人所有的图书数之比.
【解】3:
5:
4.
（108+18）-（5+5+4）=9
甲、乙、丙三人图书数之比是
（9X5-18）：
（9X5）：
（9X4）=3:
5:
4。
6、（★★★）一个容器内已注满水，有大、中、小三个球。
第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出,
把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起
沉入水中•现在知道每次从容器中溢出水量的情况是，笫一次是第二次的|
审，第三次是第一次
的2.5倍，求三个球的体积之比。
【解】三种球体积之比是2:
8:
11.
设小球体积是1.当容器水满时，放一个球，就要溢出同样体积的水，因此可以用小球体积来计算溢出的水量•
从偉一次是第二次的”第二次要溢出的木量是1亠卜3另外取
小球时，容器中已经空出体积1,因此中球的体积是3+1=4.
未取出中球时，水是满的，取出中球后，容器空出体积4.再沉入小球和大球溢出水量是2.5，小球
和大球的沉入，水又是满了，因此小球和大球的体积是4+2.5=6.5，而大球的体积是6.5-仁5.5.
三个球的体积之比是
1:
4:
5.5=2:
8:
11.
7、（★★）某种密瓜每天减价20%.第一天妈妈按定价减价20%买了3个密瓜，第二天妈妈又买了5个
密瓜，两天共花了42元.如这8个密瓜都在第三天买，问要花多少钱？
【解】第三天买，只要30.72元.
每个密瓜原来定价是
42-[（1-0.2）X3+（1-0.2）X（1-0.2）X5）]=7.5（元）.
第三天买每个价格是
7.5X0.8X0.8X0.8=3.84（元）
3.84X8=30.72（元）.
8.（★★★★）袋子里红球与白球数量之比是19:
13。
放入若干只红球后，红球与白球数量之比变
为5:
3;再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13:
11。
已知放入的红球比白球少80只，那
么原先袋子里共有多少只球？
【解】放入若干只红球前后比较，那白球的数量不变，也就是后项不变；再把放入若干只白球的前后比较，红球的数量不变，因此可以根据两次变化前后的不变量来统一，然后比较。
红
白
原来
19
:
13=57:
39
加红
5
:
3=65:
39
加白
13
:
11=65:
55
原来与加红球后的后项统一为3与13的最小公倍数为39,再把加红与加白的前项统一为65与13的最小公倍数65。
观察比较得出加红球从57份变为65份，共多了8份，加白球从39份变为55份，共多了16份，可见红球比白球少加了8份，也就是少加了80只，每份为10只，总数为（57+39）X10=960只。
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