A．（a，b）和（b，c）内B．（－∞，a）和（a，b）内
C．（b，c）和（c，＋∞）内D．（－∞，a）和（c，＋∞）内
答案 A
解析 由于a0，f（b）＝（b－c）（b－a）<0，f（c）＝（c－a）（c－b）>0.因此有f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，又因f（x）是关于x的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f（x）的两零点分别位于区间（a，b）和（b，c）内，故选A.
4．在下列区间中，函数f（x）＝ex＋4x－3的零点所在的区间为（ ）
A．（－，0）B．（0，）
C．（，）D．（，）
答案 C
解析 ∵f（x）＝ex＋4x－3，∴f′（x）＝ex＋4>0.
∴f（x）在其定义域上是严格单调递增函数．
∵f（－）＝e－4<0，f（0）＝e0＋4×0－3＝－2<0，
f（）＝e－2<0，f（）＝e－1>0，
∴f（）·f（）<0.
5．已知函数f（x）＝lnx－x＋2有一个零点所在的区间为（k，k＋1）（k∈N*），则k的值为________．
答案 3
解析 由题意知，当x>1时，f（x）单调递减，因为f（3）＝ln3－1>0，f（4）＝ln4－2<0，所以该函数的零点在区间（3,4）内，所以k＝3.
题型一 函数零点的判断和求解
例1
（1）（2012·湖北）函数f（x）＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
（2）设函数f（x）＝x2＋（x≠0）．当a>1时，方程f（x）＝f（a）的实根个数为________．
思维启迪
（1）函数零点的确定问题；
（2）f（x）＝f（a）的实根个数转化为函数g（x）＝f（x）－f（a）的零点个数．
答案
（1）C
（2）3
解析
（1）当x＝0时，f（x）＝0.又因为x∈[0,4]，
所以0≤x2≤16.因为5π<16<，
所以函数y＝cosx2在x2取，，，，时为0，
此时f（x）＝0，所以f（x）＝xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为6.
（2）令g（x）＝f（x）－f（a），
即g（x）＝x2＋－a2－，
整理得：
g（x）＝（x－a）（ax2＋a2x－2）．
显然g（a）＝0，令h（x）＝ax2＋a2x－2.
∵h（0）＝－2<0，h（a）＝2（a3－1）>0，
∴h（x）在区间（－∞，0）和（0，a）各有一个零点．
因此，g（x）有三个零点，即方程f（x）＝f（a）有三个实数解．
思维升华 函数零点的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定，②零点个数的确定，③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判断或数形结合法．
（1）函数f（x）＝2x＋3x的零点所在的一个区间是（ ）
A．（－2，－1）B．（－1,0）
C．（0,1）D．（1,2）
（2）若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且当x∈[0,1]时，f（x）＝x，则函数y＝f（x）－log3|x|的零点个数是（ ）
A．多于4个B．4个
C．3个D．2个
答案
（1）B
（2）B
解析
（1）∵f′（x）＝2xln2＋3>0，
∴f（x）＝2x＋3x在R上是增函数．
而f（－2）＝2－2－6<0，f（－1）＝2－1－3<0，
f（0）＝20＝1>0，f
（1）＝2＋3＝5>0，f
（2）＝22＋6＝10>0，
∴f（－1）·f（0）<0.故函数f（x）在区间（－1,0）上有零点．
（2）由题意知，f（x）是周期为2的偶函数．
在同一坐标系内作出函数y＝f（x）及y＝log3|x|的图象，如下：
观察图象可以发现它们有4个交点，
即函数y＝f（x）－log3|x|有4个零点．
题型二 二次函数的零点问题
例2 是否存在这样的实数a，使函数f（x）＝x2＋（3a－2）x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？
若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
思维启迪 可将问题转化为f（x）＝0在[－1,3]上有且只有一个实数根，结合二次函数的图象特征转化题中条件．
解 令f（x）＝0，则Δ＝（3a－2）2－4（a－1）＝9a2－16a＋8
＝9（a－）2＋>0，
即f（x）＝0有两个不相等的实数根，
∴若实数a满足条件，则只需f（－1）·f（3）≤0即可．
f（－1）·f（3）＝（1－3a＋2＋a－1）·（9＋9a－6＋a－1）＝4（1－a）（5a＋1）≤0，
∴a≤－或a≥1.
检验：
（1）当f（－1）＝0时，a＝1，所以f（x）＝x2＋x.
令f（x）＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.
（2）当f（3）＝0时，a＝－，此时f（x）＝x2－x－.
令f（x）＝0，即x2－x－＝0，解得x＝－或x＝3.
方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠－.
综上所述，a<－或a>1.
思维升华 解决二次函数的零点问题：
（1）可利用一元二次方程的求根公式；
（2）可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；
（3）利用二次函数的图象列不等式组．
已知f（x）＝x2＋（a2－1）x＋（a－2）的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．
解 方法一 设方程x2＋（a2－1）x＋（a－2）＝0的两根分别为x1，x2（x1∴x1x2－（x1＋x2）＋1<0，
由根与系数的关系，
得（a－2）＋（a2－1）＋1<0，
即a2＋a－2<0，∴－2方法二 函数图象大致如图，则有f
（1）<0，
即1＋（a2－1）＋a－2<0，∴－2题型三 函数零点的应用
例3 若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．
思维启迪 方程的根也就是与方程对应的函数零点，判断方程的根是否存在，可以通过构造相应的函数，将其转化为函数零点的存在性问题求解，也可直接通过分离参数，转化为函数的值域问题求解．
解 方法一 （换元法）
设t＝2x（t>0），则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，（*）
原方程有实根，即方程（*）有正根．
令f（t）＝t2＋at＋a＋1.
①若方程（*）有两个正实根t1，t2，
则解得－1②若方程（*）有一个正实根和一个负实根（负实根，不合题意，舍去），则f（0）＝a＋1<0，解得a<－1；
③当a＝－1时，t＝1，x＝0符合题意．
综上，a的取值范围是（－∞，2－2]．
方法二 （分离变量法）
由方程，解得a＝－，设t＝2x（t>0），
则a＝－＝－
＝2－，其中t＋1>1，
由基本不等式，得（t＋1）＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，故a≤2－2.
思维升华 对于“a＝f（x）有解”型问题，可以通过求函数y＝f（x）的值域来解决．
已知定义在R上的函数y＝f（x）满足f（x＋2）＝f（x），当－1A．（1,5）B．（0，）∪[5，＋∞）
C．（0，]∪[5，＋∞）D．[，1]∪（1,5]
答案 B
解析 依题意知函数f（x）的周期为2，在坐标平面内画出函数y＝f（x）与函数y＝loga|x|的图象，如图所示，结合图象，可知要使函数g（x）＝f（x）－loga|x|至少有5个零点，则有0函数与方程思想的应用
典例：
（12分）已知函数f（x）＝－x2＋2ex＋m－1，g（x）＝x＋（x>0）．
（1）若y＝g（x）－m有零点，求m的取值范围；
（2）确定m的取值范围，使得g（x）－f（x）＝0有两个相异实根．
思维启迪
（1）y＝g（x）－m有零点即y＝g（x）与y＝m的图象有交点，所以可以结合图象求解；
（2）g（x）－f（x）＝0有两个相异实根⇔y＝f（x）与y＝g（x）的图象有两个不同交点，所以可利用它们的图象求解．
规范解答
解
（1）方法一 ∵g（x）＝x＋≥2＝2e，
等号成立的条件是x＝e，
故g（x）的值域是[2e，＋∞），[3分]
因而只需m≥2
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