七年级下册数学专题复习11相交线与平行线重难点题型.docx

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七年级下册数学专题复习11相交线与平行线重难点题型

专题1.1相交线与平行线重难点题型

【考点1点到直线的距离】

【方法点拨】从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

【例1】（2019春•厦门期末）如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法错误的是（　　）

A．点A到直线BC的距离为线段AB的长度

B．点A到直线CD的距离为线段AD的长度

C．点B到直线AC的距离为线段BC的长度

D．点C到直线AB的距离为线段CD的长度

【变式1-1】（2019春•雨花区期末）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则下面的结论中正确的是（　　）

①BC与AC互相垂直；②AC与CD互相垂直；③点A到BC的垂线段是线段BC；④点C到AB的垂线段是线段CD；⑤线段BC是点B到AC的距离；⑥线段AC的长度是点A到BC的距离．

A．①④③⑥B．①④⑥C．②③D．①④

【变式1-2】（2019春•娄星区期末）如图所示，点A到BC所在的直线的距离是指图中线段（　　）的长度．

A．ACB．AFC．BDD．CE

【变式1-3】（2019春•天河区校级月考）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，下列结论中，正确的结论有（　　）

①线段CD的长度是C点到AB的距离；②线段AC是A点到BC的距离；

③AB＞AC＞CD；④线段BC是B到AC的距离；⑤CD＜BC＜AB．

A．2个B．3个C．4个D．5个

【考点2相交线的交点问题】

【方法点拨】3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n﹣1）＝

n（n﹣1）个交点．

【例2】（2019秋•旌阳区校级月考）在同一平面内的n条直线两两相交，最多共有36个交点，则n＝（　　）

A．7B．8C．9D．10

【变式2-1】（2019秋•鄄城县期末）两条直线最多有一个交点，三条直线最多有三个交点，四条直线最多有6个交点，……，那么7条直线最多（　　）

A．28个交点B．24个交点C．21个交点D．15个交点

【变式2-2】（2019春•沙坪坝区校级月考）同一平面内两两相交的四条直线，最多有m个交点，最少有n个交点，那么mn是（　　）

A．1B．6C．8D．4

【变式2-3】（2019秋•江阴市校级月考）观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字，如图所示：

两条直线相交，最多有一个交点；三条直线相交，最多有三个交点；四条直线相交，最多有6个交点，像这样，11条直线相交，最多交点的个数是（　　）

A．40个B．50个C．55个D．66个

【考点3同位角、内错角、同旁内角的判断】

【方法点拨】直线AB，CD被第三条直线EF所截。

这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：

*同位角：

没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；

*内错角：

没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；

*同旁内角：

没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；

【例3】（2019春•巴州区校级期中）如图，下列说法中错误的是（　　）

A．∠3和∠5是同位角B．∠4和∠5是同旁内角

C．∠2和∠4是对顶角D．∠2和∠5是内错角

【变式3-1】（2019春•西湖区校级月考）同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．下面三幅图依次表示（　　）

A．同位角、同旁内角、内错角

B．同位角、内错角、同旁内角

C．同位角、对顶角、同旁内角

D．同位角、内错角、对顶角

【变式3-2】（2019春•闵行区期中）如图，同位角共有（　　）对．

A．6B．5C．8D．7

【变式3-3】（2019春•九龙坡区校级期中）如图，下列结论正确的是（　　）

A．∠4和∠5是同旁内角B．∠3和∠2是对顶角

C．∠3和∠5是内错角D．∠1和∠5是同位角

【考点4平行线公理及其推论】

【方法点拨】平行线公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。

【例4】（2018春•城关区校级月考）下列说法中，正确的是（　　）

A．两条不相交的直线叫平行线

B．一条直线的平行线有且只有一条

C．若直线a∥b，a∥c，则b∥c

D．两条直线不相交就平行

【变式4-1】（2019春•张店区期末）已知在同一平面内，有三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则直线a与直线c之间的位置关系是（　　）

A．相交B．平行C．垂直D．平行或相交

【变式4-2】（2019春•龙泉驿区期中）下列说法正确的是（　　）

A．a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a∥c

B．a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥c

C．a，b，c是直线，且a∥b，b⊥c，则a∥c

D．a，b，c是直线，且a∥b，b∥c，则a⊥c

【变式4-3】（2019春•邱县期末）下列语句：

①不相交的两条直线叫平行线

②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

相交和平行

③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行

④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行

⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行

正确的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

【考点5利用平行线的性质求角】

【方法点拨】两条直线平行则同位角、内错角相等，同旁内角互补.

【例5】（2019春•涧西区校级月考）如图所示，将含有30°角的三角板（∠A＝30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1＝38°，则∠2的度数（　　）

A．28°B．22°C．32°D．38°

【变式5-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝32°，则∠2的度数为（　　）

A．68°B．58°C．48°D．32°

【变式5-2】（2018秋•襄汾县期末）如图，某江段江水流向经过B、C、D三点拐弯后与原来方向相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，则∠CDE的度数为（　　）

A．20°B．25°C．35°D．50°

【变式5-3】（2018秋•方城县期末）将AD与BC两边平行的纸条ABCD按如图所示折叠，则∠1的度数为（　　）

A．72°B．45°C．56°D．60°

【考点6平行线的判定】

【方法点拨】两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：

平行线判定定理1：

同位角相等，两直线平行

平行线判定定理2：

内错角相等，两直线平行

平行线判定定理3：

同旁内角互补，两直线平行

平行线判定定理4：

两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行

【例6】（2019春•西湖区校级月考）如图，下列条件：

①∠1＝∠2；②∠4＝∠5；③∠2+∠5＝180°；④∠1＝∠3；⑤∠6＝∠1+∠2；其中能判断直线l1∥l2的有（　　）

A．②③④B．②③⑤C．②④⑤D．②④

【变式6-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：

（1）∠3＝∠4；

（2）∠1＝∠2；

（3）∠A＝∠DCE；

（4）∠D+∠ABD＝180°．能判断AB∥CD的有（　　）个．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式6-2】（2019春•南关区校级月考）如图，下列条件，其中能判定AB∥CD的有（　　）

①∠1＝∠2；

②∠BAD＝∠BCD；

③∠ABC＝∠ADC，∠3＝∠4；

④∠BAD+∠ABC＝180°．

A．3个B．2个C．1个D．0个

【变式6-3】（2019春•吴江区期中）以下四种沿AB折叠的方法中，由相应条件不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（　　）

A．展开后测得∠1＝∠2

B．展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4

C．测得∠1＝∠2

D．测得∠1＝∠2

【考点7垂线段在生活中的应用】

【方法点拨】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

【例7】（2019秋•泰兴市期末）如图，在直线MN的异侧有A、B两点，按要求画图取点，并注明画图取点的依据．

（1）在直线MN上取一点C，使线段AC最短．依据是　　．

（2）在直线MN上取一点D，使线段AD+BD最短．依据是　　．

【变式7-1】（2019秋•北仑区期末）如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．

（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；

（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．

【变式7-2】（2019春•召陵区期中）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．

（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；

（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；

（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．

【变式7-3】（2019秋•延庆县期末）如图，点P，点Q分别代表两个村庄，直线l代表两个村庄中间的一条公路．根据居民出行的需要，计划在公路l上的某处设置一个公交站．

（1）若考虑到村庄P居住的老年人较多，计划建一个离村庄P最近的车站，请在公路l上画出车站的位置（用点M表示），依据是　　；

（2）若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄P和村庄Q的距离之和最小，请在公路l上画出车站的位置（用点N表示），依据是　　．

【考点8利用平行线的判定及性质证明平行】

【例8】（2019秋•涡阳县期中）已知：

如图，∠1+∠2＝180°，∠A＝∠D．求证：

AB∥CD．（在每步证明过程后面注明理由）

【变式8-1】（2019春•江城区期中）如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠1＝∠2，AB与DG平行吗？

为什么？

【变式8-2】（2019春•怀宁县期末）如图，已知点A．D，B在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠E，试判断DE、BC有怎样的位置关系，并说明理由．

【变式8-3】（2019春•明光市期末）如图：

已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，请问AB与DE是否平行，并说明理由．

【考点9利用平行线的判定及性质证明角相等】

【例9】如图，已知BD⊥AC，EF⊥AC，点D，F是垂足，∠1＝∠2，求证：

∠ADG＝∠C．

【变式9-1】（2019春•彭泽县期中）如图，已知：

∠ABE+∠DEB＝180°，∠1＝∠2，则∠F与∠G的大小关系如何？

请说明理由

【变式9-2】（2019春•惠阳区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD．

（1）求证：

CE∥GF；

（2）试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；

（3）若∠D＝30°，求∠AED的度数．

【变式9-3】（2019春•北流市期末）如图，∠1＝∠C，∠2+∠D＝90°，BE⊥FD于G，证明∠B＝∠C．

【考点10平行线中构造平行线】

【例10】（2019春•普宁市期中）已知AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP、CP．

（1）探究：

如图

（1）∠PAB＝145°，∠PCD＝135°，则∠APC的度数是　　；

如图

（2）∠PAB＝45°，∠PCD＝60°，则∠APC的度数是　　．

（2）在图2中试探究∠APC，∠PAB，∠PCD之间的数量关系，并说明理由．

（3）拓展探究：

当点P在直线AB，CD外，如图（3）、（4）所示的位置时，请分别直接写出∠APC，∠PAB，∠PCD之间的数量关系．

【变式10-1】（2019春•桂平市期末）

（1）如图①，∠CEF＝90°，点B在射线EF上，AB∥CD，若∠ABE＝130°，求∠C的度数；

（2）如图②，把“∠CEF＝90°”改为“∠CEF＝120°”，点B在射线EF上，AB∥CD．猜想∠ABE与∠C的数量关系，并说明理由．

【变式10-2】（2019春•金水区校级期中）在综合与实践课上，老师计同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．

（1）如图

（1），若三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；

（2）如图

（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系；

（3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若∠AEG＝α，∠CFG＝β，则∠AEG与∠CFG的数量关系是什么？

用含α，β的式子表示（不写理由）．

【变式10-3】（2019春•费县期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；

（1）若∠E＝60°，则∠F＝　　；

（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？

说明理由；

（3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．

【考点11平移变换的运用】

【例11】（2019春•西湖区校级月考）如图，将周长为12cm的△ABC沿边BC向右平移3cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（　　）

A．17cmB．18cmC．19cmD．20cm

【变式11-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点B到点C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DH＝4，BC＝15，平移距离为6，则阴影部分的面积（　　）

A．40B．42C．45D．48

【变式11-2】（2019春•西湖区校级月考）如图，两个形状、大小完全相同的三角形ABC和三角形DEF重叠在一起，固定三角形ABC不动，将三角形DEF向右平移，当点E和点C重合时，停止移动，设DC交AC于G．给出下列结论：

①四边形ABEG的面积与CGDF的面积相等；

②AD∥EC，且AD＝EC，

则（　　）

A．①，②都正确B．①正确，②错误

C．①，②都错误D．①错误，②正确

【变式11-3】（2019•邢台二模）如图，有两条长分别为a、b的铁丝，其中长为a的铁丝恰好围成一个大正方形；AB是大正方形的对角线，把AB分成n条相等的线段，再以每条线段作为小正方形的对角线，长为b的铁丝恰好能围成n个这样的小正方形；若均不考虑接口情况，则a、b的大小关系是（　　）

A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≥b

【考点12利用平移变换作图】

【例12】（2019春•西湖区校级月考）作图题．

（1）过点M作直线AC的平行线；

（2）将三角形ABC平移，使得点B与点B′重合．

【变式12-1】（2019春•西湖区校级月考）如图，正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都是格点），将△ABC向左平移5个单位得到△DEF．

（1）在正方形网格中，作出△DEF；

（2）设网格小正方形的边长为1，求平移过程中线段AC所扫过的图形面积．

【变式12-2】（2019春•西湖区校级月考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．

（1）把△ABC进行平移，得到△A′B′C′，使点A与A′对应，请在网格中画出△A′B′C′；

（2）线段AA′与线段CC′的关系是　平行且相等　．

【变式12-3】（2019春•西湖区校级月考）画图：

如图1，三角形ABC可通过平移得到三角形DEF，此时点A落在点D．

（1）请描述三角形ABC经过两次平移后得到三角形DEF的过程．

（2）平移三角形ABC使点B落在点D，在图2中作出平移后的三角形．