北师大版八年级上册探索勾股定理教案.docx

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北师大版八年级上册探索勾股定理教案

说课教案

课题：

1.1勾股定理

教材：

义务教育数学课程标准实验教科书——八年级上册（北京师范大学出版社）

第一章勾股定理

第一节探索勾股定理

授课教师：

辽宁省营口市实验中学刘丽辉

1、教学目标：

（1）知识与技能：

掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

（2）过程与方法：

经历探索勾股定理的过程，体验数学学习探究的方法。

经历观察、归纳、猜想、概括等数学学习活动过程，发展合情推理能力，体会数形结合思想。

（3）情感态度与价值观：

进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识；通过追溯勾股定理的历史，增强学生的爱国情感。

2、教学重点：

重点：

勾股定理的发现及其简单应用

难点：

勾股定理的发现

3、教学方法与教学手段

本课运用“探究式”“启发式”“开放式”的教学方法，运用多媒体等手段充分调动学生参与课堂学习的积极性，鼓励学生积极思考并实现合作学习。

4、教学过程：

创设情境，引发思考――自主探索，合作交流――追溯历史，激发情感――应用拓展，能力提升――回顾反思，提炼升华――布置作业，课堂延伸

（一）、创设情境，引发思考

探究活动1

故事引入：

相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。

在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来。

原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。

主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。

原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系。

（黑白相间的地砖）

教师与学生行为：

教师给出一个历史小故事，设置悬念，引发学生思考。

教学效果预估与对策：

学生对故事中的问题很感兴趣，能够激发学生的探究欲望。

设计意图：

由毕达哥拉斯在朋友家做客的偶然发现入手，引入本节课的课题――勾股定理，学生接受起来更自然，贴切。

（二）、自主探索，合作交流

探究活动1

问题1：

你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系？

问题2：

下图中的各组图形面积之间都有上述的结果吗？

问题3：

你能用等腰直角三角形的边长表示正方形的面积吗？

由此猜想等腰直角三角形三边有怎样的关系？

教师与学生行为：

对于问题

（2）、（3）教师给学生足够的思考时间，然后让学生交流合作，得出结论。

问题（3）可让学生在自己准备好的小方格上画出，并计算A、B、C三个正方形的面积，用字母表示三个正方形面积之间的数量关系，进而发现了等腰直角三角形三边的特殊关系。

并在小组内交流，教师适当引导，深入学生当中，倾听他们的想法。

教学效果预估与对策：

对等腰直角三角形三边性质的探索，学生们探究欲望会很强烈，小组交流想法也会达成共识，对于验证三个正方形面积之间的关系，在方法上会各有千秋。

教师同时辅之多媒体的动态演示，使教学效果更直观，利于学生接受，顺利突破难点。

设计意图：

通过设计问题串，让探索过程由浅入深，循序渐进。

经历观察、猜想、归纳这一数学学习过程，符合学生认知规律。

探索面积证法的多样性，体现数学解决问题的灵活性，发展学生的合情推理能力。

探究活动2：

做一做：

问题1：

请分别计算出图中正方形A、B、C的面积，看看能得出什么结论？

问题2：

如果用a,b,c分别表示三个正方形的边长，三者之间的面积关系如何表示？

由三个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样的关系？

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

教师与学生行为：

教师观察学生活动，指导与合作，让学生充分发表自己的见解，暴露他们的思维过程。

计算正方形C的面积不易求出，教师及时点拨，同时借助多媒体动态演示。

教学效果预估与对策：

根据探索等腰直角三角形三边关系过程，学生在对探讨一般直角三角形三边性质有了一定基础。

计算正方形C的面积利用分割法和把它看做边长是整数的大正方形面积的一半很容易想到，但拼凑法会有一定困难，教师利用多媒体动态演示，从而化难为易，得出直角边为整数的直角三角形三边的特殊关系。

设计意图：

此环节设计让学生动手画一画，算一算，充分利用计算面积的不同方法，进一步体会数形结合思想，让学生经历从特殊到一般的过程，体会事物由特殊到一般的变化规律,发展学生的合情推理能力。

探究活动3：

画一画：

在网格纸上画出直角边长分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度的直角三角形，上面所猜想的数量关系还成立吗？

说说你的理由。

（图形）

教师与学生行为：

学生动手在网格纸上画直角三角形，测量斜边的长度，进行计算，教师及时点拨。

教学效果预估与对策：

由于直角边长不是整数，计算起来难度大。

测量斜边长度，由于存在误差，预计学生会出现思维障碍，此时教师及时点拨，借助多媒体进行动态演示，突破难点。

进一步借助几何画板演示直角边为任意长的直角三角形三边关系，得出一般直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，从而发现了勾股定理。

勾股定理：

如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么a2+b2=c2

设计意图：

通过上述两种探究活动，学生已初步探究出直角边为整数的直角三角形三边关系。

设计让学生动手画直角边是小数的情形，将探究活动进一步深化，从而扩展到更一般的情况。

使学生体会数学探究由特殊到一般，再到更一般的过程。

探究活动4：

议一议：

观察并计算，判断锐角三角形，钝角三角形三边的长度是否满足a2+b2=c2

教师与学生行为：

学生观察计算，教师多媒体动态演示。

教学效果预估与对策：

此环节在探究1、2的基础上，预计学生能大多数独立解决，从而进一步验证了有且只有直角三角形才满足a2+b2=c2。

设计意图：

经历从特殊到一般的探索过程，学生以初步认识到直角三角形的特有性质，但学生已有的认知基础会不断地向学生提示锐角、钝角三角形是否也具有这样的性质？

此环节的设计符合学生的认知特点，通过与锐角三角形、钝角三角形的对比，进一步强调直角三角形三边关系的特征。

（三）、追溯历史，激发情感

介绍勾股定理的历史，列举了东西文化中对勾股定理的发现，介绍了一些著名的人物、著作和学派。

如商高、《周髀算经》、毕达哥拉斯……这些知识足以激发他们的兴趣，让学生更深刻的体会勾股定理所蕴涵的文化价值。

商高《周髀算经》毕达哥拉斯

教师与学生行为：

老师介绍有关勾股定理的历史，学生认真对比中西方文化，增强对勾股定理的进一步了解。

教学效果预估与对策：

教师利用多媒体辅助演示，使知识更系统。

设计意图：

介绍有关勾股定理的历史，使学生对中国乃至世界的数学史产生浓厚的兴趣，为下一节的验证打好基础。

（四）、应用拓展，能力提升

例1：

在Rt△ABC中，∠C=Rt∠

（1）已知：

a=6,b=8，求c

（2）已知：

b=5，c=13，求a

练习1：

在Rt△ABC中，

（1）已知：

∠A=30°，a=2，求b,c;

（2）已知：

∠A=45°，c=2，求a,b。

练习2：

错例辨析

（1）△ABC的两边为3和4，求第三边

解：

由于三角形的两边为3和4，所以它的第三边c为5。

（2）若已知△ABC为直角三角形，则第三边为5

例2：

有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

解：

设水深为X尺，则芦苇长为（X＋1）尺，由勾股定理得

（X＋1）2＝X2＋（

）2

解得　X＝12

∴X＋1＝13

答：

水池的深度为12尺，芦苇长为13尺。

教师与学生行为：

教师出示问题，学生解决问题。

对于个别有困惑的同学，教师及时点拨。

教学效果预估与对策：

对于例1学生很容易独立完成。

练习1学生有可能考虑不到直角的两种情况，思维定势在∠C就是直角。

练习2的完成学生间相互讨论，能够明晰。

例2由师生共同分析完成。

设计意图：

设计了一个层层深入的问题串，引导学生由浅入深地思考问题，悟出一类问题的解题规律。

另外，由于学生对知识的理解程度有所差异，因此，习题的设置体现层次性。

在新知运用过程中，也设计小组合作交流，鼓励学生主动参与学习活动，尝试用自己的方式去解决问题，发表自己的看法。

（五）、回顾反思，提炼升华

小结：

通过本节课的学习，你有哪些收获与感悟！

教师与学生行为：

教师引导学生从知识、过程、方法、情感态度等方面发表看法，学生积极进行自我总结，相互补充，巩固探究成果。

故事引入——探索勾股定理————

——直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方——定理的应用与拓展

教学效果预估与对策：

预计学生总结的是本课知识方面的收获与探索过程中的经验和教训，以及在与他人合作中得到的快乐。

教师要加以引导，师生之间相互加以完善。

设计意图：

学生通过对本节知识的提炼，归纳出有关知识与技能方面的一般结论以及在做数学活动中所遇到的困惑，感悟到古代数学家在探索新知的领域中所付出的艰辛，做学问有乐趣亦有苦趣，培养学生良好的个性和思维品质。

（六）、布置作业，课堂延伸

（A）继续强化勾股定理的计算与应用P7_3

（B）进一步加深对“勾股定理”的理解P7_4

教师与学生行为：

教师布置作业，学生记录作业。

教学效果预估与对策：

预计90﹪以上的同学可以独立完成A层作业，B层作业具有一定的开放性，多数同学对此会很感兴趣。

设计意图：

作业布置上尽量体现层次性及开放性，面向全体。

让学生进一步体会勾股定理在解决直角三角形边的计算方面的重要作用，提高学生分析问题、解决问题的能力，感受勾股定理的现实意义。

说课设计说明

勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理之一，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征。

它有着悠久的历史，在数学发展史上起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。

让学生了解、掌握这条定理，我设计的出发点是始终体现“以学生为本”的教育理念，试图让学生经历观察、归纳、猜想、验证的数学发现过程，发展学生的合情推理能力，体验数学家们探求新知的乐趣。

在此过程中，探索定理采用面积法，引导学生利用实验由特殊到一般再到更一般的规律，对直角三角形三边关系加以探究，让学生感悟到代数运算与几何图形之间的紧密联系，进一步体会数形结合思想。

《数学课程标准》提出，“数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。

”根据课标，本节课师生互动、生生互动成为主旋律。

学生在动脑、动口、动手的过程中，获取了知识，掌握了方法、提高了能力，积累了经验。

根据学生的认知结构和心理特征，本节课采用引导探索法，遵循由浅入深，循序渐进的原则，由特殊到一般提出问题、探究问题、解决问题。

采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，使学生真正成为学习的主体。