主题互动110.docx

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主题互动110

主题互动之一--关于回顾与思考

主题互动之二-----关于课题学习

主题互动之三-----关于概率

主题互动之四---------关于问题情境

主题互动之五--------关于大数

主题互动之六-----关于数及其运算

主题互动之七------关于符号感

主题互动之八------关于方程学习的重点

主题互动之九-关于统计与概率的教学目标

主题互动之十---关于证明的要求和思考

主题互动之一

-------关于回顾与思考

   1．设立“回顾与思考”的意图何在？

   帮助学生梳理本章所学知识,建立一定的知识体系；整理本章重要的思想方法，揭示一些需要注意的问题，提高学生的问题解决能力；了解学生的学习状况，以适时地调整教学。

   2．回顾与思考的教学应采用何种形式？

   回顾与思考的教学形式是多样的，教学中可以根据学生的特点和内容特征灵活选用，不宜千篇一律地使用同一种教学形式。

如，可以像教科书设计的那样，以问题的形式帮助学生梳理知识体系。

教学时可以首先鼓励学生独立思考，自己回顾所学的内容，并尝试回答教科书中提出的问题；然后开展小组交流和全班交流，使学生在反思与交流的过程中逐渐建立知识体系。

课后，教师可以要求学生独立完成一份小结，用自己的语言梳理本章内容，并回顾自己在本章学习中的收获、困难和需要改进的地方。

当然，一般而言，知识梳理离不开具体的例习题的巩固。

因此，可以边梳理知识体系边进行有关的练习、讲评等活动，达到及时巩固之效；也可以先梳理后进行有关练习、讲评活动；还可以先提供一些层次渐进的练习，在练习的讲评活动中梳理知识体系。

   3．如何让小组合作走进复习课堂？

   新课程关注学生学习方式的转变，倡导“自主探究合作交流”的学习方式，那么如何有效地将小组合作引入复习课呢？

这是一个值得我们探索、研究的问题，下面这篇文章也许可以给我们一些启示。

让学生在探究、合作与交流中进行数学复习

——一节二元一次方程组复习课

   “自主探究、合作交流”是新课程所倡导的学习方式。

那么，数学复习课怎样运用这一学习方式，其效果如何呢？

我带着这个问题，于2005年进行了一次复习课的教学研究活动（授课教师：

），取得了很好的教学效果。

下面是该节课的实录和点评，供大家共同研究。

   师：

同学们，今天一起复习研究二元一次方程组及其解法这一章的内容。

昨天我已经请大家把二元一次方程组这部分知识进行了归类、整理。

现在请一位同学展示一下自己的知识归类整理的情况，哪一位先来？

   评：

这里教师是要求学生展示自己的成果，而不是要求学生回答教师提出的问题，把学生真正作为学习的主体来对待，充分发挥了学生的主体作用。

   生1（白凤友）：

我是按教材的编写顺序整理的（展示台展示）（略）。

   生2（邹巧）：

我是从二元一次方程的整体结构进行整理的，我分为四部分：

（3）二元一次方程组与一次函数之间的关系:

一个二元一次方程的图象是一条直线。

因此，二元一次方程组解的情况就可由平面上方程组对应的两条直线的位置关系确定。

两条直线平行时方程组无解；两条直线相交时方程组有一个解；两条直线重合时，方程组有无穷多组解。

反过来也成立。

   （4）二元一次方程组的应用：

①求待定字母的值（例：

略）；②解应用问题（例：

略）等。

   师：

两位同学从不同的角度对本章知识进行了归类整理，都很不错。

但比较而言，你们更喜欢哪位同学的？

   生众：

邹巧同学（生2）！

   师：

第一位同学是按教材的顺序进行整理，这对于初学整理的同学也是一种常用的方法，但是第二位同学的整理把握住了这章知识的整体结构，她对每一种情况还举例给予了说明，理解得更加深刻。

两位同学都不错!

大家以后再进行整理总结时要向她们学习。

这里，我也对这一章的知识进行了归纳整理，现在大家可以看一看（多媒体展示，结果与同学的比较，还不如第二位同学的好）。

同学们可以看出，老师整理的还不如你们整理的好，同学们比老师还聪明。

其实只要大家勤于思考，多动脑、动手，一定会有重要的发现和收获的。

   评：

先由学生自己对该部分知识进行归纳总结，在课堂上展示后再通过师生的共同评价修正，从而帮助学生建立整体性的认知框架，完善认知结构；同时，学生的主动性和积极性得到了充分的发挥，比只由教师讲解学得主动、理解深刻。

   心理的安全和自由是学生创造性思维的必要条件。

教师以一个参与者的身份积极参与交流与评价，并勇于承认自己的不足，使学生感到教师对他们敞开了心怀，可亲可敬，从而使学生获得了一种心理的安全和自由，为学生大胆地探索、积极交流，营造了宽松的心理环境和民主、平等、和谐的课堂环境。

   师：

现在我们来看下面的一个例子：

   大家先尽量用多种解法自己求解，然后在学习小组内交流，比较哪种解法好，最后各组推出最好的解法在全班交流。

   评：

利用小组学习的形式，给每个学生提供更多合作交流的机会，使面向全体得到了真正的落实。

   （学生解题，小组内交流、讨论，教师巡视、指导）

   师：

我看大家都已得出了该题的解答，有些组的解法老师都没想到，现在请各组展示你们的优秀成果。

在展示时要求要与别人的解法不相同。

   生3（一组）：

我们是先用去分母把方程组化简整理后用加减消元法求得解答的。

   生4（三组）：

我们在化简整理后用的是代入消元法求得解答的。

   生5（四组）：

我们用的是换元法。

令x+y=m,x-y=n,然后求解。

师：

太棒了！

还有没有其他解法？

    （学生都积极进入思考）

   生7（三组）：

把原方程组化简后用图象法解。

   生8（四组）：

换元后用图象法解。

   评：

生8的发言显然是受到了生7的启发。

在相互交流、讨论过程中，学生的思想在碰撞，思维的灵感、创新的火花不断显现。

   师：

同学的发言很好，把老师想要讲的都说了。

现在大家对四个组得出的四种不同解法进行一个评价，看哪个组的解法最好。

   评：

把评价纳入学生的学习过程之中，用评价来激发学生的学习兴趣，从而使评价成为促进学生主动学习的一部分。

同时通过对几种不同解法优劣的比较和鉴别，可培养学生思维的批判性和养成解题后反思的良好习惯。

   生9（五组）：

我认为，一组和三组的解法很好，因为，这是解二元一次方程组的常用方法。

我们组也都是用的这两种解法。

   生10（六组）：

我认为，四组的解法更好。

虽然一组和三组的解法是常用的解法，但计算较繁。

四组的解法通过换元，使形式更简单了，便于计算，且不易出错。

   生11（一组）：

虽然换元后形式要简单一些，但要解两次方程组，增加了解方程组的次数，并不一定就简单！

   生6：

我认为，我们组的解法最简单、最好。

我们在解该题时，根据该题的特点，利用了换元的想法但没有换元，而是把

看成一个整体进行求解，整个解的过程基本上没有动笔就得出了答案，并且不易出错。

   生5：

我也认为二组的解法比我们组的好。

   生11:

我赞同生6的意见。

我还想说一点。

本题除了最好的解法以外，我认为，本题用图象法解是最不好的解法。

因为，当你画好图象时，我已经解出答案了。

用图象法解，不但费时，而且由于画的图象不准确，得出的解还只是一个近似解而不是准确值。

   评：

教师原先的设计只是想通过比较评出最优秀的解法，而学生不但评出了最优解法，而且对每种解法的优劣还进行了相互比较评价，完全超出了教师的设想。

实际上学生的评价才是全面、公正和最有价值的。

在许多时候，学生的智慧往往要超过教师！

   师：

同学们分析得很好。

通过比较、分析，大家是否都认为第二组的解法最好？

   生众：

第二组的解法最好！

   师：

我赞同大家的意见。

其实，各组的解法有各自的特点，他们分别是从不同的角度进行的。

第二组同学的解法是在认真审题、仔细观察题目特征的基础上，运用了两种数学思想方法从而快速、准确地得出了问题的解答。

这两种数学思想方法是“换元的思想”和“整体的思想”。

第二组同学的解答给我们一个很好的启示：

在解题时，一定要认真审题，仔细观察题目的特征，灵活选用解题的方法，并恰当地运用数学思想方法来指导解题，可提高我们的解题效率。

若长期这样进行下去，可形成良好的数学思维策略，提高解题能力。

   评：

数学思想方法是数学的精髓和灵魂，是数学知识在更高层次上的抽象和概括。

利用数学思想方法来指导数学学习和解题，往往能提高学生的数学学习效率，达到事半功倍的效果。

但数学思想方法不是游离于数学知识之外的，而是渗透在数学知识的发生、发展和运用的过程之中的。

这就要求教师要有目的地及时总结提炼，将数学思想方法的学习有机地融入学生的数学学习过程之中。

这里，教师把自己置于一个参与者的身份，参与学生的讨论，并将学生讨论中出现的数学思想方法及时地进行总结提炼，使学生认识到数学思想方法在数学学习中的重要价值和作用，从而将数学思想方法的学习有机地渗透其中，使整个讨论和学生的认识上升到一个新的高度。

师：

刚才方程组的解为

。

现在我们反过来思考：

解为

的方程组，除例1外还有哪些？

你们能否自己编一道用到例1的方程组来解的数学问题？

看谁编的问题新颖、独特，形式多样。

   评：

教师是学生学习活动的组织者和引导者，此处教师从反面提出问题，引导学生再次投入到新的探索活动中去。

   （学生积极地思考、探究；教师在班级巡回指导，时而作为顾问回答学生提出的问题，时而给予学生必要的指导，时而参与学生的讨论、交流。

）

   生12：

何老师，我认为解为

的方程组除例1外还有:

    师：

是否只有这两个方程组？

    生12：

不是，还有很多个？

    生13：

已知

    .

    师：

她是利用非负数的性质以填空题的形式编制的习题，很好！

（把题写在黑板上）还有其它形式的吗？

    生14：

有！

我编了一道求值题：

    已知：

   师：

好！

这位同学是把同类项的概念与解方程组融为一体编制的，很有新意（把题写在黑板上）。

   生15：

我编制了一道选择题：

下列方程组中，解为

的方程组是（  ）

   的解都为 

。

如果有，请求出的m、n值，如果没有请说明理由。

师：

他出的是一道探索性问题，很有创意。

（掌声）这种题型是近几年中考试题中经常遇到的，它对考察同学们的探究能力十分有利，因此，大家要注意这种题型的解法和作用。

（把题写在黑板上）

  以上大家都是着眼于解为

而编制的习题，有谁编制的习题需要用例1的方程组来求解的？

请上黑板板书、讲解。

   生6：

有！

我编了一道文字题。

（上黑板板书习题）

   有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字和的一半加上十位上的数字与个位上的数字差的1/3等于7；它十位上的数字与个位上的数字和的一半减去十位上的数字与个位上的数字差的1/2等于3。

求这个两位数。

   如果分别设十位上的数字为x，个位上的数字为y，得到的方程组就是例1的方程组。

所以，这个两位数是82。

   生17：

我编了一道应用题（上黑板板书习题）:

   一个笼子里有一些鸡和鸭。

已知鸡的总数和鸭的总数的和的

与鸡的总数和鸭的总数的差的

相差3只；鸡的总数和鸭的总数的和的

与鸡的总数和鸭的总数的差的

一共刚好7只，问：

这个笼子里的鸡和鸭各有多少只？

   生18：

我所编的题不是利用例1的方程组来解，但仍然是用二元一次方程组来解的。

（上黑板板书习题）:

   有一个运输队承包了一家公司运送货物的业务。

第一次运送18吨，派了一辆大卡车和5辆小卡车；第二次运送30吨，派了一辆大卡车和11辆小卡车，并且两次所派的车都刚好装满。

问：

两种车型的载重量各是多少？

   师：

这位同学没有局限于我们提出的问题，而是作了进一步的拓展。

思路开阔，并且所编的问题，语言表述清楚，思维严谨，很不错！

（掌声）

   生：

何老师，我还有！

我还有！

……

   这时，下课铃响了，教师及时地作了总结。

许多学生为自己的成果没有得到展示而懊悔不已。

   师：

同学们今天思路开阔，思维活跃，充分发挥和展示了你们的聪明才智。

你们编制的许多问题，老师课前都没有想到，很了不起！

我今后还要向同学们学习（评：

几句简短的激励性评价语言，把教师置于与学生同等的位置，拉近了师生之间的距离，增进了师生情感；同时，又增强了学生的成就动机，激发了学生学习和探究数学的兴趣与积极性）。

由于时间关系，有许多同学的成果还没有得到展示，因此，今天的作业就是每个同学自己编五道形式不同而要用到二元一次方程组来解的习题，编好后写出它的解答过程，看谁编的好。

同时总结这一章的主要题型和解题规律、自己在学习这一章时的心得体会或者自己的新发现。

   评：

这里教师的作业布置，不是随便点几道习题让学生做，而是让学生自己编题、解答和总结，在反思总结中，提高学生的学习效率，促进良好的数学学习习惯和方法的养成。

这节课，深深地触动了所有与会教师。

课后，我和何老师进行了交流，他说：

“这节课完全出于我的想象之外。

我原先设计为主要通过教师的讲解和各种题型的练习来复习巩固这一章的知识与技能。

上次我听了你的建议后，提出了今天的设计方案。

说实话，我当时心中没有底。

特别是各种不同题型的编制，我认为学生不可能编得那么全面、深入。

而课堂上学生的表现简直让我惊讶。

想不到学生的思维那么活跃，能力那么强。

他们所编的习题类型不但覆盖了我设计的类型，而且有些还超出了我的思考。

学生真是太聪明了！

”

   随后，我又组织学生进行了座谈。

学生的反映更是热烈。

且听听他们的心声：

“以前的复习课，全由老师讲，我们很多同学听一会儿就分散精力，有一些学生根本就没有听。

课后作业许多同学没有认真地独立完成，有一些还抄别人的，一章复习完后许多知识没有真正弄清楚，迷迷糊糊的。

”“今天的课，课前老师让我们自己先对这一章进行整理，而且说课堂上要展示，大家都认真地进行了复习整理。

除了自己看书上的内容外，我们还翻阅了一些参考资料，与同学进行了讨论。

这样老师还没有上课，我们对这一章的知识及相互之间的关系就基本上复习和了解了。

课堂上再通过展示大家的整理和教师的讲解，使我们既看到了到自己的不足，又学习到了别人的方法，进一步加深了对这一章知识的理解与掌握，印象十分深刻。

特别是让我们自己编题，大家积极性都很高，都在认真地进行。

”“当听（看）到别人编得很有新意时，也启发了自己的思路，产生了一些新的想法。

”“以前老师布置的各种不同类型的习题，我们只是为了完成作业，从没有认真去想一想它们之间有何联系和规律。

今天通过我们自己编制并展示了各种不同的类型，使我们看到了这些不同类型习题的解题规律和相互之间的联系，我们觉得这些题简单多了。

”“老师，今后的课都应该这样上，让我们先自己去做一做，再交流，通过交流，可以互相启发，这样我们收获要大得多。

”

   复习课如何体现新课程的教学理念，改变学生的学习方式，提高复习课的效率，是新课程试验中需要研究的课题。

在设计这节课时，我们在明确复习课的目的、任务的前提下，以培养学生能力、促进学生发展为指导思想，遵循复习课教学原则中的系统性原则和主体性原则，以学生的“学”为出发点，将“自主探究、合作交流”的学习方式贯穿于课的始终，并将评价与教师的教和学生的学有机地融为一体。

实践证明，复习课中，只要教师转变观念，设计合理，组织得当，恰当地运用评价的激励与促进作用，“自主探究、合作交流”的学习方式可以充分激发和调动学生学习的积极性和主动性，获得理想的复习效果。

   4．如何关注学生学习的主体性，是否可以将知识的梳理等工作交由学生自主完成？

   相信大家有很多好的做法，下面老师的一些做法与大家分享。

   在每一章教学后，老师要求学生对该章知识进行自主的梳理与总结，在《证明一》、《证明二》、《证明三》教学任务完成时，刘老师布置了如下课外作业：

（1）每人作初中几何证明的知识总结，内容覆盖《证明一》、《证明二》、《证明三》，并以PPT文件或Word文档的形式于1周内提交，根据作业情况记为平时成绩；1周后，随机抽取4名同学作课堂汇报并答辩，视汇报答辩情况对平时成绩加分或减分，其他同学对汇报提出质疑或作点评，并对平时成绩加分。

（2）你认为初中几何证明中对你最有挑战性的问题是什么问题，提出你的各种解决方案。

   （3）初中几何证明中你最喜欢的一个题目是什么？

你为什么会喜欢这个题目？

   （4）谈谈你学习初中几何证明的感悟与体会。

   且听听老师布置作业的意图：

（1）脉络分明的知识结构梳理，展现学生对知识与技能的把握,这有利于教师按照新课程标准的理念实施过程性评价，并及时掌握学生的认知状况，以便调整教学，促进学生进一步发展；学生在梳理知识体系的同时认知的最近发展区得以巩固；

（2）最喜欢的一个问题或题目，反馈学生的认知水平与情感态度，让教师获得学生在情感态度与价值观方面的发展评价；

   （3）最有挑战性的一个问题或题目折射出学生认知发展的前沿所在，帮助教师因材施教，进一步挖掘学生的发展潜力，激发创新思维；

   （4）学生学习的感悟与体会，构成对教师与教材的多元评价，学生学习的感悟与体会，字里行间反馈对教材的内容组织以及教师教学方法的建议与愿望，是教师改进教学、教材编者改编教材的一个重要参考依据。

我们可以从下面学生的作业中思考老师的意图是否达到。

初三

（1）班王珊珊同学提交的作业（文字未做修改）：

（1）初中几何证明知识结构

  知识梳理路线

   （注：

王珊珊同学上交的PPT文件中对上面知识网络图上每一个“结点”都进行了比较详细的拓展，如对于三角形，该生分别就一般三角形全等的判别、特殊三角形的判别与性质、三角形中特殊线（中线、高线、角平分线等）的性质等作了详细的梳理，限于篇幅，这里省略了其具体内容。

此外，王珊珊同学还对几何证明的一些方法进行了整理。

）

  特殊方法归纳

（2）最具挑战性的问题

   已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h，若点P在一边BC上（如图1）,此时h3＝0,可得结论:

h1+h2+h3=h。

   当点P在△ABC内（如图2），点P在△ABC外（如图3）这两种情况时上述结论是否还成立？

若成立，请给予证明，若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系给出猜想，无须证明。

   证明：

对于图2的情况，过P作BC的平行线（如图4），则由条件得PD+PE+PO=AG。

又AM∥OF，所以 GM=OF，所以PD+PE+PF=AM，即   h1+h2+h3=h。

   对于图3的情况，猜想：

h1+h2-h3=h

   本题是一道信息题，是要你通过给出的结论举一反三得到别的结论，这首先需要读懂题目，而让我很有体会的是这一题有多种解法，且我与答案的方法完全不一样，我通过上图添加辅助线的方法将看似不一样的图形转换成一样的图形，从而直接利用结论，而答案则是通过面积来求的，我个人认为，自己的方法更符合题目要求，因为我更直接的利用了题目中所给的条件，且方法较为简单。

这道题本身并不很难，但从中折射出中考又一种新题型确值得重视，而且在多种方法中选择最符合要求、简单的也十分重要，所以我认为它很具有挑战性，挑战我们，也是挑战一种全新的思维模式。

（3）最喜欢的题目

   如图，矩形ABCD中，AD＞AB，O为对角线的交点，过O作一直线分别交BC，AD于MN。

（1）求证：

梯形ABMN的面积等于梯形CDNM的面积。

（2）如图，当MN满足什么条件时，将矩形ABCD以MN为折痕，翻折后能使C点恰好与A点重合？

（无须证明）

   （3）在

（2）的条件下，若翻折后不重叠部分的面积与重叠部分的面积相等，求BM：

MC的值。

   解答：

（1）证明:

连接AC，则O为AC的中点．在矩形ABCD中，因为 AD∥BC，所以，∠NAO=∠MCO。

又∠AON=∠COM，OA=OC，所以△AON≌△COM（AAS），所以AN=CM。

又AD=BC,所以BM=DN.又AB=CD,所以

    S梯形ABMN=1/2（BM+AN）*AB=1/2（ND+MC）*CD

             =S梯形CDNM

（2）MN垂直平分AC。

   （3）证明:

由AF=CD,AB=CD,得 AB=AF.所以BM=DN,FN=DN，所以BM=FN。

    又 ∠AFN=∠CDN=90°，所以Rt△AFN≌Rt△ABM.，所以 S△AFN=S△ABM，又S△AMN=S△ABM+S△AFN=2S△ABM，所以 ½*AN*AB=2*½*BM*AB，所以 BM:

AN=1:

2，又 MC=AN，所以BM:

MC=1:

2

    此题综合考察了证明能力,运用的知识点有全等的判定,梯形面积的计算,等量间的代换,同时还有如何添加辅助线和空间观念,这是一道折纸题,所以我们要对翻折后不变,相等和成特殊关系的量十分清楚,对于重叠部分的关系也要有明确的概念,我十分欣赏这题对于空间观念的考察方式,这不仅可以锻炼我们的思维,而且也可以使我们灵活运用知识,不死背概念,而且本章主要与边角联系,而这道题不仅考察了对矩形性质的了解,而且是从面积入手,十分新颖,最后求的是比值关系。

总之,这题考察我们综合应用知识和空间想象能力,是一道将几何与实际联系起来的题目。

   （4）感悟与体会

   《证明一》是初中阶段第一次接触证明，此章从全面阐述证明的必要性开始，让我们体会到数学不仅需要直觉更需要严谨的道理论述，要判断一个命题是否正确光靠实验是不够的，还要有理论的基础。

从而我们的数学开始从实验数学向论证数学发展。

本章中主要学习了线段中平行的性质、判定和重要特殊图形中角之间的关系，线段的平行在特殊四边形中应用广泛，而角之间的关系则为证明（二、三）中三角形、四边形角与角之间的大小转换作铺垫。

而本章中体现的公理化方法也是一个很重要的数学思想，它不仅体现在数学领域，包括物理中的力学（阿基米德原理）、天文学甚至是美国独立宣言都深受欧式几何公理体系影响，包括我们生活中的种种标准和规定也运用了这一点，足见数学证明中的抽象方法在现实中的作用。

   《证明二》给我最大的感受是严谨,从中不仅可以学到许多定理,更重要的是学会一种证明的思路和研究路径。

（1）通过全等的引入得到等腰三角形的性质和判定,再在等腰三角形的基础上研究它的特殊情况-----等边三角形。

而直角三角形性质的证明，立即用将其补成一个等边三角形来作，在证明（三）出现的直角三角形性质和三角形中位线定理则被用于特殊四边形的证明，知识十分紧密。

（2）在研究三角形中本章主要研究了几种特殊三角形，从边与边，角与角，边与角，特殊线段与边角之间的关系入手，逐一找寻之间的联系，这样不仅不重不漏也便于我们记忆．

   《证明三》是对《证明一》、《证明二》内容的综合应用，主要从边、角、对角线来研究特殊的四边形，从中体现了归纳、类比和化归等数学思想，对各种四边形的性质进行比较总结出规律，在证明过程