九年级数学上册第21章一元二次方程教案共19套新人教版.docx
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九年级数学上册第21章一元二次方程教案共19套新人教版
九年级数学上册第21章一元二次方程教案（共19套新人教版）
第二十一章一元二次方程
1．1一元二次方程
※教学目标※
【知识与技能】
掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式.
理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根.
【过程与方法】
通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识于生活.
通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其他三种特殊形式.
经历观察，归纳一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念.
【情感态度】
通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
【教学重点】
一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念．
【教学难点】
通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．
※教学过程※
一、情境导入
雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2，设计者当初设计它的上部与下部的高度比，等于下部与全部的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为x，则其上部高为，由此可得到的等量关系如何？
它是关于x的方程吗？
如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗?
二、探索新知
由上述问题，我们可以得到，即.显然这个方程只含有一个未知数，且x的最高次数为2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.
探究问题1如图，有一块矩形铁皮，长100c，宽50c，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四角突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600c2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
教师设置如下问题学生讨论：
如果设四角折起的正方形的边长为xc，则制成的无盖方盒的底面长为多少？
宽为多少？
由底面积为36002可得到的方程又是怎样的？
讨论结果：
设切去的正方形的边长为xc，则盒底的长为c，
宽为c.根据方盒的底面积为36002，得=3600.整理，得.化简得.由次方程可以得出所切正方形的具体尺寸.
探究问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
教师提出以下问题，引导学生思考方程的建模过程：
这次比赛共安排多少场？
若设应邀请x个队参赛，则每个队与其他几个队各赛一场？
这样共应有多少场比赛？
由此可列出的方程是什么？
化简后的方程是什么？
讨论结果：
全部比赛的场数为.设应邀请x个队参赛，每个队要与其他个队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共场.列方程.整理，得.化简，得，即.
观察思考，口答下面的问题：
上面的方程整理后含有几个未知数？
按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
有等号吗？
或与以前多项式一样只有式子？
老师点评：
都只含一个未知数x；它们的最高次数都是2次的；都有等号，是方程．
归纳总结
像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
想一想
二次项系数a为什么不能为0？
在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a、b、c一定是正数吗？
探究问题3探究问题2中可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，由此可列下表：
x12345678910......
x2-x-56
由上表可得，当x=8时，，所以x=8是方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
学生思考
方程有一个根为x=8，它还有其他的根吗？
当x=-7时，，故x=-7也是方程的一个根.
归纳总结
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的根.一个一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为，．
三、掌握新知
例1求证：
关于x的方程，不论取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：
要证明不论取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明即可．
证明：
∵，
∴，即．
∴不论取何值，该方程都是一元二次方程．
例2将方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
分析：
一元二次方程的一般形式是．因此，方程必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：
去括号，得．
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式．
其中二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10．
四、巩固练习
在下列方程中，一元二次方程的个数是
①,②,③,④.
A.1个B.2个c.3个D.4个
已知方程的一个根是，则的值为________．
关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是_________.
根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数和常数项.
个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;
一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
答案：
1.A2.-133.a≠14.，其中二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-25；，其中二次项系数为1，一次项系数为12，常数项为-100.
五、归纳小结
本节课要掌握：
一元二次方程的概念；一元二次方程的一般形式和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
通过这节课的学习，你还有那些收获？
※布置作业※
从教材习题21．1中选取.
※教学反思※
注重知识的前后练习，在温故而知新的过程中孕育新知，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度.
教师创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发、点拨与设疑相结合，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者的地位.
增设例题难度，让学生产生困惑，避免今后犯类似错误，增加课堂练习，巩固知识.
对于一元二次方程的根的概念形成过程，要让学生大胆猜测，经过思考、讨论、分析的过程，让学生在交流中体会成功.
1．1 一元二次方程
01
教学目标
．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程转化为一般形式，确定出二次项系数、一次项系数和常数项．
．理解一元二次方程的根的意义，能够运用代入法检验根的正确性．
02
预习反馈
．等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．如：
下列方程：
①1－x2＝0；②2＝3y；③2x2－3x－1＝0；④1x2－2x＝0中，是一元二次方程的是①③．
．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0，其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
．使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．求方程的解的过程，叫做解方程．
如：
下面哪些数是方程x2－x－6＝0的根？
－2，3．
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
03
新课讲授
类型1 一元二次方程的一般形式
例1 将方程3x＝5化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
【解答】 去括号，得3x2－3x＝5x＋10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
x2－8x－10＝0.
其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.
【方法归纳】 1.把一元二次方程化为一般形式，就是把一元二次方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式．其中，二次项系数、一次项系数、常数项均包括数字前的符号．
．将一元二次方程化为一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．
【跟踪训练1】 方程x2－2＋＝0的一般形式是
A．x2－5x＋5＝0B．x2＋5x＋5＝0
c．x2＋5x－5＝0D．x2＋5＝0
【跟踪训练2】 一个关于x的一元二次方程，它的二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为－5，则这个一元二次方程是2x2＋3x－5＝0．
类型2 一元二次方程的解的意义
例2 关于x的一元二次方程x2－ax＋a－1＝0的一个根为0，则a＝1．
【思路点拨】 将x＝0代入一元二次方程，得到关于a的方程，解方程即可．注意二次项系数a＋1≠0.
【跟踪训练3】 已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是x＝－a，则a－b的值为
A．－1B．0c．1D．2
04
巩固训练
．若x2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，则
A．p＝2B．p≠0c．p＞2D．p≠2
．把方程＋2＝0化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是
A．5、－4、6B．1、－5、0c．5、－2、1D．5、－4、－3
．若x＝3是关于x的方程2x2＋ax－6＝0的一个根，则a的值是－4．
．根据题意，列出方程：
两个连续整数的积是210，求这两个数；
在一块长250、宽150的草地四周修一条路，路修好后草地的面积减少11912，求这条路的宽度．
解：
设其中一个整数为x，则另一个整数为，依题意，得x＝210.
设这条路的宽为x，则＝250×150－1191.
05
课堂小结
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