数学高考真题北京卷文解析版.docx
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数学高考真题北京卷文解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A={x∈R|3x+2＞0}B={x∈R|（x+1）（x-3）＞0}则A∩B=
A．（-，-1）B．（-1，-）C．（-,3）D．（3,+）
【解析】和往年一样，依然的集合（交集）运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。
因为，利用二次不等式可得或画出数轴易得：
．故选D．
【答案】D
2．在复平面内，复数对应的点的坐标为
A．（1,3）B．（3,1）C．（-1,3）D．（3,-1）
【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。
，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为（1,3），故选A．
【答案】A
3．设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
（A）（B）（C）（D）
【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，故选D。
【答案】D
4．执行如图所示的程序框图，输出S值为
（A）2（B）4（C）8（D）16
【解析】，，，，，循环结束，输出的s为8，故选C。
【答案】C
5．函数的零点个数为
（A）0（B）1（C）2（D）3
【解析】的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图象，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B。
【答案】B
6．已知为等比数列，下面结论种正确的是
（A）a1+a3≥2a2（B）（C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2
【解析】当，，时，可知，，，所以A选项错误；当时，C选项错误：
当时，，与D选项矛盾，因此描述均值定理的B选项为正确答案，故选B。
【答案】B
7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是
（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。
本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
，，，，因此该几何体表面积，故选B。
【答案】B
8．某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为
（A）5（B）7（C）9（D）11
【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。
【答案】C
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9．直线被圆截得弦长为__________。
【解析】将题目所给的直线和圆图形画出得到如图所示的情况，半弦长，圆心到直线的距离，以及圆半径构成了一个直角三角形。
因为，夹角，因此，所以。
【答案】
10．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若，S2=a3，则a2=______，Sn=_______。
【解析】因为，
所以，。
【答案】，
11．在△ABC中，若a=3，b=，∠A=，则∠C的大小为_________。
【解析】在△ABC中，利用正弦定理，可得，所以。
再利用三角形内角和，可得．
【答案】
12．已知函数，若，则_____________。
【解析】因为，，所以，
所以。
【答案】2
13．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。
【解析】根据平面向量的数量积公式，由图可知，，因此，
，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1．
【答案】1，1
14．已知，，若，或，则m的取值范围是_________。
【解析】首先看没有参数，从入手，显然时，；时，。
而对，或成立即可，故只要，，（*）恒成立即可．①当时，，不符合（*）式，舍去；②当时，由<0得，并不对成立，舍去；③当时，由<0，注意，，故，所以，即，又，故，所以，又，故，综上，的取值范围是。
【答案】
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15．（本小题共13分）
已知函数。
（1）求的定义域及最小正周期；
（2）求的单调递减区间。
【答案】
。
（1）原函数的定义域为，最小正周期为．
（2）原函数的单调递增区间为，。
16．（本小题共14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2。
（I）求证：
DE∥平面A1CB；
（II）求证：
A1F⊥BE；
（III）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？
说明理由。
17．（本小题共13分）
近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：
吨）：
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
100
100
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；
（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a＞0，=600。
当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。
（注：
，其中为数据的平均数）
18．（本小题共13分）
已知函数f（x）=ax2+1（a>0）,g（x）=x3+bx。
若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1,c）处具有公共切线，求a,b的值；
当a=3,b=-9时，若函数f（x）+g（x）在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。
19．（本小题共14分）
已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭圆C交与不同的两点M,N
（Ⅰ）求椭圆C的方程
（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值
（20）（本小题共13分）
设A是如下形式的2行3列的数表，
a
b
c
d
e
f
满足性质P：
a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.
记ri（A）为A的第i行各数之和（i=1,2），Cj（A）为第j列各数之和（j=1，2，3）；记k（A）为|r1（A）|,|r2（A）|,|c1（A）|，|c2（A）|，|c3（A）|中的最小值。
对如下数表A，求k（A）的值
设数表A形如
其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；
（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k（A）的最大值。
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