高三数学理周练十三.docx

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高三数学理周练十三

亭湖高级中学2015届高三数学（理）周练十三

命题：

侍昌亚审核：

耿建培

一、填空题：

本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.

⒈设集合，，则▲．

⒉复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于第▲象限．

⒊用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做得假设是_____________▲___________________________

⒋在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是，则“”是“”的___________▲_____________条件.（填“充分必要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”）

⒌函数的定义域为▲．

⒍若函数在区间上单调递增，则的取值范围是___▲_____

⒎已知为双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为_____▲________

⒏已知函数，则不等式的解集是▲．

⒐若过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实

数的值为▲．

⒑已知函数（，，是常数，

，）的部分图象如图所示．

若，，则▲．

⒒已知数列满足，它的前项和为．若

，则的值为_________▲____________

⒓已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则

椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_____▲_____

⒔在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，

则的最大值是____▲__________

⒕已知，是函数图象上的两个不同点，且在，

两点处的切线互相平行，则的取值范围为▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

⒖（本小题满分14分）

在△中，内角，，的对边分别为，，，向量，

，且．

⑴求角；

⑵若，求的面积的最大值．

⒗（本小题满分14分）

已知二次函数，关于实数的不等式的解集为.

⑴当时，解关于的不等式：

；

⑵是否存在实数，使得关于的函数的最小值为－5？

若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由.

⒘（本小题满分14分）

第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在

某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心、之间的距离为米．

⑴如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点，，，均在圆弧上，

于点．设，求矩形的宽为多少时，可使喷泉的面积最大；

⑵如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为

两个全等的等腰三角形，其中，米．若，求喷

泉的面积的取值范围．

⒙（本小题满分16分）

已知函数，，．

⑴当，时，求函数的单调区间；

⑵当时，若对恒成立，求实数的取值范围.

⒚（本小题满分16分）

已知椭圆的左、右焦点分别为、，过作直线与椭圆

交于点、．

⑴若椭圆的离心率为，右准线的方程为，为椭圆上顶点，直线交右

准线于点，求的值；

⑵当时，设为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点，

，证明：

点在定直线上．

⒛（本小题满分16分）

在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，

也成等差数列．

⑴求证：

是等比数列；

⑵设是不超过100的正整数，求使成立的所有数对．

亭湖高级中学2015届高三数学（理）周练十三

命题：

侍昌亚审核：

耿建培

一、填空题：

本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.

⒈设集合，，则▲．

⒉复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于第▲象限．

二

⒊用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做得假设是_____________▲___________________________

方程没有实根

⒋在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是，则“”是“”的___________▲_____________条件.（填“充分必要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”）

充分必要

⒌函数的定义域为▲．

⒍若函数在区间上单调递增，则的取值范围是___▲_____

⒎已知为双曲线的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为_____▲________

⒏已知函数，则不等式的解集是▲．

⒐若过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实

数的值为▲．

⒑已知函数（，，是常数，

，）的部分图象如图所示．

若，，则▲．

⒒已知数列满足，它的前项和为．若

，则的值为_________▲____________

1

⒓已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则

椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_____▲_____

⒔在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，

则的最大值是____▲__________

⒕已知，是函数图象上的两个不同点，且在，

两点处的切线互相平行，则的取值范围为▲．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

⒖（本小题满分14分）

在△中，内角，，的对边分别为，，，向量，

，且．

⑴求角；

⑵若，求的面积的最大值．

⑴因为，所以，

所以，即，………………………………4分

所以，

又，所以．………………………………7分

⑵在中，由余弦定理有，，

所以，

由基本不等式，，可得，当且仅当时，取等，…12分

所以的面积，

故的面积的最大值为．………………………………14分

⒗（本小题满分14分）

已知二次函数，关于实数的不等式的解集为.

⑴当时，解关于的不等式：

；

⑵是否存在实数，使得关于的函数的最小值为－5？

若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由.

⑴由不等式的解集为知

关于x的方程的两根为－1和n，且

由根与系数关系，得∴，

所以原不等式化为，

①当时，原不等式化为，且，解得或；

②当时，原不等式化为，解得且；③

④当时，原不等式化为，且，解得或；

综上所述

当时，原不等式的解集为或；

当时，原不等式的解集为或．

⑵

⒘（本小题满分14分）

第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在

某“葫芦”形花坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心、之间的距离为米．

⑴如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点，，，均在圆弧上，

于点．设，求矩形的宽为多少时，可使喷泉的面积最大；

⑵如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为

两个全等的等腰三角形，其中，米．若，求喷

泉的面积的取值范围．

⑴在直角中，，，则，

所以矩形的面积，………4分

令，，

则，

令，得．设，且，列表如下：

0

↗

极大值

↘

所以当，即时，矩形的面积最大．………………10分

⑵由⑴易得，喷泉的面积，

由知，，所以函数是单调增函数，

所以．………………………………13分

答：

⑴矩形的宽（米）时，可使喷泉的面积最大；

⑵喷泉的面积的取值范围是（单位：

平方米）．……14分

⒙（本小题满分16分）

已知函数，，．

⑴当，时，求函数的单调区间；

⑵当时，若对恒成立，求实数的取值范围.

函数，

求导得．………………2分

⑴当，时，，………4分

若，则恒成立，所以在上单调减；………6分

若，则，令，解得或（舍），

当时，，在上单调减；

当时，，在上单调增．

所以函数的单调减区间是，单调增区间是．………8分

⑵当，时，，………10分

而，所以

当时，，在上单调减；

当时，，在上单调增．………12分

所以函数在上的最小值为，………14分

所以恒成立，解得或，

又由，得，所以实数的取值范围是．……………16分

⒚（本小题满分16分）

已知椭圆的左、右焦点分别为、，过作直线与椭圆

交于点、．

⑴若椭圆的离心率为，右准线的方程为，为椭圆上顶点，直线交右

准线于点，求的值；

⑵当时，设为椭圆上第一象限内的点，直线交轴于点，

，证明：

点在定直线上．

⑴设，则，解得，

所以椭圆的方程为，……………………………2分

则直线的方程为，令，可得，

联立，得，所以，，……4分

所以．

…………………………6分

⑵设，，则直线的方程为，

令，可得，…………………………8分

由可知，，整理得，

又，

联立，解得，…………………………14分

所以点在定直线上．…………………………16分

⒛（本小题满分16分）

在数列，中，已知，，且，，成等差数列，，，

也成等差数列．

⑴求证：

是等比数列；

⑵设是不超过100的正整数，求使成立的所有数对．

⑴由，，成等差数列可得，，

由，，成等差数列可得，，

得，，

所以是以6为首项、为公比的等比数列．……………………4分

⑵由⑴知，，

得，，

得，，……………………8分

代入，得，

所以，

整理得，，

所以，………………………………12分

由是不超过100的正整数，可得，

所以或，

当时，，此时，则，符合题意；

当时，，此时，则，符合题意．

故使成立的所有数对为，．…………16分