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高三数学理周练十三

亭湖高级中学2015届高三数学(理)周练十三

命题:

侍昌亚审核:

耿建培

一、填空题:

本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.

⒈设集合,,则▲.

⒉复数(为虚数单位)在复平面上对应的点位于第▲象限.

⒊用反证法证明命题“设为实数,则方程至少有一个实根”时,要做得假设是_____________▲___________________________

⒋在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别是,则“”是“”的___________▲_____________条件.(填“充分必要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”)

⒌函数的定义域为▲.

 

⒍若函数在区间上单调递增,则的取值范围是___▲_____

⒎已知为双曲线的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为_____▲________

⒏已知函数,则不等式的解集是▲.

⒐若过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实

数的值为▲.

⒑已知函数(,,是常数,

,)的部分图象如图所示.

若,,则▲.

⒒已知数列满足,它的前项和为.若

,则的值为_________▲____________

⒓已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,则

椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_____▲_____

⒔在平面直角坐标系中,为原点,,动点满足,

则的最大值是____▲__________

⒕已知,是函数图象上的两个不同点,且在,

两点处的切线互相平行,则的取值范围为▲.

二、解答题:

本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

⒖(本小题满分14分)

在△中,内角,,的对边分别为,,,向量,

,且.

⑴求角;

⑵若,求的面积的最大值.

 

⒗(本小题满分14分)

已知二次函数,关于实数的不等式的解集为.

⑴当时,解关于的不等式:

⑵是否存在实数,使得关于的函数的最小值为-5?

若存在,求出实数的值,若不存在,请说明理由.

 

⒘(本小题满分14分)

第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办.为营造优美的环境,举办方决定在

某“葫芦”形花坛中建喷泉.如图,该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成,两圆心、之间的距离为米.

⑴如图甲,在花坛中建矩形喷泉,四个顶点,,,均在圆弧上,

于点.设,求矩形的宽为多少时,可使喷泉的面积最大;

⑵如图乙,在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用,则矩形喷泉变为

两个全等的等腰三角形,其中,米.若,求喷

泉的面积的取值范围.

 

⒙(本小题满分16分)

已知函数,,.

⑴当,时,求函数的单调区间;

⑵当时,若对恒成立,求实数的取值范围.

⒚(本小题满分16分)

已知椭圆的左、右焦点分别为、,过作直线与椭圆

交于点、.

⑴若椭圆的离心率为,右准线的方程为,为椭圆上顶点,直线交右

准线于点,求的值;

⑵当时,设为椭圆上第一象限内的点,直线交轴于点,

,证明:

点在定直线上.

 

⒛(本小题满分16分)

在数列,中,已知,,且,,成等差数列,,,

也成等差数列.

⑴求证:

是等比数列;

⑵设是不超过100的正整数,求使成立的所有数对.

 

亭湖高级中学2015届高三数学(理)周练十三

命题:

侍昌亚审核:

耿建培

一、填空题:

本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.

⒈设集合,,则▲.

⒉复数(为虚数单位)在复平面上对应的点位于第▲象限.

⒊用反证法证明命题“设为实数,则方程至少有一个实根”时,要做得假设是_____________▲___________________________

方程没有实根

⒋在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别是,则“”是“”的___________▲_____________条件.(填“充分必要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既非充分又非必要”)

充分必要

⒌函数的定义域为▲.

⒍若函数在区间上单调递增,则的取值范围是___▲_____

⒎已知为双曲线的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为_____▲________

⒏已知函数,则不等式的解集是▲.

⒐若过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实

数的值为▲.

⒑已知函数(,,是常数,

,)的部分图象如图所示.

若,,则▲.

⒒已知数列满足,它的前项和为.若

,则的值为_________▲____________

1

⒓已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,则

椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_____▲_____

⒔在平面直角坐标系中,为原点,,动点满足,

则的最大值是____▲__________

⒕已知,是函数图象上的两个不同点,且在,

两点处的切线互相平行,则的取值范围为▲.

二、解答题:

本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

⒖(本小题满分14分)

在△中,内角,,的对边分别为,,,向量,

,且.

⑴求角;

⑵若,求的面积的最大值.

⑴因为,所以,

所以,即,………………………………4分

所以,

又,所以.………………………………7分

⑵在中,由余弦定理有,,

所以,

由基本不等式,,可得,当且仅当时,取等,…12分

所以的面积,

故的面积的最大值为.………………………………14分

⒗(本小题满分14分)

已知二次函数,关于实数的不等式的解集为.

⑴当时,解关于的不等式:

⑵是否存在实数,使得关于的函数的最小值为-5?

若存在,求出实数的值,若不存在,请说明理由.

⑴由不等式的解集为知

关于x的方程的两根为-1和n,且

由根与系数关系,得∴,

所以原不等式化为,

①当时,原不等式化为,且,解得或;

②当时,原不等式化为,解得且;③

④当时,原不等式化为,且,解得或;

综上所述

当时,原不等式的解集为或;

当时,原不等式的解集为或.

⒘(本小题满分14分)

第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办.为营造优美的环境,举办方决定在

某“葫芦”形花坛中建喷泉.如图,该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成,两圆心、之间的距离为米.

⑴如图甲,在花坛中建矩形喷泉,四个顶点,,,均在圆弧上,

于点.设,求矩形的宽为多少时,可使喷泉的面积最大;

⑵如图乙,在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用,则矩形喷泉变为

两个全等的等腰三角形,其中,米.若,求喷

泉的面积的取值范围.

 

⑴在直角中,,,则,

所以矩形的面积,………4分

令,,

则,

令,得.设,且,列表如下:

0

极大值

所以当,即时,矩形的面积最大.………………10分

⑵由⑴易得,喷泉的面积,

由知,,所以函数是单调增函数,

所以.………………………………13分

答:

⑴矩形的宽(米)时,可使喷泉的面积最大;

⑵喷泉的面积的取值范围是(单位:

平方米).……14分

⒙(本小题满分16分)

已知函数,,.

⑴当,时,求函数的单调区间;

⑵当时,若对恒成立,求实数的取值范围.

函数,

求导得.………………2分

⑴当,时,,………4分

若,则恒成立,所以在上单调减;………6分

若,则,令,解得或(舍),

当时,,在上单调减;

当时,,在上单调增.

所以函数的单调减区间是,单调增区间是.………8分

⑵当,时,,………10分

而,所以

当时,,在上单调减;

当时,,在上单调增.………12分

所以函数在上的最小值为,………14分

所以恒成立,解得或,

又由,得,所以实数的取值范围是.……………16分

⒚(本小题满分16分)

已知椭圆的左、右焦点分别为、,过作直线与椭圆

交于点、.

⑴若椭圆的离心率为,右准线的方程为,为椭圆上顶点,直线交右

准线于点,求的值;

⑵当时,设为椭圆上第一象限内的点,直线交轴于点,

,证明:

点在定直线上.

⑴设,则,解得,

所以椭圆的方程为,……………………………2分

则直线的方程为,令,可得,

联立,得,所以,,……4分

所以.

…………………………6分

⑵设,,则直线的方程为,

令,可得,…………………………8分

由可知,,整理得,

又,

联立,解得,…………………………14分

所以点在定直线上.…………………………16分

⒛(本小题满分16分)

在数列,中,已知,,且,,成等差数列,,,

也成等差数列.

⑴求证:

是等比数列;

⑵设是不超过100的正整数,求使成立的所有数对.

⑴由,,成等差数列可得,,

由,,成等差数列可得,,

得,,

所以是以6为首项、为公比的等比数列.……………………4分

⑵由⑴知,,

得,,

得,,……………………8分

代入,得,

所以,

整理得,,

所以,………………………………12分

由是不超过100的正整数,可得,

所以或,

当时,,此时,则,符合题意;

当时,,此时,则,符合题意.

故使成立的所有数对为,.…………16分

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