福建省泉州市学年高一下学期期末考试数学试题解析版docx.docx
《福建省泉州市学年高一下学期期末考试数学试题解析版docx.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《福建省泉州市学年高一下学期期末考试数学试题解析版docx.docx(28页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
福建省泉州市学年高一下学期期末考试数学试题解析版docx
泉州市普通高中2019级高一下学期教学质量跟踪监测
数学(新教材必修2、1三角)
一、单项选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z=3-4Z,则复数z在复平面内对应的点位于()
A,第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数的几何意义先求出对应点的坐标,然后进行判断即可.
【详解】解:
复数z在复平面内对应的点的坐标为(3,T),位于第四象限,故选:
D.
【点睛】本题主要考查复数的几何意义,结合复数的几何意义求出点的坐标是解决本题的关键.属于基础
题.
2.若sina=L
3
则cosla=(
A.
2V2
B.-
C.
【答案】B
【解析】
【分析】
cos2由此能求出结果.
【详解】解:
•.•sina=L,
3
33
A.B,—C.6D.—6
22
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量共线的坐标表示即可求得x的值.
11
【详解】因allb,
所以lx3=2x,
3
解得:
%=-
2
故选:
B
【点睛】本题主要考查了向量共线的坐标表示,属于基础题.
4.要得到函数J=COS^|-^的图象,只需将y=cos|的图象()
兀
A.向右平移一个单位
4
71
C,向右平移一个单位
2
【答案】C
兀
B,向左平移一个单位
4
JT
D.向左平移一个单位
2
【解析】
【分析】
把;y=cos
1TT
变形为:
3),由自变量的变化得答案.
【详解】解:
y=cos
1
=cos—
2
71X-—
要得到函数y=cos
X71
XTT
的图象,只需将y=cos;的图象向右平移:
个单位.
故选:
C.
【点睛】本题主要考查三角函数的平移,三角函数的平移原则为左加右减上加下减,属于中档题.
5.如图是2020年1月23日至2月13日我国新冠肺炎疫情的数据走势图(其中1月23日-2月5日,重症
率=现有重症/累计确诊;2月6日开始公布现有确诊数,重症率=现有重症/现有确诊).若以图中所示方法界定月份,则下列说法错误的是()
—O—重症率治俞率-♦-死亡率
0.25
21.62%
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
>1.33%
20.74%
13.34苗知.23磅'J尹
-O-
21.14%
19.20%19.49%
18.34%8_02%
18.30%
10.67%10.53%
9.37%9.23%
8.17%本••••..
7.12%▲...•••.•
5.93%▲.
~~4.94%
4.10%亦球4.12%
▲2.95%nccm,276%3・00%"°’布
二f郛土姒心泌刀%1.51%1-76%206%2警:
薯..“•••••..•'—一一
3-01°°2,84%'^'2^2.21%2.20%2.20%2.20%2.11%2.10%2.08%2.01%2.01%2.04%2.09%2.18%2.26%2.38%2.49%2.29%2.16%
IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
1/231/241/251/261/271/281/291/301/312/12/2
1月份
2/32/42/52/62/72/82/92/102/112/122/13
2月份
A.2月份的重症率明显下降
B.
2月11日的治愈率约为死亡率的4.3倍
C.2月1日后治愈率超过死亡率
D.
2月以来,新冠肺炎的治愈率总体上呈上升趋势
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象逐一进行分析即可
【详解】解:
由图可得,2月份重症率有增有减,故A错误;
2月11日的治愈率与死亡率之比约为号盖R4.3,故B正确;
2月1日后治愈率超过死亡率,故C正确;
2月以来,治愈率总体上呈上升趋势,故。
正确;
【点睛】本题考查学生合情推理的能力,数形结合思想,属于基础题.
6.甲、乙两人独立解答一道趣味题,已知他们答对的概率分别为则恰有一人答对的概率为()
32
1A.-
6
1
B,—
2
5C.—
6
2D.-
3
【答案】B【解析】
【分析】
利用概率的加法公式和概率的乘法公式即可求解.
【详解】由题意知:
甲、乙两人答题是相互独立事件,记“甲答对”为事件A,“乙答对”为事件
“恰有一人答对”为事件C,
71
则P(A)=a,P(B)=^
所以P(C)=P(A).P(B)+P(A).P(B)=|x|+|x|=|,
故选:
B
【点睛】本题主要考查了事件关系与事件运算,概率的乘法公式和加法公式,属于基础题.
377,
7.平行四边形ABC。
中,AB=4,AD=2g,ZBAD=~,E是线段C£>的中点,则AEAC=()
A.0B.2C.4D.4很
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件即可得出AE=AD+^AB,AC=AD+AB,从而得出AE-AC=(AD+^AB)^AD+AB),然后进行数量积的运算即可.
13冗
【详解】解:
如图,根据题意:
=AD+—AB,AC=AD+AjB,且AB=4,AD=2皿,Z.BAD=,
AE.AC=(AD+-AB).(AD+AB)=AD2+-AB2+-AB^l5^8+-xl6+-x4x2y/2x(-—)=4.
222222
故选:
C.
【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则,向量加法和数乘的几何意义,向量的数量积的运算,考查了计算能力,属于基础题.
8,我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:
“今有木长二丈,围之三尺“葛生其下,缠木七周,上与木齐.问葛长几何?
术曰:
以七周乘三尺为股,木长为勾,为之求弦.弦者,葛之长”.意思是:
今有2丈长木,其横截面周长3尺,葛藤从木底端绕木7周至顶端,问葛藤有多长?
()(注:
1丈=10尺)
A.21尺
B.23尺
C.27尺
D.29尺
【答案】D
【解析】
【分析】
这种立体图形求最短路径问题,可以展开成为平面内的问题解决,展开后可转化下图,所以是个直角三角形求斜边的问题,根据勾股定理可求出.
【详解】解:
如图,一条直角边(即木棍的高)长20尺,
另一条直角边长7x3=21(尺),因此葛藤长^202+212=29(尺),
故选:
D.
【点睛】本题考查了几何体展开图最短路径问题,关键是把立体图形展成平面图形,本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解.
9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sir?
A+sir?
3=sir?
C+sinAsin3,若曲=己
则△A3C的形状是()
A.等边三角形B,等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
7T
先由正弦定理和已知得到C=5,再由ab=/代入a2+b2-c2=ab得到a=b即可判断三角形形状.
【详解】由sin2A+sin2B=sin2C+sinAsinB及正弦定理,
得a2+b2=c2+ab^艮a2+b2—c2=ab
ab_1
lab2
/+人2_2由余弦定理得cosC=—-
lab
71因为OvCv/r,所以C=y,又因为ab=c,代入a?
+/?
-c2=泌得/+b~—2ab=0,
即(a-&)2=0,所以a=b,
所以△43C是等边三角形.
故选:
A.
【点睛】本题考查解三角形的基本知识和正弦定理、余弦定理的应用;考查运算求解能力、推理论证能力.
10.图中是一个装有水的倒圆锥形杯子,杯子口径6cm,高9cm(不含杯脚),已知水的高度是8cm,现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠,该珍珠放入水中后直接沉入杯底,且体积不变.如果放完珍珠后水不溢出,则最多可以放入珍珠()
A.36颗B.42颗C.48颗D.54颗
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知利用三角形相似求得水面圆的半径,由圆锥的体积减去水的体积,得到可放入珍珠的体积,除以一颗珍珠的体积得答案.
【详解】解:
作出在轴截面图如图,
由题意,OP=9,QP=8,OA=3,设
n.8xHn8
则-=-,即
41JT
一颗珍珠的体积是-^-x(-)3=-.
326
217〃
卫=坦
Tl9
最多可以放入珍珠48颗.
故选:
C.
【点睛】本题考查圆锥与球体积的求法,正确理解题意是关键,属于中档题.
二、多项选择题:
本大题共2小题,每小题5分,共10分.在每小题给出的四个选项中,至少有2个选项符合题目要求.作出的选择中,不选或含有错误选项的得0分,只选出部分正确选项的得2分,正确选项全部选出的得5分.
11.某篮球爱好者在一次篮球训练中,需进行五轮投篮,每轮投篮5次.统计各轮投进球的个数,获知其前
四轮投中的个数分别为2,3,4,4,则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是()
A.平均数为3,极差是3B.中位数是3,极差是3
C,平均数为3,方差是0.8D,中位数是3,方差是0.56
【答案】BCD【解析】
【分析】
由题知,前四轮投中的个数总和为13,从选项看,分两大类讨论:
①平均数为3,则第五轮投中2个,再根据极差和方差的计算公式求解后,即可判断选项A和C;②中位数为3,则第五轮投中的个数为0或1或2或3,然后分4种情况,逐一计算极差和方差,从而判断选项B和D.
【详解】2+3+4+4=13,
1若平均数为3,则第五轮投中的个数为2,
所以极差为4-2=2,方差为!
[(2—3)2x2+(3—3尸+(4—3)2x2]=0.8,即选项A错误,C正确;
2若中位数为3,则第五轮投中个数为0或1或2或3,
当投中的个数为0时,极差为4,方差为!
[(0-2.6)2+(2-2.6尸+(3-2.6)2+(4-2.6)2x2]=1.848当投中的个数为1时,极差为3,方差为!
[(1—2.8尸+(2-2.8)2+(3—2.8尸+(4—2.8尸x2]=1.36;当投中的个数为2时,极差为2,方差为0.8;
当投中的个数为3时,极差为2,方差为!
[(2—3.2)2+(3—3.2)2x2+(4—3.2)2x2]=0.56
即选项B和D均正确.
故选:
BCD.
【点睛】此题为基础题,考查统计中相关概念.
12.如图菱形ABC。
中,A3=2,ZZMB=60。
,E是AB的中点,将&4DE沿直线£也翻折至△句蔓
的位置后,连接AC,A3.若F是的中点,则在翻折过程中,下列说法正确的有()
A.异面直线AE与。
。
所成的角不断变大
B.二面角A.-DC-E平面角恒为45。
C.点F到平面A.EB的距离恒为吏
2
D.当A在平面EBCO的投影为E点时,直线AC与平面EBCO所成角最大【答案】CD
【解析】
【分析】
由Z5C//AB,可知或其补角即是与。
C所成的角,可判断选项A,二面角\-DC-E的平面角不是定值,可判断选项8,F到平面A既的距离是C到平面A既的距离的一半,£>C7/平面&BE,等于。
到平面片既的距离的一半,可判断选项C,找出点E位置,以及4。
与平面所成角,即可判断选项。
.
【详解】因为DC//AB,可知既或其补角即是异面直线AE与QC所成的角,在翻折的过程中,异面直线AE与。
。
所成的角是先增大后减小,所以选项A不正确;
二面角\-DC-E的平面角不是定值,所以选项8不正确;
因为F是\C的中点,所以F到平面A.EB的距离是C到平面\EB的距离的一半,
因DC//EB,平面&EB,平面&EB,所以〃平面\BE,
所以C到平面AEB距离的等于D到平面AEB的距离,
又因为DELEB,DELEA^,E&cEB=E,
所以庞上平面A[EB,易知DE=^[i,所以点。
到平面A幽的距离为占,
即点F到平面A.EB的距离恒为龙,所以选项C正确;2
因为庞上平面\EB,£)Eu平面DEBC,所以平面\EBV平面DEBC,
平面\EBry平面DEBC=EB,在平面凡命中,作1EB,垂足为H,
则±平面DEBC,直线AC与平面EBCD所成角为以如,
因为当且仅当A在平面EBCD的投影为E点时,取到等号,
此时直线AC与平面EBC。
所成角最大,所以选项。
正确.
故选:
CD
【点睛】本题主要考查空间异面直线所成的角,线面角、二面角的大小以及空间中点到面的距离,属于中
档题.
三、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡的相应位置.
13.若复数z=,贝ij|z|=.
【答案】V2
【解析】
【分析】
利用复数的除法法则将复数表示为一般形式,然后利用复数的模长公式可计算出|z|的值.
【详解】vz=l+£=!
(l±O=_.^+1^=1_.i因此,|z|=J]2+(_l)2=e
故答案为:
V2-
【点睛】本题考查复数模的计算,同时也考查了复数的除法运算,考查计算能力,属于基础题.
14.已知某地区小学、初中、高中三个学段的学生人数分别为5000,4000,3000.现采用分层抽样的方法调
查该地区中小学的“智慧阅读”情况在抽取的样本中,若初中学生人数为80,则高中学生人数应为.
【答案】60
【解析】
【分析】
根据分层抽样的定义建立比例关系即可.
【详解】解:
设高中学生人数为以,
解可得,77=60.
故答案为:
60
【点睛】本题主要考查了分层抽样的简单应用,属于基础题.
15,已知/■(》)=sin[|(X+1)—右cos弓(X+1)],则/■⑴+/
(2)+/(3)+...+/(2020)=
【答案】^3
【解析】
【分析】
7T
化简得/(x)=2sin-x,利用周期即可求出答案.
【详解】解:
/(%)=sin[y+1)]-cos[y+1)]=2sin%,
函数/'(x)的最小正周期为6,
/./(D+/
(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,
/
(1)+/
(2)+/(3)+...+/(2020)=/
(1)+/
(2)+f(3)+f(4)=右,
故答案为:
.
【点睛】本题主要考查三角函数的性质的应用,属于基础题.
16.已知|ab|=2,|=|AB=lt动点M满足_2AM•AB+8=0-当宓•瓦取到最小值时,|苞4的最大值为.
【答案】
(1).-:
;
(2).号+1.
【解析】【分析】建系转化为直线与圆的位置关系可得解.
UUUI
AC岫1
[详解]Qpt®i.AB=lx2cos/R4C=l,cosZBAC=-,即ZS4C=60°,
AC2
以A为原点,AB所在的直线为x轴,AB的垂线为V轴建立平面直角坐标系,
则A(0,0),3(2,0),
设AC所在的直线方程为y=gc,C的坐标为("7%),由平面向量数量积的坐标运算可得
uiruur(1A21
C4-CB=4r-2?
=4t——一一,
l时4
故当f=L时,宓.瓦取得最小值;
4
设点M的坐标为("),由最J牒.朋+8=o,得(X—3丫+/=1,
即点肱的轨迹是以N(3,0)为圆心,1为半径的圆;
故|应|的最大值为GV+l=j'—3]+俘"J+1=^+1
故答案为:
返+1.
42
【点睛】数形结合:
化向量等式为代数方程,再由方程表达的形“圆”及点,找到新的形与形的关系.这是一道典型的数形结合题.
四、解答题:
本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.为研究某植物园中某类植物的高度,随机抽取了高度在[30,100](单位:
cm)的50株植物,得到其
高度的频率分布直方图(如图所示).
(1)求。
的值;
(2)若园内有该植物1000株,试根据直方图信息估计高度在[70,90)的植物数量.
【答案】
(1)0.028;
(2)280.
【解析】
【分析】
频率分布直方图中矩形面积和为1可得。
的值;
算出高度落在[70,90)的植物的频率可得.
【详解】
(1)(0.004+0.006+0.024+0.030+a+0.008+0.008)x10=1,
解得a—0.02;
(2)高度落在[70,90)的植物的频率为0.028x10=0.28,
高度在[70,90)的植物数量为0.28x1000=280株
【点睛】此题为统计基础题,考查频率分布直方图的含义.
18,如图,四面体ABC。
中,平面ABC,BC±AB,AC=BD=5,CD=V41-
(2)求A到平面BCD的距离.
12
【答案】
(1)10;
(2)y.
【解析】
【分析】
(1)由DA1.平面ABC可得DA±AB,DALAC,在Rt^CAD,RtVDAB.Rt^ABC中利用勾股定理求出AD、AB,BC,可以判断△3CD是直角三角形,即可以求出面积.
(2)由
(1)可证平面ABD1.平面BCD,过点A作AE±BD,可证AEJ_平面BCD,在RtNDAB^,利用面积相等求AE即可.
【详解】
(1)因为平面ABC,所以DA±AB,DALAC,
在Rt^CAD中,AD^y/DC2-AC2=^41-25=4,
在我八如8中,AbNdeP-DI=J25-16=3,
在Rt^ABC中,BC=jAC2-序=J25-9=4’
由DC2^DB2+BC2得ZDBC=90°,
所以SRrn=-BDBC=-x4x5=10.
△少22
(2)过点A作AE±BD,垂足为E,
由
(1)知3C_L平面仙。
,
因为BCu面8CD,所以平面ABD±平面BCD,
又因为平面ABOc平面BCD=BD,
所以AE上平面BCD,可知AE即为点A到平面BCD的距离,
--eADAB12
在我fVDAB中,AE==—.
【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质,勾股定理,面面垂直的判断和性质,三角形面积公式,属于中档题.
19,在平面四边形ABC。
中,AB逐AD,ZADB=ZCDB=2ZABD.
(1)求匕场£>;
BD=2,求眼。
。
的面积.
(2)若ac=V7,
【答案】
(1)30°;
(2)—;
2
【解析】
【分析】
(1)由图,△ABQ中,根据正弦定理,即可求得cosZABD=—,进而可知ZABD=30°:
2
(2)由
(1)ZABD=30°可知,如疯)为直角三角形,进而求得AD=1,然后在△ACO中,根据余
弦定理,可求得CD=2,根据AACD的面积公式,代入数值即可得结果.
【详解】解:
(1)由题,在眼如中,根据正弦定理,
AB_AD
sinZADB~sinZABD'
因为AB=73AD,ZADB=2ZABD.
所以0sinZABD=sinZADB,
cosZABD=—,2
:
.ZABD=30°.
(2)由
(1)可知,ZABD=30°.
ZADB=ZCDB=2ZABD=60°,
△ABD中,匕4=90。
,BD=2,:
.AD=1,
△AC。
中,AC=a/7,
iI(~^r)2_7i
cosZADC==cos(60°+60°)=——,
24.CD2
解得CD=2或CD=—3(舍),
/.aACD的面积S=L・l.2.sinl20o=电.22
AD
【点睛】本题主要考查通过正、余弦定理解三角形,以及数形结合的思想,考查学生计算能力,属于基础题.
20,已知四棱锥P-ABCD,£41平面ABC。
,底面ABC。
为等腰梯形,AB//DC,AB=2DC,
Ji
AD=—DC,肱是PB中点.
2
(1)求证:
CM7/平面PAD;
(2)求证:
PD±BC
【答案】
(1)证明见解析;
(2)证明见解析;
【解析】
【分析】
(1)找到必的中点N,连接枷,ON,证明四边形切VDC是平行四边形,CMHDN,进而证明CM//平面PAD;
(2)连接。
与的中点H,通过勾股定理,得AD±DH,即AD1BC,又因为PA上平面ABCD,BCu平面ABC。
,所以PALBC,进而证明BCJL平面人叨,所以PD±BC.
【详解】解:
(1)证明:
取的中点连接肋V,DN,
△BLB中,肱是PB中点.「.MN//A3且MN=-AB,
2
又...等腰梯形ABC。
中,ABUDC,AB=2DC,
:
.MN//CD,且MN=CD,
•••四边形切VOC是平行四边形,
:
.CM//DN,
CM仁平面BID,ZWu平面PAD,
:
.CM〃平面PAD.
(2)证明:
连接。
与AB的中点H,
根据题意,等腰梯形ABCZ)中,ABUDC,AB=2DC,四边形BCDH是平行四边形,
:
.BC//DH.
设AB=2a,贝WC=AH=a,AD=BC=—a,
2
:
.AEr+DH2=AH2,
:
.ADYDH,
■.BC//DH,:
.ADLBC,
■.■PA±平面ABCZ),BCu平面ABCD,-.PALBC,
-.•PAC\AD=A,R4u平面APD,ADu平面APD,
:
.BC±平面APZ),
QPDu平面APD,
.-.PD±BC.
【点睛】本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理,考查了数形结合的思想,属于中档题.
21.
F(x)=f(x)-g(x).
已知函数f(x)=3sinx+J§cosx,g(x)=max^2sin%,2y/3cosxj,
(1)求g
71
(2)求F(*)在一-—
的单调递增区间;
(3)若xg[%!
x2],F(x)<-a/3,求X2-Xj的最大值.
()a,a>b,
(注:
maxg,=〈)
[/?
b>a.
.tt〃1「7"4"
【答案】
(1)3;