第24讲巧解最值应用问题.docx
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第24讲巧解最值应用问题
第24讲巧解最值应用问题
巧点晴——方法和技巧
生产和生活中有许多最值问题,需要我们结合实际,灵活地选择方法进行解答。
常用解题方法有:
①逆推,②列表,③比较等。
巧指导——例题精讲
A级冲刺名校·基础点晴
【例1】有10位小朋友,其中任意5人的平均身高不小于1.5米,那么,其中身高小于1.5米的小貊了多有几人?
分析与解本题从正面似乎很难入手,但当我们抓住关键词“任意5人”、“不小于1.5米”,从反而入手却很易得解。
题目要求的是“身高小于1.5米的小朋友最多有几人”,我们不妨考虑任意5人中身高不小于1.5米的最少有几人。
由题设“任意5人的平均身高不小于1.5米”,可知任意5人中身高不小于1.5米的至少有1人;否则若身高不小于1.5米的人一个都没有,其平均身高就不可能大于1.5米。
所以任意5人中身高小于1.5米的最多有4人。
也可以这样考虑,反设有5个或多于5个小朋友的身高小于1.5米,我们就从10个小朋友中选这5人出来,他们的平均身高就一定小于1.5米,与题目给定的条件矛盾,所以身高小于1.5米的小朋友最多有4人。
答:
身高小于1.5米的小朋友最多有4人。
做一做工有四袋糖块,其中任意三袋的总和都超过60块,那么这四袋糖块的总和至少有多少块?
【例2】5个空瓶可以换一瓶汽水。
某班同学共喝了161瓶汽水,其中有些是用喝完的汽水瓶换来的,那么,他们至少要买多少瓶汽水?
解法院(逆推法)首先弄清楚什么情况下所买的汽水最少,显然是所有空瓶都换成汽水,最后只剩一个空瓶的情况是买汽水最少的。
我们设想最后1瓶汽水是由此个空瓶换来的,而这5个空瓶中的汽水又是由5×5个空瓶换来的,再推下去,25个空瓶的汽水又是由125个空瓶换来的,这一方案一直没有花钱买汽水,当然是最优的。
从这里可以看出,只要买125瓶汽水,就可以喝到125+25+5+1=156(瓶)汽水,并剩一个空瓶,再买4瓶汽水喝完后加上剩下的一个空瓶又可换一瓶汽水,如此就可喝到161瓶汽水,而只要买125+4=129(瓶)汽水即可。
解法2我们将买最少瓶汽水的总是转换成花最少的钱喝161瓶汽水的问题。
怎样才能使同学们喝到161瓶汽车又花钱最少?
答案只有一个,就是将所有的汽水瓶全部退给店主换成钱。
设每瓶汽水1元钱,喝161瓶汽车花161元,每5个空瓶值1元,161÷5=32余1。
161个空瓶换
元,161-
=
元,即至少要买129瓶汽水。
解法3根据“5个空瓶可换1瓶汽水”(连汽水带瓶子)可知,每4个空瓶就能换到一瓶汽水(不带瓶),所以每个空瓶可换
瓶汽水。
也就是说,买一瓶汽水实际能喝到1+
瓶汽水。
因此,喝161瓶汽水至少要买:
161÷(1+
)=128.8≈129(瓶)
答:
他们至少要买129瓶汽水。
做一做25个空瓶可以换一瓶汽水,某班同学喝了120瓶汽水,那么,他们至少要买多少瓶汽水?
【例3】某县农机厂金工车间共有77个工人。
已知每天每个工人平均可加工甲种部件5个,或乙种部件4个,或丙种部件3个。
每个甲种部件、1个乙种部件和9个丙种部件恰好配成一套。
问:
分别安排多少个工人加工甲、乙、丙三种部件时,才能使生产出来的甲、乙、丙三种部件恰好都配套?
分析与解如果采用直接假设,那么就要用三个字母分别代替加工甲、乙、丙三种部件的人数,这已经超出我们的知识范围。
由题目条件看出,每套成品中,甲、乙、丙三种部件的件数之比是3:
1:
9,因为是配套生产,所以生产出的甲、乙、丙三种部件的数量之比也应是3:
1:
9。
设每天加工乙种部件χ个,则加工甲种部件3χ个,丙种部件9χ个。
从而可知,加工甲种部件应安排
χ人,加工乙种部件应安排
χ人,加工丙种部件应安排
χ人。
依题意可得方程
χ+
χ+
χ=77
χ=77
χ=20
将χ=20依次代入
χ,
χ和
χ,得
χ=
×20=12(人),
χ=
×20=5(人),
χ=3×20=60(人)。
答:
加工甲、乙、丙三种部件应分别安排12人、5人和60人。
做一做3车过河交渡费3元,马过河交渡费2元,人过河交渡费1元。
某天过河的车、马数目的比为2:
9,马、人数目的比为3:
7,共收得渡费945元。
问:
这天渡河的车、马、人的数目各是多少?
B级培优竞赛·更上层楼
【例4】小朋友们排成一行,从左面第一人开始,每隔2人发一个苹果;从右面第一人开始,每隔绝人发一个橘子,结果有10人小朋友苹果和橘子都拿到了。
那么,这些小朋友最多有多少人?
分析与解苹果每隔2人发一个,橘子每隔4人发1个。
由[3,5]=15,所以每15个小朋友中就有1人拿到了苹果和橘子。
因此,苹果和橘子都拿到的10个小朋友之间共有15×(10-1)+1=136个小朋友,他们的左边最多有4个小朋友拿到苹果,左边最多有3×4=12(人);而右边最多有2个小朋友拿到橘子,右边最多有5×2=10(人)。
结果,最多有12+136+10=158(人)。
答:
这些小朋友最多有158人。
做一做4有2008个小朋友排成一排,王老师从左面第一人开始发一张卡片,然后每隔2人发一张卡片;李老师从右面第一人开始发一朵红花,然后向左每隔4人发一朵红花。
问:
有多少个小朋友卡片和红花都拿到了?
【例5】某金工工厂生产铁箱子,箱子是由一个铁框和两块铁板做成的。
这次任务由老李和小张承担,他们的技术情况不同,老李每小时生产9个铁框,或生产12块铁板;小张只能生产铁板,每小时生产10块。
现要生产63个箱子,问:
至少要用多少小时?
分析与解生产63个箱子,需63个铁框,李师傅每小时生产9个铁框,生产63个铁框要63÷9=7(时)。
63个箱子要用63×2=126(块)铁板,李师傅生产铁框的7小时,小张已生产铁板7×10=70(块)。
还未生产的有126-70=56(块)。
二人共同生产56块铁板要56÷(12+10)=56÷22=
(时)。
所以,李、张二人至少要用7+
=
(时)。
答:
至少要用
小时。
做一做5完成一套零件需要一个大零件和三个小零件组成。
新机床每小时加工8个大零件,或加工12个小零件;旧机床只能加工小零件,每小时加工10个。
现在要加工80套零件,问:
至少需要用多少小时?
【例6】钢筋原材料每件长7.3米。
每套钢筋架子需用长2.9米、2.1米和1.5米的钢筋各一段。
问:
要做100套钢筋架子,至少要用去原材料几件?
分析与解本题的解法极易出错,为了寻找最佳的解题方法,我们列出各种截割方案:
方案
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
2.9米钢筋的根数
1
1
1
2
0
0
0
2.1米钢筋的根数
1
2
0
0
2
3
0
1.5米钢筋的根数
1
0
2
1
2
0
4
余料数
0.8
0.2
1.4
0
0.1
1.0
1.3
发现方案④、⑤、②较好,根据它们的关系,列出取件方案:
方案
②
④
⑤
取件数
20
40
30
2.9米钢筋的根数
20
80
2.1米钢筋的根数
40
60
1.5米钢筋的根数
40
60
90件钢筋总长为7.3×90=657(米)。
100套要用钢筋总长为(2.9+2.1+1.5)×100=650(米);
所剩余料为657米-650米=7米<7.3米(一件),于是90件为最佳方案。
这种题,一般应该怎样列式,怎样解答呢?
按余料从少到多排列方案,设依次取χ,y,z件,根据题意得
2χ+2=100…………①
2y+2z=100…………②
χ+2y=100…………③
由式②一式③,得
χ=2z………………④
2.9米
2
0
1
2.1米
0
2
2
1.5米
1
2
0
余料
0
0.1
0.2
取件数
χ
y
z
将χ=2z代入式①,得5z=100,z=20;把z=20代入式①,χ=40;再把χ=40代入式③,得y=30。
χ=40
即得方程组的解y=30
Z=20
所以,一共用去原材料40+30+20=90(件)
答:
至少要用去原材料90件。
做一做6有一批长4.3米的条形钢材,要截成0.7米和0.4米的甲、乙两种毛坯,要求截出的甲、乙两种毛坯数量相同。
问:
如何下料才能使残料最少?
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
【例7】若干箱货物总量是19.5吨,每箱质量不超过353千克。
今有载重1.5吨的汽车,问:
至少要多少辆,才能把这些货物一次全部运走?
解如果只想到19.5÷1.5=13,只需13辆汽车就能将这批货物一次运走,这是不对的。
因为只知道每箱质量不超过353千克,没有每箱的具体质量,所以有不确定的因素。
为此,我们可以这样安排车辆:
首先把12辆车装到另外3辆空车上,每车4箱总质量不超过353×4=1412(千克),能被3辆车运走。
所以把这些货物一次运走,至少需要汽车12+1+3=16(辆)。
做一做710吨货物分装若干箱,每只箱子不超过1吨。
为了确保在任何情况下都能一次性将这些货物运走,那么,载重量为3吨的汽车,最少需配备多少辆?
巧练习——温故知新(二十四)
A级冲刺名校·基础点晴
1.盒子中装有10分、20分、25分面值的邮票,其中20分邮票的张数是10分邮票张数的3倍还多1,25分邮票的张数是20分邮票张数的5倍还多3。
问:
盒子中全部邮票的总面值最少是多少?
2.电影院一排有50人座位,其中有些座位已经有人,若新来一个人,他无论坐在何处,都有一个人与他相邻,则原来至少有多少人就座?
3.有一个正整数的平方,它的最后三位数字相同但不为零,试求满足上述条件的最小正整数。
4.命题委员会为5~10年级准备数学奥林匹克竞赛试题,每个年级各7道题,而且都恰有4道题跟任何其他年级不同。
试问:
其中最多可以有多少道不同的试题(指各个年级加在一起)?
5.某城市设立1999个车站,并打算设立若干条公共汽车线路。
要求:
(1)从任何一站上车,至多换一次车就可以到达城市的任一站;
(2)每一个车站至多是两条线路的公共站。
问:
这个城市最多可以开辟多少条公共汽车线路?
B级培优竞赛·更上层楼
6.有23个不同的正整数的和是4845。
问:
这23个数的最大公约数可能达到的最大值是多少?
写出你的结论,并说明理由。
7.两个偶数的倒数之和与两个奇数的倒数之和相等,这样的偶数对和奇数对要求不同的偶数和奇数。
问:
满足这个条件的偶数对的两个偶数之和的最小值是多少?
8.将16拆成若干个自然数的和,再求这些自然数的乘积,要使得到的乘积尽可能大,则这个乘积是多少?
9.把2002分成若干个不互不相等的自然数的和,且使这些自然数的乘积最大,该积用乘法形式如何表示?
10.10个自然数的和等于2002,则这10个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少?
C级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军
11.从1,2,3,…,2052这2052个自然数中,最多可以取多少个数,使所取出的数中,任意两个数的和是100的整数倍?
12.设自然数n有下列性质:
从1,2,3,…,n中任取50个不同的数,其中必有两个数之差等于7,这样的n最大不能超过多少?
13.设N=1×2×3×…×(n-1)×n,若数N的尾数恰有25个边续的零,则n的最大值是多少?
※14.N是一个自然数,
是一个整数的平方,
是一个整数的立方,则N的最小值是多少?
※15.设A=1×2×3×…×100=12n·M。
其中n,M均为自然数,则n的最大值为多少?
巧总结
本节我的收获是:
。
不足之处有:
。
智慧泉
神奇的π
π与计算机
令数学家们着迷又头疼的圆周率π,终于在上个世纪遇上了强大的对手——计算机。
1949年,人们首次用计算机把π算到了小数点第2037位,空破了千位大关。
其后圆周率的计算迅速加码,纪录一再刷新,万位、百万位、千万位大关相继被突破。
1984年,一对俄罗斯兄弟使用超级计算机将π值推进到小数点后10亿位,为此他们获得了首届麦克阿瑟基金“天才奖”。
他们的计算能够永无休止地计算π的数值,兄弟俩中的格利高评论他们的工作说:
“计算π值非常适合用来测试计算机的各项性能”。
π与数字文化
π无穷无尽而又无章可循,像一长串“魔鬼”数字,引来了众多对它痴迷的“追π迷”,形成了独具特色的π数字文化。
每年的3月14日是旧金山的π节,这一天的下午1:
59,旧金山的部分高层都要绕着当地的博物馆转3.14圈,同时嘴里吃着各种饼,因为饼(pie)在英语里与π(pi)同音。
在美国麻省理工学院,每年秋季足球比赛时,足球迷们都要大声地欢呼自己最喜欢的数字:
“3.14159!
”荷兰人在莱顿彼得教堂的墓地为π建立了一座不可思议的纪念碑,以此来纪念荷兰数学家冯·瑟伦计算出了π的第33位到35位数。
1996年诺贝尔文学奖得主维斯拉瓦·申博尔斯卡曾写了一首名为《π》的诗歌,赞美其坚定不移地向着无限延伸,永远也算不完。
这是因为它不可能化作分数,而化为小数则无穷无尽且无章可循。
π与圆石柱
刘徽是公元3世纪魏晋时代一位颇负盛名的数学家。
据说,有一天,刘徽信步走到一个打石场散心。
他看到一群石匠在加工石料。
石匠们接到一块四四方方的大青石,先斫去石头的四个角,青石变成一块八角的石头,然后又再斫掉八个角,石头变成了十六角形。
这样一斧一凿地下去,一块方石就在不知不觉中被加工成了一根光滑的圆石柱了。
刘徽几乎看呆了。
突然间,他脑子灵光一闪,赶紧回到房间,立刻动手在纸上画了一个大圆,然后在圆里画了个内接正六边形,用尺子一量,六边形的周长正好是直径的3倍。
然后,他又在圆里作出内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形……他惊喜地发现圆的内接正多边形的边数越多,它的周长就和圆的周长越接近,它的面积和圆的面积也越接近。
他就用这种方法求圆周率,这就是著名的“割圆术”。
利用割圆术,刘徽算出了圆的内接正一百九十二边形的周长是直径的3.14倍,即
。
是人类历史上第一次所求得的比较准确的π值。
人们为纪念刘徽的功绩,就把这个π值称为“徽率”。
后来南北朝时的另一位著名数学家祖冲之,在刘徽研究的基础上,利用割圆术继续推算,发现了一个并不复杂的奇民间分数
,它能相当细致地刻画出圆周率π的值。
这一伟大成就远远地走到了当时世界的前列,比荷兰工程师安托尼茨得出相同的圆周率值早一千多年。
π近似值的奇异发现
现在我们不妨做一个有趣的数学小实验,把分数
中的分子与分母都颠倒过来写,再在分母的末位数上改动一个数码,把1改作2,于是将得到
,其分数值是1.7724358…,它等于π的平方根,准确到4位小数。
这是不是一个很奇异的发现?
还有奇妙的呢!
现在,请用计算器再做一个有趣的实验,把2143(前四个自然数1,2,3,4的数码重排)除以22,然后连续按动开平方键两次,你将能得出准确到八位小数的π值,这个令人惊讶的近似等式=22π4=2143是1914年由著名的印度天才数学家斯利尼瓦撒·拉马努贾首先发现的。