证明二3 线段的垂直平分线角平分线.docx

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证明二3线段的垂直平分线角平分线

线段的垂直平分线、角平分线

线段垂直平分线的性质与判定

1、线段的垂直平分线：

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

定理：

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

线段垂直平分线的判定定理：

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

角的平分线及其性质与判定

1、角的平分线：

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，

这条射线叫做这个角的平分线。

2、角的平分线的性质定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

定理：

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。

3、角的平分线的判定定理：

在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

反证法：

先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。

例题分析

例1：

（1）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝

，求∠NMB的大小

（2）如果将

（1）中∠A的度数改为

，其余条件不变，再求∠NMB的大小　

（3）你发现有什么样的规律性？

试证明之.

（4）将

（1）中的∠A改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改

例2：

在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D，若AC=6，BC=4，求△BCF的周长。

例3：

如图所示，AC=AD，BC=BD，AB与CD相交于点E。

求证：

直线AB是线段CD的垂直平分线。

例4：

如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=1200，D、F分别为AB、AC的中点，

，E、G在BC上，BC=15cm，求EG的长度。

例5:

：

如图所示，Rt△ABC中，，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F。

求证：

BE垂直平分CD。

例6:

：

在⊿ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，与

∠ACB的角平分线交于点E，与∠ACB的外角平分线交于点F，求证：

OE=OF

例7、如图所示，AB>AC，

的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作

于E，

，求证：

BE=CF。

课堂练习

（线段的垂直平分线）

一、填空题

1.三角形三边的垂直平分线交于一点，且这点到三个顶点的距离_________.

2.到线段两端距离相等的点在这条线段的_________.

3.已知线段AB外两点P、Q，且PA=PB，QA=QB，则直线PQ与线段AB的关系是_________.

4.底边AB=a的等腰三角形有_________个，符合条件的顶点C在线段AB的_________上.

5.如图1，直线l上一点Q满足QA=QB，则Q点是直线l与_________的交点.

图1

6.在△ABC中，AB=AC=6cm，AB的垂直平分线与AC相交于E点，且△BCE的周长为10cm，则BC=______cm.

7.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE∶∠EBA=1∶4，则∠A=______度，∠ABC=_________度.

二、选择题

8.下列命题中正确的命题有（）

①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.下列作图语句正确的是（）

A.过点P作线段AB的中垂线

B.在线段AB的延长线上取一点C，使AB=BC

C.过直线a，直线b外一点P作直线MN使MN∥a∥b

D.过点P作直线AB的垂线

10.如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交斜边AB于D，AB=12cm，AC=6cm，则图中等于60°的角共有（）

图2

A.2个B.3个C.4个D.5个

11.△ABC中，∠C=90°，AB的中垂线交直线BC于D，若∠BAD－∠DAC=22.5°，则∠B等于（）

A.37.5°B.67.5°C.37.5°或67.5°D.无法确定

三、解答题

12.已知如图3，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：

AO⊥BC.

图3

13.在△ABC中，AB=AC=a，AB的垂直平分线交AC于D点，若△BCD的周长为m，求证：

BC=m－a.

14.如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.

求证：

CM=2BM.

图4

角平分线

一、填空题

1.到一个角的两边距离相等的点都在_________.

2.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5cm，则M到OB的距离为_________.

3.如图1，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.

图1图2

4.如图2，在△ABC中,∠C=90°,AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC=_________cm.

5.如图3，已知AB、CD相交于点E，过E作∠AEC及∠AED的平分线PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.

图3

二、选择题

6.给出下列结论，正确的有（）

①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.下列结论正确的有（）

①如果（x－1）（x－2）=0，那么x=1；②在△ABC中，若∠B是钝角，则∠A、∠C一定是锐角；③如果两个角相等，那么两个角互为对顶角；④如果在一个角内的点，到这个角的两边距离相等，那么这个点在角的平分线上

A.1个B.2个C.3个D.4个

8.已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为（）

A.18B.16C.14D.12

9.两个三角形有两个角对应相等，正确说法是（）

A.两个三角形全等

B.两个三角形一定不全等

C.如果还有一角相等，两三角形就全等

D.如果一对等角的角平分线相等，两三角形全等

10.如图4，OB、OC是∠AOD的任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON=α，∠BOC=β，则表示∠AOD的代数式为（）

图4

A.2α－βB.α－βC.α+βD.2α

三、解答题

11.如图5，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数.

图5

12.如图6，设相邻两个角∠AOB、∠BOC的平分线分别为OM、ON，且OM⊥ON，求证：

OA、OC成一条直线.

图6

13.如图7，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：

AM平分∠DAB.

综合练习

1、如图，在△ABC中，AB=AC=BC，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q。

求证：

BP=2PQ

2、如图，△ABC中，AB=AC，P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且BP=CQ，BQ=CR。

求证：

点Q在PR的垂直平分线上。

3、

如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF。

求证：

∠B=∠CAF

4、已知：

如图，AB∥CD，∠BAC的角平分线与∠DCA的角平分线交于点M，经过M的直线EF与AB垂直，垂足为F，且EF与CD交于E

求证：

点M为EF的中点